高考总复习走向清北课件17数学同角三角函数的基本关系

第十七讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式回归课本1.同角三角函数基本关系式平方关系:sin2α+cos2α=1;商数关系:tanα=.

sincos-α.2.α相关角的表示(1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α;(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-

α);(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α;(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为

23.诱导公式(1)公式一sin(α+k²2π)=sinα,cos(α+k²2π)=cosα,tan(α+k²2π)=tanα,其中k∈Z.(2)公式二sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.(3)公式三sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.(4)公式四sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα..

sin

sin

,

cos

cos

(5)公式五

2

2

.

sin

sin

,

cos

cos

(6)公式六

2

2

即α+k²2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;

±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k²

±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号.2考点陪练1.(2010²全国Ⅰ)cos300°=()

321212

32C.D.A.B.

1

2答案:C2.若sin

,且是第二象限角,则tan的值等于4543

B.3

4A.

34

4

3解析:

为第二象限角,

2

2

43

5

5

sin

4

5

4

3

3

答案:A3.已知sin

的值为

,则cosB.D.113

3

2323

3

3

A.C.

1

3

3

6

,

6

2

3

解析:

6

2

3

1

3

3答案:B4.点P(tan2008°,cos2008°)位于()A.第二象限C.第四象限B.第一象限D.第三象限解析:∵2008°=6³360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P在第四象限.答案:Csin

cos

1,sin

cos

5.1212A.B.2C.D.25.若cos

2sin

5,则tan等于,sin2

(

5

2sin)2

1,tan

2.

cos

2sin

5,解析:

2

2

25

5

5答案:B类型一

利用同角三角函数基本关系式化简求值解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､灵活,尤其是利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,特别注意符号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值.,且α为第二象限角,求【典例1】

(1)已知sinα=

tanα;(2)已知sinα=,求tanα;(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.1313sin

,为第二象限角,12

2cos

1sin

1

tan

,tan

2213,.

2413.22

2

3

4.

24

sincos3

3[解]1当为第一象限角时,cos

1sin2

当为第二象限角时,由1知tan

1sin

1m

(当α为第一､四象限角时(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),∴cosα=±取正号,当α为第二､三象限角时取负号),所以当α为第一､四象限角时,tanα=;当α为第二､三象限角时,tanα=2=±22

m1m2.

m1mtanα=

,原因是m此时小于0,所以形式上tanα的表1

m

[反思感悟]

本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌

握住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相

联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但达式前面仍不带负号.2m类型二诱导公式及其应用解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公

式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负

号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导

公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化

负为正—化大为小—锐角求值”.sin(

)cos(2

)tan

.3

2

cot(

)sin(

)f()

【典例2】已知是第三象限角,且1化简f;

3

1

5

3若

1860,求f的值.[分析]

显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理

选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负

担较轻.)cos(4)tan(3[解]1f

)sin(2)

cos.6,f()

52

1

2

22

2)

sin(2

2

2

2

cot(2sin

cos

cot

(cot)sin6.

2

2

5

5

5

5cos

(3)∵-1860°=-21³90°+30°,∴f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-21³90°+30°)=-sin30°=.12∴cosβ=cos(-3•+α)=-sinα.

[反思感悟]

如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α-

且α3

,为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二

2

象限中余弦取负号,且k=-3为奇数.

2类型三sinα±cosα与sinα²cosα关系的应用解题准备:利用sin2α+cos2α=1,可以得出如下结论:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα.对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中

一个式子的值,可求其余二式的值.

1

.【典例3】

已知sinx+cosx=,求下列各式的值:(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.1

222,1

2114sinxcosx

2

2[解]

sinxcosx

1sin

xcos

x

sinxcosx

12

;33

33sinxcosx

sinxcosx

3

1

1

1

5

2;

2

4

2

8

2212sinxcosx

2

17

4

8

2

2

sinx

cosx

1

12

2

16[反思感悟]

平方关系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx联系起来,要灵活运用它们之间的变换,熟记立方和公式及和的立方公式.类型四

关于sinα与cosα的二次齐次式的求值问题解题准备:这类已知某个三角函数值,求其余三角函数值的问

题的常规思路是:利用同角间的三角函数关系,求出其余三

角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定α角所在的象限

,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用

“1”的代换,将所求值的式子的分子､分母同除以cosnα,

用tannα表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟练掌握这

种解法.更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的

辩证思想方法.tan1

tan

sin

cos

(1)

;2sin2

sincos

2.sin

3cos【典例4】已知

1,求下列各式的值.3tan

3

2

5tan

1

3112

1

.

1

2sin

3cos

sin

cos1

3

2

1

1.13

53sin2

sincos

2cos2

sin2

cos23tan2

tan

2

tan2

1

2

11

2

2

2

22sin2

sincos

2sin2

sincos

2cos2

sin2[反思感悟]

形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα､cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.【典例1】已知sin

,cos

,其中

,

错源一

忽视隐含的平方关系,扩大解的范围而致错,2

m342m

m5

m5则下列结论正确的是

A.m∈[3,9]

B.m∈(-∞,5)∪[3,+∞)

C.m=0,或m=8

D.m=8m3

42mm5m5[错解]

由已知有解得m<-5或m≥3,选B.[剖析]

条件给出了含有参数的正余弦的函数值,而参数值要

受到正余弦的平方关系“sin2θ+cos2θ=1”的限制,而上述

解法就忽视了这个制约关系,以致扩大了解的范围而错.≥0,≤0,m3

42mm5m5[正解]由已知有≤0,≥0,

2

2

m5

m5

[答案]

D

[评析]

如果在题设条件中出现了正余弦,则要注意利用它们之间的平方关系.【典例2】已知sin

cos

,

,

,求tan.24

2tan25

1tan2错源二忽视角的范围,造成多解而致错1

5

215242534

,所以,所以12tan2

25tan

12

0,

cos

0.cos

0,,2425[剖析]上面解答忽略了角的范围,扩大了三角函数值的

1

5

2

知sin

0,且cos

0,而平方后等式2sin

cos

sin

0,

sin

0,而此式中

或

1

2

5

4

3

1

5,1225可得sin

cos

sin

,cos

4,又由

,知sin

0,cos

0,,4345

5

3

2

1

4由

25

5

3

5或

5[评析]

解答关于含有“sinθ±cosθ,sinθcosθ”的问题时,

一般都要利用平方关系sin2θ+cos2θ=1,但必须注意对所求

得的结果进行检验,否则会造成多解.sin

cossin

cos技法一整体换元【典例1】

已知sinα+3cosα=2,求的值..,cos

1t2t1t2tsin

2

6.sin

cossin

cos[解]令又sin

3cos

2,

2

2

2

2

2t

2t

解方程得t

2

6.故技法二快速解法(求根法)【典例2】

已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是方程25x2-5x-12=0

的两个根,求sin3θ+cos3θ和tanθ-cotθ的值.sin

cos

3

3

tan

cot

5

3

7

.52

43

5

5

43

5

5.443

34

3

4

12

5

5

sincoscos

sin3

3

4

3

64

27

37

5

5

125

125

125,sinθcosθ=

,将sin3θ+cos3θ与tanθ-cotθ用

15[解题切入点]

由根与系数的关系入手,sinθ+cosθ=

12

25

sinθ+cosθ,sinθcosθ