7.4　空间直线、平面的垂直

7.4

空间直线、平面的垂直第七章课标要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中直线、平面垂直的有关性质与判定.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.备考指导和空间的平行关系类似,空间垂直关系也是高考的重点,既可以在解答题中作为条件或要证明的结论,也可能在选择题、填空题中利用垂直关系将所求进行转化,对数学运算、直观想象和逻辑推理素养都有一定的要求.复习中要注意垂直与平行的综合问题,在熟练应用垂直关系判断和证明的基础上,训练空间角的几何求法.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.直线与直线垂直(1)异面直线所成的角①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围:设θ为异面直线a与b所成的角,则0°<θ≤90°.当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.(2)两异面直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b.问题思考空间中两条直线垂直,一定相交吗?不一定.2.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义温馨提示对线面垂直定义的理解

(1)“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.

(2)由定义可得,线面垂直⇒线线垂直,即若a⊥α,b⊂α,则a⊥b.(2)点到平面的距离过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.(3)直线与平面垂直的判定定理温馨提示1.定理可表述为“若线线垂直,则线面垂直”.

2.“两条相交直线”是关键,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误.即“线不在多,相交就行”.(4)直线与平面所成的角①定义:一条直线PA和一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.②规定:一条直线垂直于平面,称它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,称它们所成的角是0°.③范围:直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.(5)直线与平面垂直的性质定理

(6)线面距离、平行平面间的距离①一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.②如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.3.平面与平面垂直(1)二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.(2)二面角的平面角①定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.②符号及范围范围:0°≤∠AOB≤180°.③规定:二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3)平面与平面垂直①定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作

α⊥β.②判定定理③性质定理

3.判断面面垂直的有关结论(1)m∥n,m⊥α,n⊂β⇒α⊥β;(2)m⊥α,n⊥β,m⊥n⇒α⊥β.4.如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即α⊥β,A∈α,A∈b,b⊥β⇒b⊂α.5.如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面,即α⊥β,γ∥β⇒γ⊥α.6.如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内,即α⊥β,b⊥β⇒b∥α或b⊂α.7.如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,即α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ.8.三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,即α⊥β,α∩β=l,β⊥γ,β∩γ=m,γ⊥α,γ∩α=n⇒l⊥m,m⊥n,l⊥n.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.(

)(2)若直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.(

)(3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(

)(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(

)(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(

)××√××2.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线与B1O垂直的是(

)A.A1D

B.AA1C.A1D1

D.A1C1D连接B1D1,易知A1C1⊥平面BB1D1D.因为OB1⊂平面BB1D1D,所以A1C1⊥B1O.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,PA=1,则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是(

)A.30°

B.45°C.60°

D.90°B∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA,又底面ABCD是正方形,∴CD⊥AD,而PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,得CD⊥PD,可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角.在Rt△PAD中,由PA=AD=1,可得∠PDA=45°.即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面BB1D1D所成的角等于

.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C1交B1D1于点M,连接MB,由题意可得A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,因为B1D1∩BB1=B1,所以直线A1C1⊥平面BB1D1D,所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠MBC1.5.如图,PA垂直于☉O所在平面,AB是☉O的直径,C是☉O上一点(不与点A,B重合),AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是

.

①②④

因为PA垂直于☉O所在平面,所以PA⊥BC.因为AB是直径,所以BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC,所以AE⊥BC,故①正确.因为AE⊥PC,AE⊥BC,所以AE⊥平面PBC,故④正确.因为PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB.又AF⊥PB,所以PB⊥平面AEF,又EF⊂平面AEF,所以EF⊥PB,故②正确.因为AF⊥PB,若AF⊥BC,则AF⊥平面PBC,则AF与AE重合,与已知矛盾,故③错误.第二环节关键能力形成能力形成点1直线与平面垂直的判定与性质例1

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点,且

,PH为△PAD中AD边上的高.求证:(1)PH⊥平面ABCD;(2)EF⊥平面PAB.证明

(1)因为AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高,所以PH⊥AD.因为AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PH⊥平面ABCD.(2)如图,取PA的中点M,连接MD,ME.因为E是PB的中点,所以EF∥MD.因为PD=AD,所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD,所以MD⊥AB.因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB.解题心得1.证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是面面垂直的性质定理;三是平行线法,即若两条平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面.2.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、圆的直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等.对点训练1如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=1,AD=2,F是PB的中点,点E在边BC上移动.(1)求三棱锥E-PAD的体积;(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE.(1)解

∵四边形ABCD为矩形,AB=1,AD=2,(2)证明

∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.又AF⊂平面PAB,∴BC⊥AF.∵PA=AB=1,且F是PB的中点,∴AF⊥PB.∵PB∩BC=B,∴AF⊥平面PBC.又PE⊂平面PBC,∴无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE.能力形成点2平面与平面垂直的判定与性质例2

如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为

,求该三棱锥的侧面积.(1)证明

因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)解

设AB=x,在菱形ABCD中,解题心得1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.2.由平面与平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证明线面垂直.3.平面与平面垂直的判定定理的两个条件:l⊂α,l⊥β,缺一不可.对点训练2如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,AA1⊥平面ABCD,∠BAD=60°,AB=2,BC=1,,E为A1B1的中点.(1)求证:平面A1BD⊥平面A1AD;(2)求多面体A1E-ABCD的体积.(1)证明

∵AB=2,AD=BC=1,∠BAD=60°,∴BD2+AD2=AB2,∴BD⊥AD.∵AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥AA1.又AA1∩AD=A,AA1⊂平面A1AD,AD⊂平面A1AD,∴BD⊥平面A1AD.又BD⊂平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面A1AD.能力形成点3空间角的计算命题角度1异面直线所成的角例3

已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

)C(方法一)分别延长CB,C1B1至点D,D1,使BD=BC,B1D1=B1C1,连接DD1,B1D(图略).由题意知,C1B∥B1D,则∠AB1D或其补角即为异面直线AB1与BC1所成的角.连接AD,在△ABD中,(方法一)分别延长CB,C1B1至点D,D1,使BD=BC,B1D1=B1C1,连接DD1,B1D(图略).由题意知,C1B∥B1D,则∠AB1D或其补角即为异面直线AB1与BC1所成的角.连接AD,在△ABD中,(方法二)将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接AD1,B1D1,BD.由题意知∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,命题角度2直线与平面所成的角例4

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知四边形ABB1A1是矩形,四边形BCC1B1是菱形,O为BC的中点,且AB=1,BC=2,∠ABC=90°,∠B1BC=60°.(1)求证:B1C⊥平面ABC1;(2)求直线CC1与平面AB1O所成角的正弦值.(1)证明

因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC.因为四边形ABB1A1是矩形,所以AB⊥BB1.又BC⊂平面BCC1B1,BB1⊂平面BCC1B1,BC∩BB1=B,所以AB⊥平面BCC1B1.因为B1C⊂平面BCC1B1,所以AB⊥B1C.又四边形BCC1B1是菱形,所以B1C⊥BC1.因为AB⊂平面ABC1,BC1⊂平面ABC1,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1.(2)解

因为四边形BCC1B1是菱形,∠B1BC=60°,O为BC的中点,所以B1O⊥BC.由(1)知AB⊥平面BCC1B1,所以AB⊥B1O.又BC∩AB=B,所以B1O⊥平面ABC.又B1O⊂平面AB1O,所以平面AB1O⊥平面ABC.过点B作BH⊥AO于点H,如图所示,则BH⊥平面AB1O.连接B1H,则∠BB1H即为直线CC1与平面AB1O所成的角.命题角度3求二面角例5

如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,点F在PA上,且2PF=FA.(1)求证:平面PAC⊥平面BEF;(2)求平面ABC与平面BEF所成二面角的余弦值.(1)证明

∵PB⊥底面ABC,且AC⊂底面ABC,∴AC⊥PB.由∠BCA=90°,可得AC⊥CB.又PB∩CB=B,PB,CB⊂平面PBC,∴AC⊥平面PBC.∵BE⊂平面PBC,∴AC⊥BE.∵PB=BC,E为PC的中点,∴BE⊥PC.∵AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC,∴BE⊥平面PAC.∵BE⊂平面BEF,∴平面PAC⊥平面BEF.(2)解

如图,取AF的中点G,AB的中点M,连接CG,CM,GM,∵E为PC的中点,2PF=AF,∴EF∥CG.∵CG⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,∴CG∥平面BEF.同理可证GM∥平面BEF,∵CG∩GM=G,∴平面CMG∥平面BEF.则面ABC与面BEF所成的二面角等于面AMC与面CMG所成的二面角.∵PB⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,∴CM⊥PB.∵CM⊥AB,PB∩AB=B,PB,AB⊂平面PAB,∴CM⊥平面PAB.∵GM⊂平面PAB,∴CM⊥GM,∴∠AMG为二面角G-CM-A的平面角.解题心得1.求两异面直线所成的角的三个步骤:(1)作:根据定义,用平移法作出异面直线所成的角;(2)证:证明作出的角就是要求的角;(3)计算:求角的值,常通过解三角形得出.2.作出异面直线所成的角主要有三种平移方法:(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线);(2)中位线平移法;(3)补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).3.求斜线与平面所成的角的步骤:(1)作:作(或找)出斜线在平面内的射影,要过斜线上一点(不包括斜足)作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上的点以及垂足的位置要与问题中的已知量有关,才能便于计算.(2)证:证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.4.作二面角的平面角的常用方法(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角,如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法.过二面角的一个面内不在棱上的点A向另一个面所在平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角,如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.对点训练3(1)(2021全国Ⅰ,理5)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(

)D(2)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.①求证:BD⊥A1C;②求直线BD与CD1所成角的余弦值;③求直线BD与平面A1CD1所成角的正弦值.①证明

因为A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥BD.连接AC,因为底面ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又A1A∩AC=A,所以BD⊥平面A1AC,所以BD⊥A1C.③解

因为B1D1∥BD,所以直线BD与平面A1CD1所成角的正弦值等于直线B1D1与平面A1CD1所成角的正弦值.因为B1C1∥A1D1,A1D1⊂平面A1CD1,B1C1⊄平面A1CD1,所以B1C1∥平面A1CD1,所以点B1到平面A1CD1的距离等于点C1到平面A1CD1的距离.因为A1D1⊥平面DCC1D1,所以平面A1CD1⊥平面DCC1D1,所以点C1到平面A1CD1的距离等于直角三角形D1C1C的斜边D1C上的高h,(3)如图所示,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为

.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小.解

如图,取AD的中点M,连接MO,PM.因为四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,所以OA=OD,所以OM⊥AD.因为PO⊥底面ABCD,所以∠POA=∠POD=90°,所以△POA≌△POD,所以PA=PD,所以PM⊥AD,所以∠PMO是侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角.因为PO⊥底面ABCD,所以∠PAO是侧棱PA与底面ABCD所成的角,能力形成点4空间距离的计算例6

如图,在三棱锥P-ABC中,,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.(2)解

如图,作CH⊥OM,垂足为H,又由(1)可得OP⊥CH,OP∩OM=O,所以CH⊥平面POM,故CH的长为点C到平面POM的距离.解题心得求点到平面的距离一般有两种方法:(1)构造法:根据定义构造垂直于平面的直线,确定垂足的位置,将所求线段化归到三角形中求解.(2)等积变换法:将所求距离看作