椭圆焦点三角形面积

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椭圆焦点三角形面积公式的应用多年来，椭圆、双曲线相关的焦点APF1F2(P为曲线上的任意一点，勺与F2为曲线的焦点)中的边角关系是学生必须掌握的重点知识，也是高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势.现列举部分典型试题说明其应用类型.TOC\o"1-5"\h\z定理在椭圆上+；=1(a>b>0)中，焦点分别为F、F，点P是椭圆上任意一a2b2 1 2点，/FPF=9，则S =b2tan—.12 AF,PF2 2证明：记।PFJ=.PF\=r2，由椭圆的第一定义得r+r=2a,A(r+r)2=4a2.在^FPF中，由余弦定理得：r2+r2-2rrcos9=(2c)2.1 2 1 2 12=4c2.配方得：([+r2)2-2r1r2-2r1=4c2.即4a2-2r1rJ1+cos9)=4c2....rr=2(a2-c2)= 2b212 1+cos9 1+cos9由任意三角形的面积公式得：S=S=—rrsin9=b2•―即^—AFpf2 212 1+cos90.9 92sin—cos—, 22 9=b2• =-b-=b2•tan—。9 22cos2—29AS=b2tan—.AF1PF2 2同理可证，在椭圆二十;=1(a>b>0)中，公式仍然成立.a2b2典题妙解例1若3椭圆高+5=1上的一点，F1、F2是其焦点,且平PF2=6。。，求

△△F\隼的面积.解法一：在椭圆三+二=1中10064a=1。,b二8,。=6,而。=6。。.记1解法一：在椭圆三+二=1中10064点P在椭圆上,•••由椭圆的第一定义得：＜+丁2〃=2°.TOC\o"1-5"\h\z在^FPF中，由余弦定理得：r2+r2—2rrcos。=（2c）2.1 2 1 2 12配方，得：（r1+r2）2一3r1r2=144.,400一3rr=144.从而rr=^6.12 12 3。 1 . 1256v;3 64v3S=rrsin0=义 义——= .的PF2 212 2 3 2 3解法二：在椭圆盛+*=1中，b2=64，而0=60。.10064,S=b2tan—=64tan30°= .%PF 2 3解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现!例2已知P是椭圆X2+芸=1上的点，F、F分别是椭圆的左、右焦点，若25 9 1 22口工=1，则△FPF的面积为（）IPFI-IPFI2 121 2A.3v3 B.2V3 C.<3,0=60°.. ,0=60°.解：设/FPF=0,贝1Jcos0=—————=12 IPFI-IPFI2120ASAF1PF2=b"n厂9tan30°=3'3故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆!|+m=1的左、右焦点分别是F1、勺，点P在椭圆上.若P、勺、「是一个直角三角形的三个顶点，则点响x轴的距离为（）C.4BC.4D. 7TOC\o"1-5"\h\zb2 9解：若F1或F2是直角顶点，则点修k轴的距离为半通径的长丁4；若「是直角顶9 —点，设点便x轴的距离为h，则、"二b2tanI=93n45。二9,又1 -S=—・(2c)-h=v7h,的PF2 27hh=9,h=37.故答案选D..椭圆啜+X2=1上一点P与椭圆两个焦点F、F的连线互相垂直，则△FPF的面4924 1 2 12积为（）A.20B.22 C.28 D.24.椭圆x2+y2=1的左右焦点为F、F，P是椭圆上一点，当^FPF的面积为14 1 2 1 2♦・1时，PF•PF2的值为（）A.0 B.1 C.3 D.63.椭圆x2+y2=1的左右焦点为F、F，P是椭圆上一点，当^FPF的面积最大4 1 2 1 2时，PF•PF的值为（）A.0 B.2 C.4 D.—2、F2、F2，P为椭圆上一点，且4.已知椭圆一+y2=1(a>1)的两个焦点为Fa2 1/FPF=60。，则IPFI-IPFI的值为（）121B1B.34C.32D.35.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F「F2为焦点，点「在椭圆上，直线PF1与PF2倾斜角的差为90。，△F1PF2的面积是20，离心率为一，求椭圆的标准方程.6•已知椭圆的中心在原点，F/F2为左右焦点，P为椭圆上一点，且PFjPF2IPFjPF2IPFI-IPFI1，△FPF的面积是、回，准线方程为x-土手，求椭圆的标准1方程.耕答案1.解：/1方程.耕答案1.解：/FPF2=9二90。力2:249=b2tan=24tan45。=24.2故答案选D.2.解：设/F2.解：设/F1PF2-9•••S江1%-b2tan929「n——45。,9=90。,2PF•PF2=0.故答案选A.3.解：a3.解：a—2,b—1,c—■v,3设/F1尸\=9，tan—=tan—・•・当4F1PF2的面积最大时，9为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，9=120。，PF-PF=IPFI-IPFIcos9=a2cos120。=-2.故答案选D.4.解：/FPF=9=60。，b=1，S=b2tan-=tan30°1 2 A々PF2 2-v33，又•：S江1%1 於=IPFI-IPFIsin9=—IPFI-IPFI从而IPFi故答案选C.5.解：设/F1P1=9的PF?9=b2tan—=b2tan45°=b2=20,2c又•:e=a<5T205即1-失=9解得：a2=45.，所求椭圆的标准方程为福+琶=1或g20=1.6.解：设/FPF2=9一•.cos9=PF]•PF2IPFI-IPFI1八--,9=