群编-2.2随机变量函数分布

。4

d

2求截面面积A=的分布。一、问题的提出在实际中，人们常常对随 量的函数更感比如，已知圆轴截面直径d

的分布，2下面进行。问题：已知X

的分布，求Y

=g(X)的分布。例如：Y1

=4X

+3；Y2

=|X|；Y3

=X2

.这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。3故一、离散型随XP1量函数的分布2

50.2

0.5

0.3YP5

7

130.2

0.5

0.3例1求Y=2X+3的概率函数。解：当X取值1，2，5

时，Y

取对应值5，7，13，而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.4量时，Y=g(X)为离散随当X为离散随量.将g(xi)

一一列出,

再将相等的值合并即可.5求离散型随量函数分布的一般思想方法:XPkY=g(X)21pk

p2

p1g(x1)

g(x2

)

g(xk

)或：Y＝g(X)~P{Y＝g(xk)}＝pk

，k＝1,2,…(若其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。)67概率分布。XP-1

0

1131313例题与解答例2:已知X的分布律如下表，求Y=2X-1和Z=X2的解:由函数关系

Y的可取值为:-3,-1,1;分布律为:P{Y=-3}=P{X=-1}=1/3P{Y=-1}=P{X=0}=1/3P{Y=1}

=P{X=1}=1/3YP-3

-1

11313137Z的可取值为:0,1;分布律为:P{Z=0}=P{X=0}=1/3P{Z=1}=P{X=-1}+P{X=1}=2/3ZP0123138二、连续型随

量函数的分布例3.设X在[-1,1]上服从均匀分布即X~U(-1,1)，求Y=X2的分布函数与概率密度。解:

Xfx11

x

1

FY

y

f

X

xdx

2

0x2

y其它=P{Y≤

y}=P{X2≤

y}=当y<0,(x=)时FY

(y)

0当y≥1,(x2≤1)时FY

(y)1其它

0

10

y

1f

(

y)

F

'

(

y)

2

yY

Y910从上述一例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{g(X)≤y

}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X

的不等式.这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率.这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.y}

代替{X2

≤y

}用

{

y

X

10求连续型随

量函数分布的“分布函数法”若X~f(x), -<x<+,

Y=g(X)为随量X的函数,则先将事件“Y在范围{Yy}取值”转化为“X在相应范围I(y):{g(X)y}内取值”,然后求Y的分布函数YF

(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)

y}＝I

(

y

):

g

(

x

)

y

f

(x)dx最后再求Y的密度函数fY

(

y)

dFY

(

y)dy11又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数F-1

存在且严格递增.于是对y

>1,G

(y)=1;对y

<0,G

(y)=0;0

y由于例4

已知随

量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.0

Y

1证明设Y

的分布函数是G(y),G

y

P1212对0≤y≤1,1313G(y)=P(Y≤

y) =P(F(X)≤

y)=P(X

≤F

1(y))

=F(

F

(1y))=

y

0,

y

0

0

y

1

1,

y

1G(

y)

y,即Y的分布函数是g

(

y

)

1,00

y

1,

其它求导得Y的密度函数可见,Y

在[0,1]上服从的均匀分布.例5.设X的概率密度为fX(x),y=g(x)是x的严格单调

可导函数且导数恒不为零，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函数为：若y=g(x)单调递增,则FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{X

g-1(y)}=FX(g-1(y))Y的概率密度为dy1414dXY

Xg

1

(

y)1

f

(g

(

y))f

(

y)

[F

(g

1

(

y))]若y=g(x)单调递减,则FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{Xg-1(y)}=1-FX(g-1(y))Y的概率密度为dy15dXY

Xg

1

(

y)1

f

(g

(

y))f

(

y)

[1

F

(g

1

(

y))]“公式法”求分布(定理2.2.1)若X～fX(x),y=g(x)是单调可导函数且导数恒不为零.记x=h(y)为y＝g(x)的反函数,则Y=g(X)是连续型随量,其密度为f

[h(

y)]

|

h

(

y)

|

a

y

b0

其它f

(

y)

XY注意：只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。注意定义域的选择。a

xb

a

xb其中，

min

g(x),

max

g(x),16例题与解答例6.已知X~fX(x)，Y=eX，Z=X2，分别求fY(y)和fZ(z)；其中fX(x)=1/[(1+x2)]。解：y=ex是单调可导函数，并且y>0,其反函数x=lny可导且(lny)’=1/y

>0，由定理2.2，有2171Yln

y)y

0

y(1f

(

y)

y

0

0(这里因“Y≤0”等价于“eX

≤0”是不可能事件,故FY(y)=0，fY(y)=0。)对Z=X2，由于g(x)=x2不是单调函数,故只能用“分布函数法”。当z≤0时,FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2≤z}=0

。fZ(z)=0当z>0时，FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2≤z}z

P{

z

X

X18XXzXZ

Z2

z12

z1f

(x)dx}

f

(

z

)

f

(

z

)f

(x)dx

f

(z)

F(z)

{00z}

z

f

X

(x)dx

z因此，Z的概率密度为1901z

0z

0f

(z)

Z

z

(1

z)三、小结对于连续型随 量，在求

Y=

g(X)的分布时，关键的一步是把事件{

g(X)≤

y

}

转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用

X

的分布来求

P{

g(X)≤

y

}.这一节 介绍了随量函数的分布.20一、设随量X

的分布律为：X－2－1013P1/51/61/51/1