二项分布与超几何分布-高二下学期数学人教A版选修2-3

二项分布与超几何分布教学目标通过实例，理解二项分布、超几何分布及其特点；掌握二项分布、超几何分布列及其导出过程；通过对实例的分析，会进行简单的应用。教学重点教学难点二项分布、超几何分布的理解；分布列的推导。二项分布、超几何分布的具体应用。前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.

(1)P(A+B)=P(A)+P(B)(当A与B互斥时);

(3)P(AB)=P(A)P(B)(当A与B相互独立时)那么求概率还有什么模型呢?分析下面的试验，它们有什么共同特点?(1)投掷一个骰子投掷5次;(2)某人射击1次，击中目标的概率是0.8,他射击10次;(3)实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)(4)一个盒子中装有5个球(3个红球和2个黑球)，有放回地依次从中抽取5个球;(5)生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.共同特点是:多次重复地做同一个试验伯努利实验我们把只包含两个可能结果的实验叫做伯努利实验。n重伯努利实验我们将一个伯努利实验独立地重复n次所组成的随机实验称为n重伯努利实验。n重伯努利实验特征(1)同一个伯努利实验重复做n次;

(2)各次实验的结果相互独立。基本概念

投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？

连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用

表示第i次掷得针尖向上的事件，用

表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则由于事件

彼此互斥，由概率加法公式得所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是

上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3次图钉，出现k（0≤k≤3)次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？

思考仔细观察上述等式，可以发现问题导学

在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用

(i=1,2,3)表示第i次投篮命中这件事,用

表示仅投中1次这件事.

由以上问题的结果你能得出什么结论?解二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)。注:

展开式中的第k+1项.基本概念二项分布的概念；二次分布的概率计算公式．二项分布1.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求∶

(1)恰好出现5次正面朝上的概率;

(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.解∶设A="正面朝上"，则P（A）=0.5.用X表示事件A发生的次数，则X～B(10,0.5).

(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6于是

(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是

2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1、2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.解∶设A="向右下落"，则

="向左下落"，且P（A）=P（

）=0.5.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B（10，0.5）.于是，X的分布列为

X的概率分布图如柱状图所示.3.甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?解法1∶采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为

类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为解法2∶采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B（3，0.6）.甲最终获胜的概率为

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B（5，0.6）.甲最终获胜的概率为因为

，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.假设随机变量X服从二项分布B（n，p），那么X的均值和方差各是什么?如果X～B（n，p），那么E（X）=np，D（X）=np（1-p）.探究1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示"正面朝上"出现的次数.

(1)求X的分布列;

(2)E(X)=

,D(x)=

.(2)E(X)=2

D(X)=1答案：(1)X0123P4【解答】【解答】【解答】5.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求∶（1）没有鸡感染病毒的概率;

（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率.【解答】X0123P456答案：(1)(2)Y0123P456小结一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下∶

明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p;

确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性;

设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,"则X～B（n，p）已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数.1.X可能取哪些值？X＝0,1,2超几何分布2.X＝1表示的试验结果是什么？求P(X＝1)的值.答案

​任取2件产品中恰有1件次品，

3.如何求P(X＝k)(k＝0,1,2)?答案超几何分布什么是超几何分布?先思考一个例子:1.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,求取到的次品数X的分布列.X

0

1

2

3P2.某校组织了一次认识大自然夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，那么其中恰有1名女生的概率有多大？解：从10名同学中随机抽取3名同学；共有

种不同的方法.其中恰有1名女生有

种方法.恰有1名女生的概率为：

一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝

(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.超几何分布超几何分布的概念；超几何分布中的公式．超几何分布1.从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.解∶设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5.因此甲被选中的概率2.一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且N=30，M=3，n=10.X的分布列为至少有1件不合格的概率为也可以按如下方法求解∶3.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.

（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列;（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.解：(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X～B（20，0.4），X的分布列为对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.00001），如下表所示4.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率，5.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.A.B.C.D.【解答】【解答】答案：(1)X0123P【解答】答案：(1)X0123P4【解答】超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N、M和n就可以根据公式：求出X取不同值k时的概率.学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M、N、n、k的含义.1.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差，2.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大?3.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.(1)质点回到原点;

(2)质点位于4的位置.4.某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求（精确到0.01）∶（1）恰有8次击中目标的概率;

（2）至少有8次击中目标的概率.5.有一个摸奖