人教版2020年数学九年级(上)《公式法》课件 公开课

21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.2公式法九年级数学上（RJ）教学课件人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.211.

经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。2.了解根的判别式，会判别一元二次方程根的情况，并能熟练地用求根公式解一元二次方程。3.进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。学习目标1.

经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻2导入新知1.如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?解：方程整理得配方得开平方得解得导入新知1.如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?解：方程3想一想

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式

ax2+bx+c=0(a≠0)

能否也用配方法得出它的解呢？想一想任何一个一元二次方程都可以写成一般形式4探究新知

新知一求根公式的推导合作探究用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0).二次项系数化为1，得

解：移项，得配方，得即①问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？探究新知新知一求根公式的推导合作探究用配方法解一般形式5∵a≠0，∴4a2>0.式子b2-4ac

的值有一下三种情况：（1）b2-4ac

＞0，这时＞0，由①得方程有两个不等的实数根∵a≠0，∴4a2>0.式子b2-4ac的值有一下三种情6（2）b2-4ac=0这时=0，由①可知，方程有两个相等的实数根

x1=x2=-.（3）b2-4ac

＜0这时＜0，由①可知＜0，而x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根.（2）b2-4ac=0这时=0，由①可知，方7两个不相等的实数根

两个相等的实数根没有实数根两个实数根判别式的情况

根的情况我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即=

b2-4ac.

>0

=0

<0

≥0新知二一元二次方程根的判别式两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根两个实数根8按要求完成下列表格：练一练

的值04根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根按要求完成下列表格：练一练的值04根的有两个相等9例1已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是()A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×(-1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.B典例精析例1已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是(10例2不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9；

解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为：4x2－12x+9=0，∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．例2不解方程，判断下列方程的根的情况．解：（1）3x2+411

（3）7y=5(y2+1).解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0，∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．方法归纳判断一元二次方程根的情况的方法：b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac＜

0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根（3）7y=5(y2+1).解：（3）方程化为：5y2－12例3

若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是()A.q≤4B.q≥4C.q<16D.q>16C解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，即.解得q＜16，故选C.典例精析例3若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的13【变式题】二次项系数含字母若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0B

当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.归纳方程有两个不相等的实数根分析：二次项系数不为0k≠0k>-1且k≠0【变式题】二次项系数含字母B当一元二次14【变式题】删除限制条件“二次”若关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是()A.k≥-1B.k≥-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0分析：分类讨论k=0k≠0原方程变形为-2x-1=0，有实数根b2-4ac≥0k≥-1A【变式题】删除限制条件“二次”分析：分类讨论k=0k≠0原方15由上可知，当≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.注意运用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，判定b2-4ac≥0时，才可以用求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

新知三用公式法解方程由上可知，当≥0时，方程ax2+b16例4

用公式法解下列方程：典例精析（1）x2-4x-7=0;方程有两个不相等的实数根.解：a=1，b=-4，c=-7b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.即例4用公式法解下列方程：典例精析（1）x2-4x-17

方程有两个相等的实数根

x1=x2

方程有两个相等的实数根

x1=x218（3）5x2－3x=x+1;方程有两个不相等的实数根=

即a=5，b=－4，c=－1b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.解：方程化为5x2－4x－1=0（3）5x2－3x=x+1;方程有两个不相等的实数根=

即a19（4）x2+17=8x.方程无实数根.a=1，b=－8，c=17b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.解：方程化为x2－8x+17=0【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）（4）x2+17=8x.方程无实数根.a=1，b=－8，c20要点归纳公式法解方程的步骤1.变形：化已知方程为一般形式；

2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；3.计算：b2-4ac的值；

4.判断：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出；

若b2-4ac<0，则方程没有实数根.【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）要点归纳公式法解方程的步骤1.变形：化已知方程为一般形式；211.不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+=0；

解：（1）2x2+3x-4=0，a=2，b=3，c=-4，

∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）x2-x+=0，a=1，b=-1，c=.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×=0.∴方程有两个相等的实数根．课堂练习【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）1.不解方程，判断下列方程的根的情况．解：（1）2x2+3x22（3）x2-x+1=0，a=1，b=-1，c=1.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.

∴方程无实数根．（3）

x2-x+1=0.【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）（3）x2-x+1=0，a=1，b=-1，c=1.（3）x232.解方程：x2+7x–18=0.解：这里a=1，

b=7，

c=-18.

∵b

2-4ac=72–4×1×(-18)=121>0，即x1=-9，

x2=2.【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）2.解方程：x2+7x–18=0.解：这里a=243.解方程：(x

-2)(1-3x)=6.解：去括号，得x-2-3x2+6x=6，化为一般式3x2-7x+8=0，

这里a=3，b=-7，c=8.

∵b2-4ac=(-7)2–4×3×8=49–96

=-47<0，∴原方程没有实数根.【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）3.解方程：(x-2)(1-3x)=6.解254.解方程：2x2

-

x+3=0.

解：这里a=2，b=-，c=3.∵b2-4ac=27-4×2×3=3>0,【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）4.解方程：2x2-x+3=0.解265.(1)关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是

.（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.解：化为一般式（m-1）x2-2mx+m-2=0．△＝4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且m-1≠0解得且m≠1.【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）5.(1)关于x的一元二次方程276.不解方程，判断关于x的方程的根的情况.解：所以方程有两个实数根．【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）6.不解方程，判断关于x的方程解：所以方程有两个实数根．【名28能力提升：在等腰△ABC

中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC

的周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.由配方法解得b=-10或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；所以△ABC

的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）能力提升：解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两29归纳新知公式法求根公式步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（Δ值）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）归纳新知公式法求根公式步骤一化（一般形式）；根的判别式b2-3021.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.2公式法九年级数学上（RJ）教学课件人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.2311.

经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。2.了解根的判别式，会判别一元二次方程根的情况，并能熟练地用求根公式解一元二次方程。3.进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。学习目标1.

经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻32导入新知1.如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?解：方程整理得配方得开平方得解得导入新知1.如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?解：方程33想一想

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式

ax2+bx+c=0(a≠0)

能否也用配方法得出它的解呢？想一想任何一个一元二次方程都可以写成一般形式34探究新知

新知一求根公式的推导合作探究用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0).二次项系数化为1，得

解：移项，得配方，得即①问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？探究新知新知一求根公式的推导合作探究用配方法解一般形式35∵a≠0，∴4a2>0.式子b2-4ac

的值有一下三种情况：（1）b2-4ac

＞0，这时＞0，由①得方程有两个不等的实数根∵a≠0，∴4a2>0.式子b2-4ac的值有一下三种情36（2）b2-4ac=0这时=0，由①可知，方程有两个相等的实数根

x1=x2=-.（3）b2-4ac

＜0这时＜0，由①可知＜0，而x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根.（2）b2-4ac=0这时=0，由①可知，方37两个不相等的实数根

两个相等的实数根没有实数根两个实数根判别式的情况

根的情况我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即=

b2-4ac.

>0

=0

<0

≥0新知二一元二次方程根的判别式两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根两个实数根38按要求完成下列表格：练一练

的值04根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根按要求完成下列表格：练一练的值04根的有两个相等39例1已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是()A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×(-1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.B典例精析例1已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是(40例2不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9；

解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为：4x2－12x+9=0，∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．例2不解方程，判断下列方程的根的情况．解：（1）3x2+441

（3）7y=5(y2+1).解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0，∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．方法归纳判断一元二次方程根的情况的方法：b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac＜

0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根（3）7y=5(y2+1).解：（3）方程化为：5y2－42例3

若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是()A.q≤4B.q≥4C.q<16D.q>16C解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，即.解得q＜16，故选C.典例精析例3若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的43【变式题】二次项系数含字母若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0B

当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.归纳方程有两个不相等的实数根分析：二次项系数不为0k≠0k>-1且k≠0【变式题】二次项系数含字母B当一元二次44【变式题】删除限制条件“二次”若关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是()A.k≥-1B.k≥-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0分析：分类讨论k=0k≠0原方程变形为-2x-1=0，有实数根b2-4ac≥0k≥-1A【变式题】删除限制条件“二次”分析：分类讨论k=0k≠0原方45由上可知，当≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.注意运用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，判定b2-4ac≥0时，才可以用求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

新知三用公式法解方程由上可知，当≥0时，方程ax2+b46例4

用公式法解下列方程：典例精析（1）x2-4x-7=0;方程有两个不相等的实数根.解：a=1，b=-4，c=-7b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.即例4用公式法解下列方程：典例精析（1）x2-4x-47

方程有两个相等的实数根

x1=x2

方程有两个相等的实数根

x1=x248（3）5x2－3x=x+1;方程有两个不相等的实数根=

即a=5，b=－4，c=－1b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.解：方程化为5x2－4x－1=0（3）5x2－3x=x+1;方程有两个不相等的实数根=

即a49（4）x2+17=8x.方程无实数根.a=1，b=－8，c=17b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.解：方程化为x2－8x+17=0【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）（4）x2+17=8x.方程无实数根.a=1，b=－8，c50要点归纳公式法解方程的步骤1.变形：化已知方程为一般形式；

2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；3.计算：b2-4ac的值；

4.判断：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出；

若b2-4ac<0，则方程没有实数根.【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）要点归纳公式法解方程的步骤1.变形：化已知方程为一般形式；511.不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+=0；

解：（1）2x2+3x-4=0，a=2，b=3，c=-4，

∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）x2-x+=0，a=1，b=-1，c=.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×=0.∴方程有两个相等的实数根．课堂练习【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）1.不解方程，判断下列方程的根的情况．解：（1）2x2+3x52（3）x2-x+1=0，a=1，b=-1，c=1.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.

∴方程无实数根．（3）

x2-x+1=0.【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）（3）x2-x+1=0，a=1，b=-1，c=1.（3）x532.解方程：x2+7x–18=0.解：这里a=1，

b=7，

c=-18.

∵b

2-4ac=72–4×1×(-18)=121>0，即x1=-9，

x2=2.【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）2.解方程：x2+7x–18=0.解：这里a=543.解方程：(x

-2)(1-3x)=6.解：去括号，得x-2-3x2+6x=6，化为一般式3x2-7x+8=0，

这里a=3，b=-7，c=8.

∵b2-4ac=(-7)2–4×3×8=49–96

=-47<0，∴原方程没有实数根.【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）3.解方程：(x-2)(1-3x)=6.解554.解方程：2x2

-

x+3=0.

解：这里a=2，b=-，c=3.∵b2-4ac=27-4×2×3=3>0,【名师示范课】人教版2020年数学九年级上册《21.2.2公式法》课件（共30张PPT）-公开课课件（推荐）【