比例黄金分割平行线分线段成比例定理及例题

要点一、比例线段.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段..比例的性质：a_匚(1)基本性质：如果了；,那么id二儿.a_c么匚+d a_c那么0"_白壮(2)合比性质：如果苫6d. 如果E丁bd要点诠释：(1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；(2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；(3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.要点二、黄金分割AC_BC1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果且5忆那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.要点诠释：ac=^1ab且2 处0.618AB(2叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点如图，已知线段AB,按照如下方法作图(1)经过点B作BDLAB,使BD=2AB.(2)连接AD,在DA上截取DE二DB.(3)在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.要点三、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式髓娜AS_J）SBC_度优肝前二国,五二丽‘五二瓦.五二诉'成立.要点诠释：上图的变式图形：分人型和*型；A型 X型AD_AEAD_AE_EC则常用的比例式：反1'组47'州47依然成立.要点四、把已知线段AB五等分.已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分..1作法.以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A「A3A「A4A5..连结A5B,并过点A1,A2，A3,A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B/B2，B3，B4.则点斗，B2，B3，84就是所求作的把线段AB五等分的点.依据：实际上，过点A作l〃AB,根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如5下关系式%=蚣=监=/="AAA44M44AAjA1A2=A2A3=A3A:A4A5.\AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,・•.点BjB2，B3，B4把线段AB五等分.要点诠释：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.例题：L（2016•兰州模拟）若a：b=2:3,则下列各式中正确的式子是（）卜金a-bA.2a=3bB.3a=2bC. D.b3【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案.【答案】B.【解析】A、2a=3ba：b=3：2,故选项错误；

B、3a=2bOa：b=2:3,故选项正确；b_2_C、口=3ob：a=2:3,故选项错误；a-b1D、b=3oa：b=3：2,故选项错误.故选B.【总结升华】考查了比例的性质.在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积.kyE 2—―3yz+工2.设厂3二司求1-2号的值.【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x,y,z的值，因此用设参数法代入化简.【答案与解析】设234=k贝”x=2k,y=3k,z=4k2父（沈L-3M34乂皱+（附f 1原式=（对-2x2"球-（㈣口=^24^=2【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去AB飞行一13・ 3・ 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即=士 心0.618）,如果在其内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE,试问矩形ABFE是否也是黄金矩形?G.EFG.EF【思路点拨】-1（i）矩形的宽与长之比值为2，则这种矩形叫做黄金矩形.（2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明/§= 2即可.【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形.坐AD-ED_AD_ED理由如下：因为工£= 月B 工B卅日2 1— 2（存1） [「行+1[_正-1=布-[ 函-1）函+1） 2 2所以矩形ABFE也是黄金矩形.【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法5- （2014秋•平川区校级期中）已知：如图，在ZABC中，AB=AC,且如FB,EG〃CD.证明：AE=AF.【思路点拨】AG里AGAF堂堂 堂迎由平行可得如=EC,且GD-FB,可得EC=FB,结合AB=AC,由比例的性质可得AC二起,可得AE=AF.【解析】证明：.「EG//CD,AGAEAG_AF:而二丽，且而不&

•.EC二FB蛆研AEAF..AE+EC二研4FE,即AC二AB,・「AB=AC,/.AE=AF.【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段.6・如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF//AC//HG,EH//BD//FG,则四边形EFGH的周长是（）.D.2也A.，丽B,13D.2也【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例的基本事实列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解.【答案与解析】在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,根据勾股定理，AC二BD二,曲十石^「EF//AC//HG,EFAC「EH//BD//FG,AEBDABEFEHEBAE——十——=——十——:公助生如：EF+EH=AC=^,・「EF//HG,EH//FG,「•四边形EFGH是平行四边形，••・四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=2而.故选D.【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定EFEH।—+=1理，根据平行线分线段成比例的基本事实求出4C班 是解题的关键，也是本题的难点.7・把已知