复变函数-复旦大学课后习题答案

习题七1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有其中当f(t)为偶函数时，则有其中证明：因为其中为f(t)的傅里叶变换当f(t)为奇函数时，为奇函数，从而为偶函数，从而故

有为奇数。=所以，当f(t)为奇函数时，有同理，当f(t)为偶函数时，有.其中2.在上一题中，设.计算的值.解:3.计算函数.解:4.求下列函数的傅里叶变换解：(2)解：因为所以根据傅里叶变换的微分性质可得(3)解：(4)解:

令，则在上半平面有两个一级极点.故.(5)解:同(4).利用留数在积分中的应用,令则

.5.设函数F(t)是解析函数，而且在带形区域内有界.定义函数为证明当时，有对所有的实数t成立.(书上有推理过程)6.求符号函数的傅里叶变换.解:因为把函数.不难看出故：7.已知函数的傅里叶变换求解:8.设函数f(t)的傅里叶变换，a为一常数.证明当a>0时,令u=at.则当a<0时,令u=at,则.故原命题成立.9.设证明.证明：10.设，证明：以及证明：同理：11.设计算.解：当时，若则故=0.若则若则故12.设为单位阶跃函数，求下列函数的傅里叶变换.习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)，(2)，(3)(4)，(5)解:(1)(2)(3)(4)(5)2.求下列函数的拉普拉斯变换.（1）(2)解:(1)(2)3.设函数,其中函数为阶跃函数,求的拉普拉斯变换.解:4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换解：5.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)(2)(3)(4)(5(6(7)(8)解:(1)(2)(4)(5)(6)(7)(8)6.记，对常数，若，证明证明:

7记，证明:证明：当n=1时,所以，当n=1时,显然成立。假设，当n=k-1时,有现证当n=k时8.记，如果a为常数,证明:证明：设，由定义9.记，证明:,即证明：10.计算下列函数的卷积(1)(2)(3)(4)(5)(6解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)11.设函数f,g,h均满足当t<0时恒为零，证明以及证明：12.利用卷积定理证明证明：设，则，则，所以13.求下列函数的拉普拉斯逆变换.(1)(2)(3)(4)(5)(6解：(1)(2)(3故(4)因为所以(5)其中所以(6)所以14.利用卷积定理证明证明：又因为所以，根据卷积定理15.利用卷积定理证明证明：因为所以，根据卷积定理有16.求下列函数的拉普拉斯逆变换.(1)(2)(3)(4)解:(1)故(2)：(3)故(4)故且所以17.求下列微分方程的解(1)(2)(3)(4)(5)解:(1)设方程两边取拉氏变换,得为Y(s)的三个一级极点,则(2)方程两边同时取拉氏变换,得

(3)方程两边取拉氏变换,得因为由拉氏变换的微分性质知，若L[f(t)]=F(s),则即因为所以故有(4)方程两边取拉氏变换,设L[y(t)]=Y(s),得故(5)设L[y(t)]=Y(s),则方程两边取拉氏变换,,得故18.求下列微分方程组的解(1)(2)解:(1)设微分方程组两式的两边同时取拉氏变换,得得(2)代入(1)，得(3)代入(1)，得(2)设

方程两边取拉氏变换,得(3)代入(1)：所以故19.求下列