判定三角形形状的十种常用方法_第1页
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43△=[—(a+b+c)]2—4(a2+b2+c2)x-4=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac—3a2—3b2—3c2=—[(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2]>0,・•・(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2<0.又•.•(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2>0,.•・(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2=0.a=b,b=c,a=c,从而a=b=c,故厶ABC是等边三角形.四、利用构造方程例4已知k>1，b=2k,a+c=2k2,ac=k4—1,试判定以a、b、c为边的三角形形状，解由a+c=2k2,ac=k4—1,可知a、c是方程x2—2k2x+k4—1=0的两个根•解得x1=k2+1,x2=k2—1,・•・a=k2+1,c=k2—1,或a=k2—1,c=k2+1・・・(k2—1)2+(2k)2=(k2+1)2,・・.b2+c2=a2,或a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.五、利用公共根例5设a、b、c是厶ABC的三边长，方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx—b2=0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根(公共根)为a,则a2+2aa+b2=0①，&+2ca—b2=0②.①—②，得2(a—c)a=—2b2,即(c—a)a=b2.当a=c时，b=0不合题意，舍去；

当a弄c时，a=_c_a将其代入①、②，得[b22a口+b2=0.丿化简，得b2+c2=a2，所以△ABC是以ZA为直角的直角三角形.六、利用韦达定理c为三角形例6如果方程x2-xbcosA+acosB=0的两根之积等于两根之和，a、bc为三角形的三边，试判定厶ABC的形状.解在厶ABC中，作CD丄AB于D,在厶ADC中，AD=bcosA,在厶CDB中，BD=acosB,由韦达定理，得x1+x2=bcosA,x1•x2=acosB.・•・bcosA=acosB,即AD=BD.又VCD丄AB,・・・△ABC为等腰三角形，r为三角形r为三角形例7已知△ABC中，若h+hb+

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