重积分总复习市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

一、二重积分概念二、二重积分计算三、三重积分概念四、三重积分计算五、重积分应用重积分复习

一、二重积分概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表示式面积元素(一)、定义(二)、几何意义当被积函数大于零时，二重积分是以被积函数为曲顶、以积分区域为底曲顶柱体体积．当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体体积负值．(三)、物理意义平面薄片质量设有一平面薄片,占有面上闭区域,在点处面密度为,

假定在上连续,

平面薄片质量(四)存在条件(五)性质性质２性质３对区域含有可加性性质１当为常数时，性质４若为D面积，性质５特殊地则有若在上性质６（估值不等式）性质７（二重积分中值定理）解解例3求极限其中为。解因为被积函数在区域上连续，依据积分中值定理知：存在使得解毕。二、二重积分计算(一)、利用直角坐标系计算二重积分其中函数、在区间上连续.［先y后x］:平行于轴直线穿过区域内部与其边界最多交于两点。［先x后y］平行于轴直线穿过区域内部时与其边界最多交于两点。求二重积分步骤(1)画出积分区域图形,判断类型;(2)定积分上下限(3)写出二次积分再求即可.若区域如图，则必须分割。在分割后三个区域上分别使用积分公式。假如被积函数含有等形式，则应选择先对积分。注：解积分区域如图由其中与两坐标轴围成.解:其中是由所围区域,则等于()令由已知等式得两边在上取二重积分,则例2设连续,且故选解得解(二)、利用极坐标系计算二重积分解

在极坐标系下

例2将(其中为围成)化为极坐标下累次积分.在极坐标系下

解在极坐标系下

解在极坐标系下

解在极坐标系下

解和在极坐标系下

解例7

证三、三重积分概念定义：

物理意义:若,则三重积分值等于以为分布密度几何体质量.二重积分与三重积分有类似存在条件及性质.四、三重积分计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先z后xy”)方法2平行截面法先假设连续函数并将它看作某物体经过计算该物体质量引出以下各计算密度函数,方法:当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐标轴垂直平面截积分区域所截面面积轻易求出时，用平行截面法比较简单。方法1.投影法(“先一后二”)该物体质量为细长柱体微元质量为记作解范围:方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高柱形薄片质量为该物体质量为记作例

解解原式我们称此种方法为平行截面法。当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐标轴垂直平面截积分区域所截面面积轻易求出时，用平行截面法比较简单。2.利用柱坐标计算三重积分就称为点M柱坐标.直角坐标与柱面坐标关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面如图所表示,在柱面坐标系中体积元素为所以其中适用范围:当积分区域由柱面、锥面、旋转抛物面与其它曲面围成且被积函数含有以下形式：例（970105）计算其中为平面曲线解：旋转曲面方程为绕轴旋转一周形成曲面与平面所围成区域。xyzo3.利用球坐标计算三重积分就称为点M球坐标.直角坐标与球面坐标关系坐标面分别为球面半平面锥面如图所表示,在球面坐标系中体积元素为所以有其中适用范围:当积分区域由球面与锥面，球面与平面围成且被积函数含有以下形式：例计算其中解解小结：1当积分区域由柱面、锥面、旋转抛物面与其它曲面围成且被积函数含有以下形式：时用柱坐标。2当积分区域由球面与锥面，球面与平面围成且被积函数含有形式时用球坐标。２、被积函数在积分区域上关于三 个坐标轴补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面对称性；奇偶性．解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是奇函数,例8

解利用球面坐标五、重积分应用★

二重积分1:二重积分被积函数等于1时,二重积分值等于积分区域面积.所以我们能够利用二重积分求平面图形面积.2:由二重积分几何意义可知,二重积分可用来求体积.(当被积函数大于零时，二重积分是以被积函数为曲顶、以积分区域为底曲顶柱体体积．)一、平面面积、体积、质量3:由二重积分物理意义可知,二重积分可用来求平面薄片质量.例1求由曲面与曲面所围成立体体积.解由得从而投影曲线例2求面密度为圆板质量.解由二重积分物理意义可知设光滑曲面设它在D上则(二)、★曲面面积投影为d

,若光滑曲面方程为则有若光滑曲面方程为则有解上半球面在面上投影由得令所以,整个球面面积为

占有空间有界域

空间形体，体密度为空间形体质量(二)、★三重积分

占有空间有界域

空间形体体积为

占有空间有界域

空间形体，体密度为空间形体质量例求由曲面与曲面所围成立体体积.*用三重积分计算*(三)、物体重心若物体为占有xoy面上区域D平面薄片,则它质心坐标为其面密度—对x轴

静矩—对y轴