2022高二上学期数学期末预测卷考试(二)(解析版)

14绝密★启用前 高二上学期期末测试卷（二）考察范围：选择性必修第一册、数列一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知空间直角坐标系中，为坐标原点，的坐标为，，，则到原点的距离与到平面的距离之和为A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由题可知，的坐标为，，，，由的坐标为，，，可知到平面的距离是4，则到原点的距离与到平面的距离之和为：9．故选：．2．圆和圆的位置关系是A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【解答】解：根据题意圆，即，其圆心为，半径，圆，即，其圆心为，半径，圆心距，则圆心距，则两圆外切，故选：．3．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则A． B． C． D．【解答】解：在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，．故选：．4．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为A． B． C． D．【解答】解：，，又，，又，，，，，，，在轴上．在△中，，在△中，由余弦定理可得．，可得，解得．．椭圆的方程为：．故选：．5．一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是A． B． C． D．【解答】：由圆的方程可得圆心坐标，半径，设点关于轴对称点，连接交轴于点，交圆于点，则为所求的最短距离，证明如下：任取轴上一点，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以，故选：．6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且△的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【解答】解：，分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，不妨设为双曲线右支上一点，且△的最小内角为，如图，，所以，，三角形△是直角三角形，并且，化为：，可得，解得，舍去，可得：，所以双曲线的渐近线方程：，所以正确；故选：．7．已知数列的通项公式为，则数列的最大项是A． B． C． D．【解答】解：，解得：．可得最大项为．故选：．8．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意的，均有，则称是间隔递减数列，是的间隔数．已知，若是间隔递减数列，且最小间隔数是4，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：因为，是“间隔递减数列”，则，即对任意成立，设，显然在上单调递增，故要使，只需（1）成立，即，又“间隔数”的最小值为4，故存在，使成立，且存在，使成立，故且，解得，故选：．二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．数列满足，对任意，都有，数列前项和为，则下列结论正确的是A． B． C． D．【解答】解：数列满足，对任意，都有，数列是等差数列，公差为1，可得，，，，所以，正确；故选：．10．若函数的图象与直线有公共点，则实数的可能取值为A． B．1 C． D．0【解答】解：函数变形可得，其对应图形为圆的下半部分，如图：若直线与函数有公共点，则，解得或，结合图形知不合题意舍去，所以，且当时，直线与圆的下半部分相切，此时最小，把代入直线，得，此时最大，故实数的取值范围为，结合选项可知均符合题意，故选：．11．已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是A． B．为中点 C． D．【解答】解：如图，，，直线的斜率为，则直线方程为，联立，得．解得：，，由，得．抛物线方程为．，则；，，，则为中点．运算结论正确的是，，．故选：．12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，，分别为其实轴的左、右端点，且，点为双曲线右支一点，为△的内心，则下列结论正确的有A．离心率 B．点的横坐标为定值 C．若成立，则 D．若垂直轴于点，则【解答】解：，且，，，，，即选项正确；设内切圆与△的三边分别相切于点，，，如图所示，由圆的切线长定理知，，，，由双曲线的定义知，，而，，，，即点的横坐标为定值，故选项正确；设圆的半径为，，，即，，即，，即选项正确；假设点在第一象限，设其坐标为，则，垂直轴于点，，，，，若，则，化简得，此时点与重合，不符合题意，即选项错误．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为钱．【解答】解：设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为，，，，，则，即，解得，，戊所得为钱．故答案为：．14．已知双曲线的焦点为，，过右焦点的直线交双曲线右支于、两点，若，则等于8．【解答】解：双曲线的，由双曲线的定义可得，，相加可得，又，可得．故答案为：8．15．已知三棱锥中，，，的两两垂直，，若点到平面的距离为，则．【解答】解：三棱锥中，，，的两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，，0，．，0，，，1，，，0，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，，则，则点到平面的距离，得，所以为，故答案为：．16．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点，当最大时，弦长度是8．【解答】解：抛物线的标准方程为，所以焦点，准线方程为，因为抛物线的准线与轴交于点，所以点，设，，，则有，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，最大，此时，故．答案为：8．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面直角坐标系中，，，．（1）若，，三点共线，求的值；（2）若，求外接圆圆心坐标．【解答】解：（1），，三点共线，则，即，所以．（2），即，，，则线段垂直平分线方程为，中点为，线段垂直平分线方程为，即，两条中垂线交点坐标为，所以外接圆圆心坐标为．18．已知数列为等比数列，设其前项和为，公比，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求数列的前项和．【解答】解：（1）根据题意，由，得，即，解得或（舍去），则，即，所以；（2）由（1）可知，则，所以，即，所以数列的前项和为．19．已知双曲线的方程为，直线．（1）求双曲线的渐近线方程、离心率；（2）若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由，得渐近线方程，，，，所以离心率为：．（2）把直线代入双曲线，得由，得且，解得．20．在平面直角坐标系中，已知定点，以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）是曲线上异于坐标原点的任意一点，过点的直线交轴的正半轴于点，且，另有直线，且与曲线相切于点，证明：直线经过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（1）设，的中点为，以为直径的圆与轴相切，，即，化简整理得：，即曲线的方程为．（2）设，，抛物线的焦点为，由，，，直线的斜率，直线，直线的斜率为，设点，，，，，．直线的斜率为，直线的方程为，整理可得，故直线经过的定点的坐标是．21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值．【解答】（1）证明：取中点，连接，，又因为，，，所以四边形为正方形，又因为，所以，于是，所以，因为平面平面，，所以平面，又因为平面，所以，又因为，、平面，所以平面．（2）解：因为平面平面，，所以平面，所以为在平面内的射影，所以直线与底面所成的角为，，所以，过作于，连接，因为，所以，因为，平面平面，所以平面，所以为在平面内的射影，所以，所以为二面角的平面角，所以二面