四川省内江市2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

I川省内江市2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（）A,26E.27C.28D.292•设点3是点4（2厂3,5）关于平面xOy的对称点，则等于（）A.V10E・A.V10E・103.直线2x+y+l=0和x+2y+l=0的位置关系是（）A.平行E.A.平行E.相交但不垂直C.垂直D.不能确定第1次到第第1次到第14次的考试成绩依次记为，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一A.9E.8C.A.9E.8C.7D.6个算法流程图，那么输出的结果是（）茎叶63874823913984541025

5・方程（a-l）x-y+2a+l=0（ciER）所表示的直线与圆（x+l）2+r=25的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不能确定关于直线nun及平面&、0,下列命题中正确的个数是（）若in//a,aD0=〃，则m//n②若）n//a,n//a,则〃伽③若m丄ajn//p,则&丄0④若muaa丄0,则加丄0A.0E・1C・2D・3x-2y+2>0已知（无,北）为线性区域tv<l内的一点，若2xo-yo-c<O恒成立，则x+y-l>0C的取值范围是（）A.（2,+s）E.[2,+s）C.（l，+oo）D.[1,+<R）TOC\o"1-5"\h\z已知点M（l,3）到直线l.mx+y-l=0的距离等于1,则实数加等于（）443A.—E・—C・——D・——334我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果•哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40=3+37.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数•）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（）1111A.一E.一C.一D.一2345若圆心坐标为（—2,1）的圆，被直线x-y-1=0截得的弦长为2,则这个圆的方程是（）A,(x-2)2A,(x-2)2+(y-l)2=4E.(x+2)2+(y-l)2=4C・(C・(x+2)2+(y-l)2=9D.(x-2)2+(y-l/=9己知正三棱锥A-BCD的外接球是球0正三棱锥底边BC=3,侧棱AB=2Q点£在线段BD上,且2EE=DE,过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范闱是（）A,C.[2龙,4A,C.[2龙,4龙]D.在直角坐标系内，已知A（3,3）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x-y+l=0和x+y-7=0,若圆上存在点P使得MP-（CP-CN）=O,其中点M（T,O）,N（f,O）（虫疋），贝畀的取值范围是（）A.（3,7）B.（5,6]C.[4,5）D.[4,6]二、填空題已知再，厲，厲，…,X”的平均数为a，则2兀+3,2兀+3,...,2兀+3的平均数是•秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为/（x）=4x'-3+_25x+l,用秦九韶算法求这个多项式当x=3时的值为一条光线从点（2,-3）射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆（A--3）2+r=1相切，则反射光线所在的直线方程为—•如图所示，在长方体ABCD-AQCQ中，BBlBP，点E是棱CCt±的一个动点，若平面交棱人人于点尸，给出卞列命题：四棱锥5-BEDf的体积恒为定值;存在点E,使得丄平面BD£；对于棱CG上任意一点E,在棱ADt均有相应的点G,使得CG||平面存在唯一的点E,使得截面四边形BEDf的周长取得最小值.其中真命题的是其中真命题的是・（填写所有正确答案的序号）三、解答题已知直线h（a+l）x+y-2-a=0（aER）.（1）若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程；（2）当0（0.0）点到直线/距离最人时，求直线/的方程.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50.60）,[60,70）,[70.80）,[80,90）,[90,100].（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数与中位数.19.如图，把长为6,宽为3的矩形折成正三棱柱ABC-AQG，三棱柱的高度为3,矩形的对角线和三棱柱的侧棱BB\、cq的交点记为E、F・（1）在三棱柱ABC-A^q中，若过A、E、尸三点做一平面，求截得的几何体AiBQEF的表面积;（2）求三棱柱中异面直线4E与人尸所成角的余弦值.某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间X与乘客等候人数）,之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间刃分101112131415等候人数）,/人232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验•检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数夕，再求夕与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”•（1）从这6组数据中随机选取4组数据，求剩下的2组数据的间隔时间相邻的概率；（2）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程y=bx+d，并判断此方程是否是“恰当回归方程”•附：对于一组数据（兀」）,（丕小），…,（兀,儿），其回归直线y=bx+a的斜率和截距.£（齐-元）仇-刃£和厂诃的最小二乘估计分别为：=,a=y-bx.（=11=1如图，在四棱锥中P-ABCD中，AD丄CD,AD//BC，AD=2BC=2CD=4,PC=2书,△刖£＞是正三角形.（1）求证：CD丄P4：（2）求与平面PCD所成角的余弦值.22.已知圆心在x轴上的圆C与直线4x-3y-6=0切于点片心一#，圆PX2+（a+3）x+y2-ay+2a+2=0.（1）求圆C的标准方程：（2）已知圆P与x轴相交于两点M、N（点M在点N的右侧），过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A3两点.问：是否存在实数4使得ZAMW=Z3AM?若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由.参考答案B【解析】【分析】由系统抽样可知抽取一个容量为4的样本时，将48人按顺序平均分为4组，由已知编号可得所求的学生来自第三组，设其编号为•则15-3=X—15,进而求解即可【详解】由系统抽样可知，抽取一个容量为4的样本时，将48人分为4组,第一组编号为1号至12号：第二组编号为13号至24号;第三组编号为25号至36号;第四组编号为37号至48号，故所求的学生来自第三组，设其编号为•则15-3=/-15,所以x=27,故选:B【点睛】本题考查系统抽样的编号，属于基础题B【分析】利用空间中的两个点关于xOy平面对称时的坐标关系可求B的坐标，再利用两点之间的距离公式可求\AB\.【详解】因为点〃是点人（2,—3,5）关于平面xOy的对称点，故〃（2,—3,—5）,故\AB\=J（2-2）'+（-3+3）'+（5+5）‘=10，故选B.【点睛】本题考查空间中关于坐标平面对称的点的坐标关系，此类问题属于基础题.B【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可.【详解】由2x+y+l=0^y=-2x-l,因此该直线的斜率为：k严—2.由x+2y+l=0=>y=-丄x—丄，因此该直线的斜率为：«=-丄，'222因为人hk»k*=1^-1,所以这两条直线相交但不垂直.故选：B【点睛】本题考查了判断两条直线的位置关系，考查了由直线一般式求直线的斜率，属于基础题.A【分析】由程序框图町知其输出结呆为成绩不小于90的次数，进而利用茎叶图的数据求解即可【详解】由程序框图可知其输出结呆为成绩不小于90的次数，则可由茎叶图得到符合条件的次数为9,故选:A【点睛】本题考查读懂程序框图的功能,考查茎叶图的应用，属于基础题C【分析】整理直线方程可得c/(x+2)—x—y+l=0,则直线恒过(—2,3),可判断(—2,3)在圆内，即可判断直线与圆的位置关系【详解】由题,直线为(。一1)/一『+2。+1=0(。€尺),即c/(x+2)—x-y+l=0、当x=—2时』=3,即直线恒过(—2,3),因为(一2+1)'+3’=10V25，所以(—2,3)在圆内，则过圆内一点的直线一定与圆相交，故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线恒过定点的应用B【分析】®:根据线面的位置关系和线线关系进行判断即可；：根据线面平行的性质进行判断即町；：根据线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理进行判断即可；：根据面面垂直的性质定理进行判断即町.【详解】：因为mHa,所以直线加与平面&没有交点，而&门0=〃，所以直线加与直线"没有交点，故两直线的位置关系是平行或异面，故本命题不正确；：因为m//a,n//a,所以直线〃八”和平面a没有交点，故两条直线可以相交、平行、异面，故本命题不正确；：因为加〃0,所以存在一个过直线m的平面/与0相交，设交线为c,因此有mllc,又因为加丄a,所以c丄a,由面面垂直的判定定理可得，&丄0,故本命题正确；：因为川丄0,所以只有当川与a,0的交线垂直时，才能得到加丄0,故本命题不正确，因此只有一个命题正确.故选：B【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理，考查了线线位置关系的判断，考查了推理论证能力.A【分析】由2x°-yo-c<O可以变形为2x°-y0<c,在可行解域内求出目标函数z=lx-y的最大值，进而可以求出c的取值范围.【详解】2竝—儿—cv0n2x0-y0<c，设z=2x-y.在平面直角坐标系内画出不等式组表示的可行解域，如下图所示：在可行解域内平行直线y=2x-z,当直线经过A(1,O)时，该直线在纵轴上截距最小，所以鮎严2x1—0=2,所以要想2x0-y0-c<0恒成立，只需：c>2.故选：A【点睛】本题考查了利用线性规划解决不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.TOC\o"1-5"\h\zD【分析】利用点到直线距离公式求解即可【详解】由题，点M到直线/的距离为:d=片+1=1，解得〃7=y/nr+124故选:D【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，属于基础题A【分析】先列出不超过11的素数，再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况，即可求解【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个，随机选取2个不同的数可能为：（2,3）,（2,5）,（2,7）,（2,11）,（3,5）,（3,7）,（3,11）,（5,7）,（5,11）,（7,11）,共有10种情况,其中和小于等于10的有:（2,3）,（2,5）,（2,7）,（3,5）,（3,7）,共有5种情况,则概率为P=-^=p故选:A【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率，属于基础题C【分析】由弦长为二了'，利用点到直线距离求得〃，进而求解即可【详解】由题，设圆的半径为厂，圆心到直线距离为d,所以弦长为2丁^二疋=2，则r=9,所以圆的方程为(x+2)2+(j-1)2=9,故选:C【点睛】本题考查圆的方程，考查弦长的应用，考查数形结合思想C【分析】设初仞的内心为O],设球的半径为/?,利用正三棱锥的性质和正三角形的性质可以求出该三棱锥的高AO】的长，再利用勾股定理，可以求出球的半径/?的值，点E作球。的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面的面积最人，即可求解.【详解】设ABCD的内心为设球的半径为/?,如下图所示：连接OQ、ODOE,OE.op=3sin60°x-=羽,AO,=JAD—DO：=3,在Rt\OOfi中，疋=3+(3—/?)'=>R=2.因为2BE=DE,所以DE=2,由余弦定理可知：O£=J3+4-2x>/§x2.cos30°=1，OE=Jo、E'+OO：=迈,当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为：就丄唐=近,此时截

面的面积为2龙，当截面过球心时，截面的面积最人，此时面积为4龙・截面圆面积的取值范围是［2龙,4龙］.故选：C【点睛】本题考查了正三棱锥外接球问题，考查了球截面的性质，考查了数学运算能力.D【分析】求出4(3,3)点关于直线x-y+l=O.x+y-l=0的对称点，进而求出圆的圆心及半径,根据圆的参数方程，设出P点的坐标，根据平面向量运算的坐标表示公式化简MP(CP-CN)=O,最后利用辅助角公式和正弦型函数的最值求出/的取值范I轧【详解】设4(3,3)点关于设4(3,3)点关于x-y+l=0对称的点为则有:x+3y+3T~fx=2=>y=4所以A(2,4),同理点4(3,3)关于直线x+y-7=0对称的点的坐标为:B(4,4),设圆「9+9+3£>+3E+F=0(D=-6的方程为:x"+y"+Dx的方程为:x"+y"+Dx+Ey+F=Q9所以有:16+16+4D+4E+F=0尸=24所以圆心坐标为(3,4),半径为1,故点P的坐标为：(3+cosa,4+sum).Mp=(3+f+cosa,4+sma),CP-CN=NP=(3-r+cosa,4+sma),MP-(CP-CN)=cos2a+9+6cosa—尸+16+8sina+sin2a=10sin(a+&)+26—尸=03(其中tan0=-),r=10sin(a+0)+26w[16,36],4因为teR^所以/的取值范围是[4,6].故选：D【点睛】本题考查了圆的方程求法，考查了点关于线对称点的求法，考查了平面向量坐标运算公式，考查了辅助角的应用，考查了正弦型函数的最值，考查了数学运算能力.2a+3【分析】由题可得兀+冬+…+£=na，再利用平均数的定义求解即可【详解】由题，戈=#(兀+兀+•••+£)=a,所以兀+x)+•••+£=“a,则2兀+3,2x2+3,…,2xn+3的平均数为：—[(2x}+3)+(2x2+3)+..・+(2x”+3)]=丄[2(為+兀+・・・+兀)+3町=-(2an+3n)=2a+3故答案为：2c/+3【点睛】本题考查平均数公式的应用，属于基础题859【分析】先将多项式转化为((((4x+0)x-3)x-2)x-5卜+1的形式，然后逐步计算％至叫的值，即可得到答案【详解】根据秦九韶算法把多项式改写为如下形式：/（x）=4x5+0x4一3丘一2扌一5x+l=（（（（4x+0）x-3）x-2）x-5）x+l,所以匕=4,«=4x3=12,匕=12x3—3=33,匕=33x3—2=97,匕=97x3—5=286,匕=286x3+1=859,故答案为：859【点睛】本题考查利用秦九韶算法求多项式的值，属于基础题_r=2或4x+3y—17=0【分析】点（2,-3）关于x轴的对称点为（2,3）,即反射光线过点（2,3）,分别讨论反射光线的斜率k存在与不存在的情况,进而求解即可【详解】点（2,-3）关于x轴的对称点为（2,3）,（1）设反射光线的斜率为R,则反射光线的方程为y—3=£（x—2）,即kx-y+3—2k=0,因为反射光线与圆（x-3）'+尸=1相切，吐+3-2刈所以圆心到反射光线的距离d=厂，即店+（［亍",4解得k=-§,所以反射光线的方程为:必+3），-17=0：（2）当k不存在时，反射光线为x=2,此时,也与圆（x-3）2+r=1相切，故答案为：兀=2或处+3），-17=0【点睛】本题考查直线在光学中的应用，考查圆的切线方程①②④【分析】对①，将四棱锥$-BED'F分成两部分d-BED\与BDf分析即可对②,根据线面垂直的判定，注意用到BQ丄BD,再利用线面垂直与线线垂直的判定即可.对③，举出反例即可.对④,四边形BEDf的周长C°=2(BE+EDJ,展开长方体分析最值即可.【详解】对①,％-be%-=，又三棱锥d-BED严E_BBA底面BBQ、不变,且因为CG〃底面BBD，故E到底面BBQ、的距离即E-BBQ』的高长度不变.故三棱锥B\-BED,体积一定，即四棱锥坊-BED\F的体积恒为定值，①正确.对②，因为BB严Bfi,，且长方体ABCD-AQCQ，故四边形BBQD为正方形，故色。丄BD、.要BQ丄平面BD、E则只需BQ丄BE,又CD丄比,故只需BE丄面DCB,.又B,Cu平面DCB,，故只需BE丄B’C即可.因为3坊=BQ严BD>BC,故当丝=竺BCCE时存在点E，使得BE丄,即丄平面BDfi.故②正确.对③，当E在C时总有CG与平面£疗。相交，故③错误.对④,四边形BEDf的周长C°=2(BE+EDl),分析BE+ED、即可.将矩形BCCQ沿着CC、展开使得B在DC延长线上时，此时B的位置设为P，则线段Df与ccx的交点即为使得截面四边形BED\F的周长取得最小值时的唯一点E•故④正确.故答案为①②④【点睛】

本题考查立体几何中的垂直平行判定等，在证明垂直等问题时需要用到线线线面垂直的性质和判定等,对空间想象能力以及立体几何证明有一定的要求，属于难题.17・⑴一x+y=0或x+y-2=0(2)x+y-2=0【分析】先求出直线/在两坐标轴上的截距，根据题意，列出方程，解方程即可；根据直线的点斜式方程可以确定直线恒过的定点，然后根据直线/与AO垂直时,0(0,0)点到直线/距离最人，最后求出0的值，进而求出直线的方程.【详解】(1)直线I\a+l)x+y-2-a=09取x=0,y=a+2取｝?取｝?=0,即^+2=—,解得4=—2或a+1故直线方程为一x+y=o或x+y—2=0(2)I\{a+l)x+y-2-a=0变换得到ci(x-l)+x+y-2=0,故过定点4(1,1)当直线/与AO垂直时，距离最大.GJ故k=解得故所求直线方程为X+y-2=o【点睛】本题考查了直线的截距的定义，考查了直线过定点的判断，考查了已知点到直线的距离的最人值求参数问题，考查了数学运算能力.218.(1)a=0.005(2)平均数为73,中位数为：71—・3【分析】由频率和为1求解即可；以各区间中点值代表各组的取值，进而求得平均数；求出从左边开始小矩形的面积的和为0.5对应的横轴的值即为中位数【详解】

由频率分布直方图知(2。+0.02+0.03+0.04)x10=1,解得a=0.005估计这100名学生语文成绩的平均分为：55x0.005x10+65x0.04x10+75x0.03x10+85x0.02x10+95x0.005x10=73由(1)，设中位数为x,则0.005xl0+0.04xl0+0.03(x-70)=0.52?解得x=71-,故估计中位数为：71-.本题考查频率的性质，考查利用频率分布直方图求平均数和中位数，考查数据处理能力【分析】（1）由操作可知，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3.所求几何体的表面积为各面的面积之和，利用表面积公式求解即可；（2）延长C]C到乩使CH=C\F=1,连结AH,EH,可以证明出\FHAH,所以异面直线人尸与4E所成的角即为ZEAH（或其补角），利用余弦定理求值即可.【详解】（1）由操作可知，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3.所求几何体的表面积为各面的面积之和.又s’卄"=$2x1=1S*恥1=扌A坊••sin60。=*X2X2sm60°=羽=*Ad•恥=]2x2=2S四边形gFE=+=^x（1+2）x2=3又在三角形中，人尸==石,人丘=2忑故S表=1+2+3+石+“=6+石+苗(2)延长C\C到使CH=Cf=l,连结AH.EH9所以有平行四边形的性质可知A.F//AH,所以异面直线人尸与4疋所成的角即为ZE4H(或其补角)在中，AE=Vl+4=>/5.AH=>/1+4=>/5,EH=^/4+4=2^2由余弦定值得COS由余弦定值得COSZEAH=5+5-8_12x^/5x>/55【点睛】本题考查了异面直线所成的角，考查了空间几何体的表面积的求法，考查了余弦定理的应用.20.(1)|(2)$，=1.2x+12,此方程是“恰当回归方程”.【分析】先列出剩卜•2组数据的基本事件，再找到相邻的情况，进而求解即町：利用最小二乘法由公式求得线性回归方程，再代入剩余两组的数据进行检验即可【详解】(1)设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据相邻”为爭件A,记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的2组数据的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种,其中相邻的有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)，共5种,所以p(A)=—=-153(2)中间4组数据是：间隔时间(分钟)11121314

等候人数（人）25262928因为壬=11+12：13+14=]2.5因为壬=11+12：13+14=]2.5』=44所以立兀一可（开-刃=6,£（兀-打=5,/=!1=1£（兀-元）（刀-刃6所以£==-=1.2,律可51=1a=y-bx=27-1.2x12.5=12,所以y=1.2x+12,当x=10时，y=1.2x10+12=24,24-23=1<1；当x=15时，$=1.2x15+12=30,30—31=—1,|一1|51；所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”【点睛】本题考查列举法求占典概型的概率，考查最小二乘法求线性回归方程，考查线性回归方程的实际应用21.（1）证明见解析（2）亜4【分析】（1）结合正三角形的性质和勾股定理的逆定理可以证明出CQ丄加，再利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）点E是PD的中点，连接AE,根据（1）中的线面垂直，可以得到面面垂直，进而根据面面垂直的性质定理可以证明出肚丄平面PCD,这样可以得到AF与平面PCD所成角ZAHE,通过锐角三角函数的定义可以求出43与平面PCD所成角的余弦值.【详解】（1）证明：VAPAD是正三角形，AD=2CD=4,・・.PD=4,CD=2,Apc2=PD2+CD2=20»:・CD丄PD,•••AD丄C0ADOPD=D,丄平面P4D，:.CD/r