2023届江苏省泰州市泰兴市九年级数学上册期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（）A． B． C． D．2．小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（）A． B． C．1 D．3．若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠04．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼。通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）A．600条 B．1200条 C．2200条 D．3000条5．已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…当y2＞y1时，自变量x的取值范围是A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞46．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A． B． C． D．7．如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”.现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（）A． B． C． D．8．用配方法解方程时，方程可变形为（）A． B． C． D．9．点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是()A．4 B．﹣4 C．2 D．±210．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球11．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为()A．m B．m C．m D．m12．如图，点M为反比例函数y＝上的一点，过点M作x轴，y轴的垂线，分别交直线y＝-x+b于C，D两点，若直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，则AD·BC的值是（）A．3 B．2 C．2 D．二、填空题（每题4分，共24分）13．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为．14．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，1，5，9；乙：9，6，1，10，7，1．（1）请补充完整下面的成绩统计分析表：平均分方差众数中位数甲组19乙组11（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________．15．在一个不透明的布袋里装有若干个只有颜色不同的红球和白球,其中有3个红球,且从布袋中随机摸出1个球是红球的概率是三分之一,则白球的个数是______16．将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点，并能使点自由旋转，设，，则与之间的数量关系是__________．17．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________．18．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知抛物线与轴交于点和且过点．求抛物线的解析式；抛物线的顶点坐标；取什么值时，随的增大而增大；取什么值时，随增大而减小．20．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程．（1）；（2）．21．（8分）如图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象（如图）：（1）分别写出当0≤x≤4与x＞4时，y与x的函数关系式：（2）求出所输出的y的值中最小一个数值；（3）写出当x满足什么范围时，输出的y的值满足3≤y≤1．22．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2=OB·OE．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．23．（10分）综合与实践背景阅读：旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转作为图形变换的一种，具备图形旋转前后对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形是全等图形等性质．所以充分运用这些性质是在解决有关旋转问题的关健．实践操作：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．问题解决：（1）①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）试判断：当0°≤a＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．问题再探：（3）当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求得线段BD的长为．24．（10分）（问题情境）如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（探究展示）(1)证明：AM=AD+MC；(2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（拓展延伸）(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．25．（12分）已知：在Rt△ABC中，AB=BC,在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM=DM且BM⊥DM；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．26．已知抛物线与轴的两个交点是点，（在的左侧），与轴的交点是点．（1）求证：，两点中必有一个点坐标是；（2）若抛物线的对称轴是，求其解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】由题意得函数关系式为，所以该函数为反比例函数．B、C选项为反比例函数的图象，再依据其自变量的取值范围为x＞0确定选项为C．2、A【解析】试题分析：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是．故选A．考点：概率公式．3、A【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．4、B【分析】由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．【详解】解：30÷2.5%=1．故选：B．【点睛】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．5、D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（1，5），-1＜x＜1时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=1时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（1，5），而-1＜x＜1时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞1．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．6、D【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断．【详解】A、是轴对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．7、D【分析】根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．【详解】设印有中国国际进口博览会的标志为“”，印有进博会吉祥物“进宝”为，由题列表为所有的等可能的情况共有种，抽到的两卡片图案不相同的等可能情况共有种，，故选：D.【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8、D【详解】解：∵2x2+3=7x，∴2x2-7x=-3，∴x2-x=-，∴x2-x+=-+，∴（x-）2=．故选D．【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，掌握配方法的步骤进行计算是解题关键．9、D【分析】根据点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:,然后解方程即可求解.【详解】因为点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:,,解得:,故选D.【点睛】本题主要考查反比例函数图象的上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.10、A【解析】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.11、A【解析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα=，列出方程即可解决问题．【详解】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，sinα=，∴=sinα，∴x-1=xsinα，∴（1-sinα）x=1，∴x=．故选A．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．12、C【分析】设点M的坐标为()，将代入y＝-x+b中求出C点坐标，同理求出D点坐标，再根据两点之间距离公式即可求解．【详解】解：设点M的坐标为()，将代入y＝-x+b中，得到C点坐标为()，将代入y＝-x+b中，得到D点坐标为()，∵直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，∴A点坐标(0，b)，B点坐标为(b，0)，∴AD×BC=，故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数及反比例函数的性质，先设出M点坐标，用M点的坐标表示出C、D两点的坐标是解答此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【详解】解：，得x1=3，x2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=1．故答案是：114、（1），1.5，1；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．【详解】（1）甲组方差：甲组数据由小到大排列为：5，7，1，9，9，10故甲组中位数：（1+9）÷2=1.5乙组平均分：(9+6+1+10+7+1)÷6=1填表如下：平均分方差众数中位数甲组191.5乙组111（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组，所以乙组成绩更稳定．故答案为：，1.5，1；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【点睛】本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．15、6【分析】设白球的个数是x个，根据列出算式，求出x的值即可.【详解】解：设白球的个数是x个，根据题意得：解得：x=6.故答案为6.【点睛】本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.16、【分析】分重叠和不重叠两种情况讨论，由旋转的性质，即可求解．【详解】如图，由题意得：，，，．如图，由题意得：，，，，．综上所述，，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．17、．【解析】试题分析：根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．试题解析：连接AB，由画图可知：OA=0B，AO=AB∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°=．考点：1．特殊角的三角函数值；2．等边三角形的判定与性质．18、x＜﹣1或x＞1．【分析】利用二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】∵抛物线的对称轴为直线，

而抛物线与轴的一个交点坐标为（-1，0），

∴抛物线与轴的另一个交点坐标为（1，0），

∴当时，的取值范围为或．

故答案为：或．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．三、解答题（共78分）19、（1）；（1）；（3）当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．【分析】（1）设二次函数解析式为y=a(x﹣1)(x﹣1)，然后把点(3，4)代入函数解析式求得a的值即可；（1）将（1）中抛物线的解析式利用配方法转化为顶点式，可以直接写出顶点坐标；（3）根据抛物线的开口方向和对称轴写出答案．【详解】（1）∵二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴交于点(1，0)和(1，0)，∴设该二次函数解析式为y=a(x﹣1)(x﹣1)(a≠0)，把点(3，4)代入，得：a×(3﹣1)×(3﹣1)=4，解得：a=1．则该抛物线的解析式为：y=1(x﹣1)(x﹣1)；（1）由（1）知，抛物线的解析式为y=1(x﹣1)(x﹣1)．∵y=1(x﹣1)(x﹣1)=1(x)1，∴该抛物线的顶点坐标是：(，)．（3）由抛物线的解析式y=1(x)1知，抛物线开口方向向上，对称轴是x．结合二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴交于点(1，0)和(1，0)，作出该抛物线的大致图象．如图所示，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要熟悉抛物线解析式的三种形式，并且掌握抛物线的性质．20、（1），；（2），．【分析】（1）把原方程化成一元二次方程的一般形式，利用公式法解方程即可；（2）按照平方差公式展开、合并，再利用十字相乘法解方程即可．【详解】（1）整理得：，∵，∴，∴，∴，．（2）整理得：，∴，∴x+4=0或x-2=0，解得：，．【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．21、（1）当时，y=x+3；当时y=(x-1)2+2（2）最小值2（3）0≤x≤5或7≤x≤2【解析】（1）当0≤x≤4时，函数关系式为y=x+3；当x＞4时，函数关系式为y=（x﹣1）2+2；（2）根据一次函数与二次函数的性质，分别求出自变量在其取值范围内的最小值，然后比较即可；（3）由题意，可得不等式和，解答出x的值即可．【详解】解：（1）由图可知，当0≤x≤4时，y=x+3；当x＞4时，y=（x﹣1）2+2；（2）当0≤x≤4时，y=x+3，此时y随x的增大而增大，∴当x=0时，y=x+3有最小值，为y=3；当x＞4时，y=（x﹣1）2+2，y在顶点处取最小值，即当x=1时，y=（x﹣1）2+2的最小值为y=2；∴所输出的y的值中最小一个数值为2；（3）由题意得，当0≤x≤4时，解得，0≤x≤4；当x＞4时，，解得，4≤x≤5或7≤x≤2；综上，x的取值范围是：0≤x≤5或7≤x≤2．22、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由题意，得到，然后由AD∥BC，得到，则，即可得到AF//CD，即可得到结论；（2）先证明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后证明得到，即可得到△ABE∽△ADC.【详解】证明：（1）∵OD2=OE·OB，∴．∵AD//BC，∴．∴．∴AF//CD．∴四边形AFCD是平行四边形．（2）∵AF//CD，∴∠AED=∠BDC，．∵BC=BD，∴BE=BF，∠BDC=∠BCD∴∠AED=∠BCD．∵∠AEB=180°∠AED，∠ADC=180°∠BCD，∴∠AEB=∠ADC．∵AE·AF=AD·BF，∴．∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD．∴．∴△ABE∽△ADC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.23、（1）①，②；（2）无变化，证明见解析；（2）6或．【分析】问题解决：（1）①根据三角形中位线定理可得：BD=CDBC=6，AE=CEAC=2，即可求出的值；②先求出BD，AE的长，即可求出的值；（2）证明△ECA∽△DCB，可得；问题再探：（2）分两种情况讨论，由矩形的判定和性质以及相似三角形的性质可求BD的长．【详解】问题解决：（1）①当α=0°时．∵BC=2AB=3，∴AB=6，∴AC6，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴BD=CDBC=6，AE=CEAC=2，DEAB，∴．故答案为：；②如图1．，当α=180°时．∵将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，∴CD=6，CE=2，∴AE=AC+CE=9，BD=BC+CD=18，∴．故答案为：．（2）如图2，，当0°≤α＜260°时，的大小没有变化．证明如下：∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．问题再探：（2）分两种情况讨论：①如图2．．∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，∴AD3．∵AD=BC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=6②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P．∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，∴AD3．在Rt△CDE中，DE==2，∴AE=AD﹣DE=3﹣2=9，由（2）可得：，∴BD．综上所述：BD=6或．故答案为：6或．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，正确作出辅助线，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．24、(1)证明见解析；(2)AM=DE+BM成立，证明见解析；(3)①结论AM=AD+MC仍然成立；②结论AM=DE+BM不成立．【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，得到AD=CN，再证明AM=NM即可;（2）过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，易证△ABF≌△ADE，从而证明AM=FM，即可得证；（3）AM=DE+BM需要四边形ABCD是正方形，故不成立，AM=AD+MC仍然成立.【详解】(1)延长AE、BC交于点N，如图1(1)，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．在△ADE和△NCE中，∴△ADE≌△NCE(AAS)．∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．(2)AM=DE+BM成立．证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1(2)所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE(ASA)．∴BF=DE，∠F=∠AED．∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．∴∠F=∠FAM．∴AM=FM．∴AM=FB+BM=DE+BM．(3)①结论AM=AD+MC仍然成立．②结论AM=DE+BM不成立．【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判断与性质.25、（1）证明见解析（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BM=DM，然后根据四点共圆可以得出∠BMD=2∠ACB=