人教A版高中数学必修二课件第二章234平面与平面垂直的性质

高中数学课件灿若寒星整理制作高中数学课件灿若寒星整理制作12.3.4平面与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质人教A版高中数学必修二课件第二章234平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则___________垂直于_____的直线与另一个平面_____符号语言α⊥β,α∩β=l,______,_____⇒a⊥β图形语言一个平面内交线垂直a⊂αa⊥l平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则______思考:如果α⊥β,那么平面α内的直线都和平面β垂直吗?提示:如果α⊥β,那么平面α内的直线不一定与平面β垂直.思考:如果α⊥β,那么平面α内的直线都和平面β垂直吗?【知识点拨】对平面与平面垂直的性质定理的两点说明(1)定理的作用该定理也可以视为直线与平面垂直的判定定理.【知识点拨】(2)定理的意义从平面与平面垂直的性质定理可以看出,由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.而由平面与平面垂直的判定定理可以看出,由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直,其转化关系可表示为这种相互转化的关系是解决空间图形问题的重要思想方法.(2)定理的意义类型一平面与平面垂直的性质及应用【典型例题】1.(2013·运城高一检测)已知直线m，n和平面α，β,若α⊥β,α∩β＝m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是()A.m∥nB.n⊥mC.n∥αD.n⊥α类型一平面与平面垂直的性质及应用2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC的内部2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°3.如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB.3.如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,【解题探究】1.应用面面垂直的性质定理需要具备哪些条件?能得到什么结论?2.题2中有哪些线面垂直?由此可以推出哪些面面垂直关系?若α⊥β,则过平面α内的一点作平面β的垂线,该垂线与平面α有什么关系?3.题3中为了应用“平面PAB⊥平面PBC”应如何作出辅助线?结合条件“PA⊥平面ABC”,应如何作辅助线?【解题探究】1.应用面面垂直的性质定理需要具备哪些条件?能得探究提示:1.应用面面垂直的性质定理需要具备以下条件:(1)两个平面垂直.(2)在其中一个平面内作交线的垂线.结论:可以得到垂线与另一个平面垂直.2.AC⊥平面ABC1.由此可以推出平面ABC⊥平面ABC1,平面AA1C1C⊥平面ABC1,平面AB1C⊥平面ABC1.若α⊥β,则过平面α内的一点作平面β的垂线,该垂线在平面α内.探究提示:3.为了应用“平面PAB⊥平面PBC”应在平面PAB(或平面PBC)内作直线PB的垂线.结合条件“PA⊥平面ABC”应在平面PAB内作直线PB的垂线.3.为了应用“平面PAB⊥平面PBC”应在平面PAB(或平面【解析】1.选B.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,应增加条件n⊥m,才能使得n⊥β.2.选A.因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1,又AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1=直线AB,所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.【解析】1.选B.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,3.过点A作AE⊥PB,垂足为E,因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,所以AE⊥平面PBC,因为BC⊂平面PBC,所以AE⊥BC,因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,因为PA∩AE=A,所以BC⊥平面PAB.3.过点A作AE⊥PB,垂足为E,【拓展提升】1.应用面面垂直性质定理应注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时,一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后,进一步转化为线线垂直.【拓展提升】2.平面与平面垂直的其他性质(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.2.平面与平面垂直的其他性质【变式训练】在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90°.求证:BC⊥AA1.【变式训练】在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A【证明】因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC,又因为侧面ACC1A1⊥平面ABC,侧面ACC1A1∩平面ABC=AC,所以BC⊥侧面ACC1A1,又AA1⊂侧面ACC1A1,所以BC⊥AA1.【证明】因为∠ACB=90°,类型二折叠问题【典型例题】1．如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,BD=将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD,则四面体ABDE的表面积是_____.类型二折叠问题2.(2013·济宁高一检测)如图,正方形ABCD的边长为4,沿对角线BD将△BCD折起,使二面角C-BD-A为直二面角.(1)求证:AC=BC.(2)求三棱锥C-ABD的体积.2.(2013·济宁高一检测)如图,正方形ABCD的边长为4【解题探究】1.四面体ABDE的四个面是什么图形?如何证明?2.折叠之后有哪些线线垂直关系是不变的?有哪些线段的长度不变?探究提示:1.通过证明AB⊥平面BDE,ED⊥平面ABD可知,四面体ABDE的四个面都是直角三角形.2.折叠之后有OC⊥OD,OC⊥OB,AO⊥OB,AO⊥OD,BC⊥CD,AB⊥AD.线段OA,OB,OC,OD,AB,BC,CD,DA的长度不变.【解题探究】1.四面体ABDE的四个面是什么图形?如何证明?【解析】1.因为AB=2,AD=4,BD=所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD，因为平面EBD⊥平面ABD,所以AB⊥平面BDE,同理可证ED⊥平面ABD,所以AB⊥BE,ED⊥BD,ED⊥AD，所以四面体ABDE的四个面都是直角三角形，所以S△ABD=又S△BDC=S△ABD=而△EBD即为△BDC，【解析】1.因为AB=2,AD=4,BD=所以S△BDE=因为BE=BC=AD=4，所以S△ABE=·AB·BE=4,又DE=DC=AB=2，所以S△ADE=·AD·DE=4.故四面体ABDE的表面积为答案：所以S△BDE=因为BE=BC=AD=4，2.(1)因为CO⊥BD,平面BCD⊥平面ABD，CO⊂平面BCD,平面BCD∩平面ABD＝BD,所以CO⊥平面ABD.因为正方形ABCD边长为4,所以CO=OA=在Rt△COA中,所以AC=BC.(2)VC-ABD=2.(1)因为CO⊥BD,平面BCD⊥平面ABD，CO⊂平面【拓展提升】解决折叠问题的关键和解题步骤(1)关键：解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况,看看哪些元素的位置变了,哪些没有变.【拓展提升】解决折叠问题的关键和解题步骤(2)解题步骤：①平面→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形.想象出空间图形,完成平面图形与空间图形在认识上的转化.另外弄清楚变与不变的元素以后,再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系.②空间→平面：为解决空间图形问题,要回到平面上来,重点分析元素的变与不变.(2)解题步骤：【变式训练】(2013·焦作高一检测)已知矩形ABCD,AB=1,BC=将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【变式训练】(2013·焦作高一检测)已知矩形ABCD,AB【解题指南】对A，C的判断可以采用反证法,即假设两条直线垂直推出线面垂直关系,再推出线线垂直关系与题目条件中线段长度关系矛盾.对于B可以利用面面垂直的性质推导其正确.【解题指南】对A，C的判断可以采用反证法,即假设两条直线垂直【解析】选B.A错误.理由如下:过A作AE⊥BD,垂足为E,若直线AC与直线BD垂直,则可得BD⊥平面ACE,于是BD⊥CE,而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.【解析】选B.B正确.理由:翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时,平面ABC⊥平面BCD,此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC,于是有AB⊥CD.故B正确.C错误.理由如下:若直线AD与直线BC垂直,则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD,于是BC⊥AC,但是AB<BC,在△ABC中∠ACB不可能是直角.故直线AD与直线BC不垂直.由以上分析显然D错误.B正确.理由:翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上类型三平行、垂直关系的综合应用【典型例题】1.(2013·攀枝花高一检测)已知直线m,n与平面α,β,下列说法正确的是()A.m⊥α,n∥β且α⊥β,则m⊥nB.m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥nC.α∩β=m,n⊥m且α⊥β,则n⊥αD.m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n类型三平行、垂直关系的综合应用2.(2013·朝阳高一检测)如图,在△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF∥平面ABC.(2)求证:平面EBC⊥平面ACD.(3)求几何体A-DEBC的体积V.2.(2013·朝阳高一检测)如图,在【解题探究】1.面面垂直的性质定理在应用时要特别注意什么?2.判定线面平行的常用方法有哪些?证明面面垂直的基本方法是什么?求锥体的体积关键是什么?【解题探究】1.面面垂直的性质定理在应用时要特别注意什么?探究提示:1.面面垂直的性质定理在应用时要特别注意在其中一个平面内作交线的垂线.2.判定线面平行的常用方法:(1)用线面平行的判定定理.(2)用面面平行的性质.证明面面垂直的基本方法是判定定理,即证明一个平面经过另一个平面的垂线.求锥体的体积关键是求锥体的底面积和高.探究提示:【解析】1.选B.A.错误.由m⊥α,α⊥β可知m∥β或m⊂β.又n∥β,所以m与n的位置关系不确定.B.正确.因为α⊥β,设α∩β=l,在l上取点O,过O在α内作OA⊥l,则OA⊥β,又n⊥β,所以OA∥n.过O在β内作OB⊥l,则OB⊥α,又m⊥α,所以OB∥m.∠AOB是二面角α-l-β的平面角,由α⊥β知∠AOB=90°,所以m⊥n.【解析】1.选B.A.错误.由m⊥α,α⊥β可知m∥β或m⊂C.错误.由面面垂直的性质定理可知,因为缺少n⊂β,所以无法推出n⊥α.D.错误.m与n位置关系不确定.C.错误.由面面垂直的性质定理可知,因为缺少n⊂β,所以无法2.(1)如图,取BE的中点H,连接HF,GH.因为G,F分别是EC和BD的中点,所以HG∥BC,HF∥DE.又因为四边形ADEB为正方形,所以DE∥AB,从而HF∥AB.所以HF∥平面ABC,HG∥平面ABC.所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC.2.(1)如图,取BE的中点H,连接HF,GH.(2)因为四边形ADEB为正方形,所以EB⊥AB.又因为平面ABED⊥平面ABC,所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC.又因为CA2+CB2=AB2,所以AC⊥BC.所以AC⊥平面BCE.从而平面EBC⊥平面ACD.(2)因为四边形ADEB为正方形,所以EB⊥AB.(3)取AB的中点N,连接CN,因为AC＝BC,所以CN⊥AB,且又平面ABED⊥平面ABC,所以CN⊥平面ABED.因为C-ABED是四棱锥,所以(3)取AB的中点N,连接CN,因为AC＝BC,【互动探究】题1选项C改为“m⊥α,n⊥β且m⊥n，则α⊥β”是否正确？【解析】此说法正确.理由：显然α与β相交,否则m∥n.设α∩β=l,在空间中取点O,过O作OA⊥α,OB⊥β,因为m⊥α,n⊥β,所以OA∥m,OB∥n.由m⊥n知∠AOB=90°，设平面AOB与直线l相交于点C，由l⊥平面AOB知∠ACB是二面角α-l-β的平面角.因为四边形OACB是矩形,所以∠ACB=90°，所以α⊥β.【互动探究】题1选项C改为“m⊥α,n⊥β且m⊥n，则α⊥β【拓展提升】1.垂直关系之间的相互转化【拓展提升】2.平行关系与垂直关系之间的相互转化2.平行关系与垂直关系之间的相互转化【变式训练】(2012·江苏高考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)直线A1F∥平面ADE.【变式训练】(2012·江苏高考)如图,在【证明】(1)D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以有BB1⊥平面ADC,即有AD⊥BB1.又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.【证明】(1)D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,所以有AB=AC.又由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以AD⊥BC,所以D为边BC上的中点,连接DF,得AA1FD为平行四边形,故A1F∥AD,又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以直线A1F∥平面ADE.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,空间角、距离的计算问题【典型例题】1.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置,使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线A′B与CD所成角的大小为

.空间角、距离的计算问题2.(2013·攀枝花高一检测)如图所示,正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直,G是AF的中点.(1)求证:ED⊥AC.(2)若直线BE与平面ABCD成45°角,求异面直线GE与AC所成角的余弦值.2.(2013·攀枝花高一检测)如图所示,正方形ABCD和矩【解析】1.如题图所示,由A′O⊥平面ABCD,可得平面A′BC⊥平面ABCD,又由DC⊥BC,可得DC⊥平面A′BC,所以DC⊥A′B,即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.答案:90°【解析】1.如题图所示,由A′O⊥平面ABCD,2.(1)由矩形ADEF可知ED⊥AD,又因为平面ADEF⊥平面ABCD,得到ED⊥平面ABCD,从而有ED⊥AC.(2)由(1)知:ED⊥平面ABCD,所以∠EBD是直线BE与平面ABCD所成的角,即∠EBD=45°,设AB=a,则DE=BD=a,取DE中点M,连接AM,因为G是AF的中点,所以AM∥GE,2.(1)由矩形ADEF可知ED⊥AD,又因为平面ADEF⊥所以∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角，连接BD交AC于点O，因为O是AC的中点，所以MO⊥AC，所以即异面直线GE与AC所成角的余弦值为所以∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角，【拓展提升】1.与面面垂直有关的计算问题的类型(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、二面角等.(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等.(3)求几何体的体积或平面图形的面积.【拓展提升】2.空间角、距离的计算问题的解决方法(1)空间角、距离的计算问题一般在三角形中求解.所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直.往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题.2.空间角、距离的计算问题的解决方法(2)作二面角的平面角常用方法如图所示，过P作PO⊥β,垂足为O，过O作OA⊥l于A，连接AP，则∠PAO为二面角α-l-β的平面角.此法的关键是作垂线PO，高考题中利用面面垂直的性质定理作线面垂直是一种常见的命题方式.(2)作二面角的平面角常用方法如图所示，【规范解答】面面垂直性质的应用【典例】【条件分析】【规范解答】面面垂直性质的应用【条件分析】【规范解答】(1)如图，因为SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，又BC⊥BD，所以BC⊥平面BDS，所以BC⊥DE.……2分作BK⊥EC，K为垂足，由平面EDC⊥平面SBC①，平面EDC∩平面SBC=EC，【规范解答】(1)如图，因为SD⊥平面ABCD，故BK⊥平面EDC.①又DE⊂平面EDC,所以BK⊥DE.……4分又因为BK⊂平面SBC,BC⊂平面SBC,BK∩BC=B,所以DE⊥平面SBC.……6分故BK⊥平面EDC.①(2)由(1)知DE⊥SB,②所以在直角三角形SDB中,由等积法知SD·DB=SB·DE③，所以……………10分所以SE=2EB.………12分(2)由(1)知DE⊥SB,②【失分警示】【失分警示】【防范措施】1.转化意识在证明时要善于把已知条件转化,如本例中的面面垂直,则需转化为线面垂直进而得出线线垂直.2.计算能力在解题时要注意条件的应用及计算能力的培养,如本例中②③处的计算是证明(2)的关键.【防范措施】【类题试解】正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.求证:CF⊥平面BDE.【证明】设AC∩BD=G,连接FG,因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形,所以CF⊥EG.由四边形ABCD为正方形,得BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF,所以BD⊥CF.又BD∩EG=G,故CF⊥平面BDE.【类题试解】正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂1.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β【解析】选D.如图所示:AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β.但是AC与β不垂直.1.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线A2.(2013·广东高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β2.(2013·广东高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是【解析】选D.对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能,但未必垂直;对于选项B,分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项D,m⊥α,m∥n,则n⊥α;又因为n∥β,则β内存在与n平行的直线l,因为n⊥α,则l⊥α,由于l⊥α,l⊂β,所以α⊥β.【解析】选D.对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行3.平面α⊥平面β,直线l⊂α,直线m⊂β,则直线l,m的位置关系是

.【解析】根据题意,l,m可能相交、平行或异面.答案:相交、平行或异面3.平面α⊥平面β,直线l⊂α,直线m⊂β,则直线l,m的位4.如图,α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,BC⊂β,DE⊂β,BC⊥DE.求证:AC⊥DE.【证明】因为α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,所以AB⊥β,又DE⊂β,所以AB⊥DE,因为DE⊥BC,所以DE⊥平面ABC,所以DE⊥AC.4.如图,α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,BC⊂β,高中数学课件灿若寒星整理制作高中数学课件灿若寒星整理制作672.3.4平面与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质人教A版高中数学必修二课件第二章234平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则___________垂直于_____的直线与另一个平面_____符号语言α⊥β,α∩β=l,______,_____⇒a⊥β图形语言一个平面内交线垂直a⊂αa⊥l平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则______思考:如果α⊥β,那么平面α内的直线都和平面β垂直吗?提示:如果α⊥β,那么平面α内的直线不一定与平面β垂直.思考:如果α⊥β,那么平面α内的直线都和平面β垂直吗?【知识点拨】对平面与平面垂直的性质定理的两点说明(1)定理的作用该定理也可以视为直线与平面垂直的判定定理.【知识点拨】(2)定理的意义从平面与平面垂直的性质定理可以看出,由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.而由平面与平面垂直的判定定理可以看出,由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直,其转化关系可表示为这种相互转化的关系是解决空间图形问题的重要思想方法.(2)定理的意义类型一平面与平面垂直的性质及应用【典型例题】1.(2013·运城高一检测)已知直线m，n和平面α，β,若α⊥β,α∩β＝m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是()A.m∥nB.n⊥mC.n∥αD.n⊥α类型一平面与平面垂直的性质及应用2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC的内部2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°3.如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB.3.如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,【解题探究】1.应用面面垂直的性质定理需要具备哪些条件?能得到什么结论?2.题2中有哪些线面垂直?由此可以推出哪些面面垂直关系?若α⊥β,则过平面α内的一点作平面β的垂线,该垂线与平面α有什么关系?3.题3中为了应用“平面PAB⊥平面PBC”应如何作出辅助线?结合条件“PA⊥平面ABC”,应如何作辅助线?【解题探究】1.应用面面垂直的性质定理需要具备哪些条件?能得探究提示:1.应用面面垂直的性质定理需要具备以下条件:(1)两个平面垂直.(2)在其中一个平面内作交线的垂线.结论:可以得到垂线与另一个平面垂直.2.AC⊥平面ABC1.由此可以推出平面ABC⊥平面ABC1,平面AA1C1C⊥平面ABC1,平面AB1C⊥平面ABC1.若α⊥β,则过平面α内的一点作平面β的垂线,该垂线在平面α内.探究提示:3.为了应用“平面PAB⊥平面PBC”应在平面PAB(或平面PBC)内作直线PB的垂线.结合条件“PA⊥平面ABC”应在平面PAB内作直线PB的垂线.3.为了应用“平面PAB⊥平面PBC”应在平面PAB(或平面【解析】1.选B.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,应增加条件n⊥m,才能使得n⊥β.2.选A.因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1,又AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1=直线AB,所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.【解析】1.选B.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,3.过点A作AE⊥PB,垂足为E,因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,所以AE⊥平面PBC,因为BC⊂平面PBC,所以AE⊥BC,因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,因为PA∩AE=A,所以BC⊥平面PAB.3.过点A作AE⊥PB,垂足为E,【拓展提升】1.应用面面垂直性质定理应注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时,一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后,进一步转化为线线垂直.【拓展提升】2.平面与平面垂直的其他性质(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.2.平面与平面垂直的其他性质【变式训练】在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90°.求证:BC⊥AA1.【变式训练】在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A【证明】因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC,又因为侧面ACC1A1⊥平面ABC,侧面ACC1A1∩平面ABC=AC,所以BC⊥侧面ACC1A1,又AA1⊂侧面ACC1A1,所以BC⊥AA1.【证明】因为∠ACB=90°,类型二折叠问题【典型例题】1．如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,BD=将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD,则四面体ABDE的表面积是_____.类型二折叠问题2.(2013·济宁高一检测)如图,正方形ABCD的边长为4,沿对角线BD将△BCD折起,使二面角C-BD-A为直二面角.(1)求证:AC=BC.(2)求三棱锥C-ABD的体积.2.(2013·济宁高一检测)如图,正方形ABCD的边长为4【解题探究】1.四面体ABDE的四个面是什么图形?如何证明?2.折叠之后有哪些线线垂直关系是不变的?有哪些线段的长度不变?探究提示:1.通过证明AB⊥平面BDE,ED⊥平面ABD可知,四面体ABDE的四个面都是直角三角形.2.折叠之后有OC⊥OD,OC⊥OB,AO⊥OB,AO⊥OD,BC⊥CD,AB⊥AD.线段OA,OB,OC,OD,AB,BC,CD,DA的长度不变.【解题探究】1.四面体ABDE的四个面是什么图形?如何证明?【解析】1.因为AB=2,AD=4,BD=所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD，因为平面EBD⊥平面ABD,所以AB⊥平面BDE,同理可证ED⊥平面ABD,所以AB⊥BE,ED⊥BD,ED⊥AD，所以四面体ABDE的四个面都是直角三角形，所以S△ABD=又S△BDC=S△ABD=而△EBD即为△BDC，【解析】1.因为AB=2,AD=4,BD=所以S△BDE=因为BE=BC=AD=4，所以S△ABE=·AB·BE=4,又DE=DC=AB=2，所以S△ADE=·AD·DE=4.故四面体ABDE的表面积为答案：所以S△BDE=因为BE=BC=AD=4，2.(1)因为CO⊥BD,平面BCD⊥平面ABD，CO⊂平面BCD,平面BCD∩平面ABD＝BD,所以CO⊥平面ABD.因为正方形ABCD边长为4,所以CO=OA=在Rt△COA中,所以AC=BC.(2)VC-ABD=2.(1)因为CO⊥BD,平面BCD⊥平面ABD，CO⊂平面【拓展提升】解决折叠问题的关键和解题步骤(1)关键：解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况,看看哪些元素的位置变了,哪些没有变.【拓展提升】解决折叠问题的关键和解题步骤(2)解题步骤：①平面→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形.想象出空间图形,完成平面图形与空间图形在认识上的转化.另外弄清楚变与不变的元素以后,再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系.②空间→平面：为解决空间图形问题,要回到平面上来,重点分析元素的变与不变.(2)解题步骤：【变式训练】(2013·焦作高一检测)已知矩形ABCD,AB=1,BC=将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【变式训练】(2013·焦作高一检测)已知矩形ABCD,AB【解题指南】对A，C的判断可以采用反证法,即假设两条直线垂直推出线面垂直关系,再推出线线垂直关系与题目条件中线段长度关系矛盾.对于B可以利用面面垂直的性质推导其正确.【解题指南】对A，C的判断可以采用反证法,即假设两条直线垂直【解析】选B.A错误.理由如下:过A作AE⊥BD,垂足为E,若直线AC与直线BD垂直,则可得BD⊥平面ACE,于是BD⊥CE,而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.【解析】选B.B正确.理由:翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时,平面ABC⊥平面BCD,此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC,于是有AB⊥CD.故B正确.C错误.理由如下:若直线AD与直线BC垂直,则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD,于是BC⊥AC,但是AB<BC,在△ABC中∠ACB不可能是直角.故直线AD与直线BC不垂直.由以上分析显然D错误.B正确.理由:翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上类型三平行、垂直关系的综合应用【典型例题】1.(2013·攀枝花高一检测)已知直线m,n与平面α,β,下列说法正确的是()A.m⊥α,n∥β且α⊥β,则m⊥nB.m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥nC.α∩β=m,n⊥m且α⊥β,则n⊥αD.m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n类型三平行、垂直关系的综合应用2.(2013·朝阳高一检测)如图,在△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF∥平面ABC.(2)求证:平面EBC⊥平面ACD.(3)求几何体A-DEBC的体积V.2.(2013·朝阳高一检测)如图,在【解题探究】1.面面垂直的性质定理在应用时要特别注意什么?2.判定线面平行的常用方法有哪些?证明面面垂直的基本方法是什么?求锥体的体积关键是什么?【解题探究】1.面面垂直的性质定理在应用时要特别注意什么?探究提示:1.面面垂直的性质定理在应用时要特别注意在其中一个平面内作交线的垂线.2.判定线面平行的常用方法:(1)用线面平行的判定定理.(2)用面面平行的性质.证明面面垂直的基本方法是判定定理,即证明一个平面经过另一个平面的垂线.求锥体的体积关键是求锥体的底面积和高.探究提示:【解析】1.选B.A.错误.由m⊥α,α⊥β可知m∥β或m⊂β.又n∥β,所以m与n的位置关系不确定.B.正确.因为α⊥β,设α∩β=l,在l上取点O,过O在α内作OA⊥l,则OA⊥β,又n⊥β,所以OA∥n.过O在β内作OB⊥l,则OB⊥α,又m⊥α,所以OB∥m.∠AOB是二面角α-l-β的平面角,由α⊥β知∠AOB=90°,所以m⊥n.【解析】1.选B.A.错误.由m⊥α,α⊥β可知m∥β或m⊂C.错误.由面面垂直的性质定理可知,因为缺少n⊂β,所以无法推出n⊥α.D.错误.m与n位置关系不确定.C.错误.由面面垂直的性质定理可知,因为缺少n⊂β,所以无法2.(1)如图,取BE的中点H,连接HF,GH.因为G,F分别是EC和BD的中点,所以HG∥BC,HF∥DE.又因为四边形ADEB为正方形,所以DE∥AB,从而HF∥AB.所以HF∥平面ABC,HG∥平面ABC.所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC.2.(1)如图,取BE的中点H,连接HF,GH.(2)因为四边形ADEB为正方形,所以EB⊥AB.又因为平面ABED⊥平面ABC,所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC.又因为CA2+CB2=AB2,所以AC⊥BC.所以AC⊥平面BCE.从而平面EBC⊥平面ACD.(2)因为四边形ADEB为正方形,所以EB⊥AB.(3)取AB的中点N,连接CN,因为AC＝BC,所以CN⊥AB,且又平面ABED⊥平面ABC,所以CN⊥平面ABED.因为C-ABED是四棱锥,所以(3)取AB的中点N,连接CN,因为AC＝BC,【互动探究】题1选项C改为“m⊥α,n⊥β且m⊥n，则α⊥β”是否正确？【解析】此说法正确.理由：显然α与β相交,否则m∥n.设α∩β=l,在空间中取点O,过O作OA⊥α,OB⊥β,因为m⊥α,n⊥β,所以OA∥m,OB∥n.由m⊥n知∠AOB=90°，设平面AOB与直线l相交于点C，由l⊥平面AOB知∠ACB是二面角α-l-β的平面角.因为四边形OACB是矩形,所以∠ACB=90°，所以α⊥β.【互动探究】题1选项C改为“m⊥α,n⊥β且m⊥n，则α⊥β【拓展提升】1.垂直关系之间的相互转化【拓展提升】2.平行关系与垂直关系之间的相互转化2.平行关系与垂直关系之间的相互转化【变式训练】(2012·江苏高考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)直线A1F∥平面ADE.【变式训练】(2012·江苏高考)如图,在【证明】(1)D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以有BB1⊥平面ADC,即有AD⊥BB1.又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.【证明】(1)D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,所以有AB=AC.又由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以AD⊥BC,所以D为边BC上的中点,连接DF,得AA1FD为平行四边形,故A1F∥AD,又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以直线A1F∥平面ADE.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,空间角、距离的计算问题【典型例题】1.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置,使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线A′B与CD所成角的大小为

.空间角、距离的计算问题2.(2013·攀枝花高一检测)如图所示,正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直,G是AF的中点.(1)求证:ED⊥AC.(2)若直线BE与平面ABCD成45°角,求异面直线GE与AC所成角的余弦值.2.(2013·攀枝花高一检测)如图所示,正方形ABCD和矩【解析】1.如题图所示,由A′O⊥平面ABCD,可得平面A′BC⊥平面ABCD,又由DC⊥BC,可得DC⊥平面A′BC,所以DC⊥A′B,即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.答案:90°【解析】1.如题图所示,由A′O⊥平面ABCD,2.(1)由矩形ADEF可知ED⊥AD,又因为平面ADEF⊥平面ABCD,得到ED⊥平面ABCD,从而有ED⊥AC.(2)由(1)知:ED⊥平面ABCD,所以∠EBD是直线BE与平面ABCD所成的角,即∠EBD=45°,设AB=a,则DE=BD=a,取DE中点M,连接AM,因为G是AF的中点,所以AM∥GE,2.(1)由矩形ADEF可知ED⊥AD,又因为平面ADEF⊥所以∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角，连接BD交AC于点O，因为O是AC的中点，所以MO⊥AC，所以即异面直线GE与AC所成角的余弦值为所以∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角，【拓展提升】1.与面面垂直有关的计算问题的类型(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、二面角等.(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等.(3)求几何体的体积或平面图形的面积.【拓展提升】2.空间角、距离的计算问题的解决方法(1)空间角、距离的计算问题一般在三角形中求解.所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直.往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题.2.空间角、距离的计算问题的解决方法(2)作二面角的平面角常用方法如图所示，过P作PO⊥β,垂足为O