人教B版高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第2课时课件

2.2.4均值不等式及其应用第2课时2.2.4均值不等式及其应用第2课时1问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑推理等素养．（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）情境与问题复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样的问题？如果a，b都是正数，那么

，当且仅当a＝b时，等号成立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？情境与问题复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾新知探究问题2我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利用

（a，b都是正数），也可使用a＋b≥．你还有哪些变形呢？新知探究问题2我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利新知探究例1已知ab＞0，求证：≥2，并推导出等号成立的条件．证明：因为ab＞0，所以

，根据均值不等式，得

，即

，因为ab＞0，所以等号成立的条件是a＝b．当且仅当

，即a2＝b2时，等号成立．新知探究例1已知ab＞0，求证：≥2，新知探究例2已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab．证明：因为a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，并说明等号成立的条件．所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab．等号成立时，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b．新知探究例2已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab．证新知探究例2的结论也是经常要用的．不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别．区别在于例2中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例2结论的一种特殊情况．假设图中直角三角形的直角边分别为a，b，则显然图中大正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和，即a2＋b2≥2ab，当且仅当小正方形的面积为0即a＝b时取等号．新知探究例2的结论也是经常要用的．不难看出，均值不等式与例5新知探究例3已知a，b∈R，求证：证明：（1）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上2ab，得a2＋b2＋2ab≥4ab，即（a＋b）2≥4ab；（1）（a＋b）2≥4ab；（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．新知探究例3已知a，b∈R，求证：证明：（1）因为a2＋b新知探究例3已知a，b∈R，求证：证明：（2）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上a2＋b2，得2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．（1）（a＋b）2≥4ab；（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．新知探究例3已知a，b∈R，求证：证明：（2）因为a2＋b新知探究（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）2都是均值不等式的变形，又其中2（a2＋b2）≥（a＋b）2又常变形为

．新知探究（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；证明：（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三个不等式相加即能得证；（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．（2）已知a，b，c为正实数，求证：

≥abc；新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；证明：（2）注意到a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2bc2a，c2a2＋a2b2≥2ca2b即可；（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．（2）已知a，b，c为正实数，求证：

≥abc；新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；证明：（3）注意到a2十x2≥2ax，b2＋y2≥2by，两式相加即可得到．（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．（2）已知a，b，c为正实数，求证：

≥abc；新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c新知探究方法总结：利用均值不等式证明不等式的两种题型：（1）无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．（2）有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．新知探究方法总结：利用均值不等式证明不等式的两种题型：（1）新知探究【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学实验：（1）任取多组三个正教a，b，c，计算

和

运后，比较它们的大小，总结出一般规律；（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．一般地，

，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．新知探究【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列归纳小结回顾本节课，你有什么收获？（1）均值不等式有哪些变形？如何证明？（2）如何利用均值不等式及其变形证明不等式？利用均值不等式证明不等式的注意点：（1）多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．（3）对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．归纳小结回顾本节课，你有什么收获？（1）均值不等式有哪些变形作业：教科书P76练习B3．作业布置作业：教科书P76练习B3．作业布置作业布置已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：（1＋）（1＋）≥9．补因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以同理故所以

，当且仅当a＝b＝时取等号．作业布置已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：（1＋）再见再见197.必须提醒自己：放下你的浮躁，静下心来阅读;放下你的贪婪，有失必有得;放下你的自卑，相信你自己;放下你的虚荣，别自以为是;放下你容易被诱惑的眼睛，听从自己的内心;放下你的自私，学会懂得感恩;放下你的懒惰，该好好努力了。一起勉励!17、青年人，更重要的是看到明天，抓住今天，在宁静中奋进，也许在明天旭日出山之前，你又创造了奇迹!12、让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!11、做正确的事，再把事情做正确。4、人生没有彩排，每一个细节都是现场直播。18)人生的十二种财富：积极的精神态度;良好的体格;人际关系的和谐;脱离恐惧;未来成功的希望;信念的容量;与人分享自己的幸福的愿望;热爱自己的工作;对所有的事物有开放的内心;严于自律;理解人的能力;经济保障。1、在人生中只有曲线前进的快乐，没有直线上升的成功。只有珍惜今天，才会有美好的明天;只有把握住今天，才会有更辉煌的明天!8.地球是运动的，一个人不会永远处在倒霉的位置。7、成功的秘诀在于坚持自已的目标和信念。10、因为在这个世界上，到头来我们注定都是孤独的。3、时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。5、目标和信念给人以持久的动力，它是人的精神支柱。9、用心观察成功者，别老是关注失败者。20、目标的实现建立在我要成功的强烈愿望上。7.必须提醒自己：放下你的浮躁，静下心来阅读;放下你的贪婪2.2.4均值不等式及其应用第2课时2.2.4均值不等式及其应用第2课时21问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑推理等素养．（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）情境与问题复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样的问题？如果a，b都是正数，那么

，当且仅当a＝b时，等号成立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？情境与问题复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾新知探究问题2我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利用

（a，b都是正数），也可使用a＋b≥．你还有哪些变形呢？新知探究问题2我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利新知探究例1已知ab＞0，求证：≥2，并推导出等号成立的条件．证明：因为ab＞0，所以

，根据均值不等式，得

，即

，因为ab＞0，所以等号成立的条件是a＝b．当且仅当

，即a2＝b2时，等号成立．新知探究例1已知ab＞0，求证：≥2，新知探究例2已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab．证明：因为a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，并说明等号成立的条件．所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab．等号成立时，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b．新知探究例2已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab．证新知探究例2的结论也是经常要用的．不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别．区别在于例2中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例2结论的一种特殊情况．假设图中直角三角形的直角边分别为a，b，则显然图中大正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和，即a2＋b2≥2ab，当且仅当小正方形的面积为0即a＝b时取等号．新知探究例2的结论也是经常要用的．不难看出，均值不等式与例5新知探究例3已知a，b∈R，求证：证明：（1）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上2ab，得a2＋b2＋2ab≥4ab，即（a＋b）2≥4ab；（1）（a＋b）2≥4ab；（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．新知探究例3已知a，b∈R，求证：证明：（1）因为a2＋b新知探究例3已知a，b∈R，求证：证明：（2）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上a2＋b2，得2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．（1）（a＋b）2≥4ab；（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．新知探究例3已知a，b∈R，求证：证明：（2）因为a2＋b新知探究（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）2都是均值不等式的变形，又其中2（a2＋b2）≥（a＋b）2又常变形为

．新知探究（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；证明：（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三个不等式相加即能得证；（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．（2）已知a，b，c为正实数，求证：

≥abc；新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；证明：（2）注意到a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2bc2a，c2a2＋a2b2≥2ca2b即可；（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．（2）已知a，b，c为正实数，求证：

≥abc；新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；证明：（3）注意到a2十x2≥2ax，b2＋y2≥2by，两式相加即可得到．（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．（2）已知a，b，c为正实数，求证：

≥abc；新知探究例4（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c新知探究方法总结：利用均值不等式证明不等式的两种题型：（1）无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．（2）有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．新知探究方法总结：利用均值不等式证明不等式的两种题型：（1）新知探究【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学实验：（1）任取多组三个正教a，b，c，计算

和

运后，比较它们的大小，总结出一般规律；（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．一般地，

，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．新知探究【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列归纳小结回顾本节课，你有什么收获？（1）均值不等式有哪些变形？如何证明？（2）如何利用均值不等式及其变形证明不等式？利用均值不等式证明不等式的注意点：（1）多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．（3）对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．归纳