向量理论(第三章)课件

第三章n维向量空间n维向量的定义n维向量的线性运算向量组的线性相关性向量组的极大线性无关组向量空间习题课定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一维向量的概念例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量令表示一切n维实向量组成的集合。若是n维实向量，则可简记,如果没有特别的说明，我们指的都是实向量。

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如一些特殊的向量：向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．n维0向量：注：维数不同的零向量是不同的向量n阶单位矩阵的n个列向量分别记为：称为n维基本向量注：设n维向量的对应分量相等，即称这两个量是相等的，即注：1与要么都是行向量，要么都是列向量。

2与的维数应相同。例1(1)求，的负向量(2)计算

对于给定的向量组A:1,2,

…,m和向量b,如果存在一组数k1,k2,…,km使关系式则称向量b是向量组1,2,

…,m的线性组合,或称向量b可以由向量组1,2,

…,m线性表示.比如说：为n维基本向量结论：任何n维向量都是n维基本向量的线性组合设有向量称b是的线性组合.或b可以由线性表示.例如：２向量组的线性相关性定义２对于向量组A:1,2,…,m,成立,则称向量组1,2,…,m线性相关.如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使关系式反之则称向量组1,2,…,m线性无关.例1：设有向量则称向量组线性相关例2：则由，得线性无关。注：n维基本向量线性无关向量组中的一个部分组线性相关，则向量组线性相关，若一个向量组线性无关，则其中任何一个部分组线性无关讨论x1,x2,…,xm的情况.

如果解得x1,x2,…,xm不全为零,则1,2,…,m线性相关;

如果推出x1=x2=

…=xm=0,则1,2,…,m线性无关.

例3讨论的线性相关性e1=(1,0,…,0)Ten=(0,0,…,1)Te2=(0,1,…,0)T向量组线性相关,但线性无关，则向量可由向量组唯一地线性表示。定理2例4：讨论向量组，的线性相关性。解：设有实数使即系数行列式故方程组有非零解。如取有，所以线性相关。例5：设向量组线性无关，试证向量组也线性无关。证明：设即因为线性无关系数行列式为2，故方程组只有零解，故得证第三节向量组的秩问:其中线性无关的部分组最多可以包含多少个向量?定义1

若向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示,则称向量组可由向量组线性表示，若向量组和可以互相线性表示，则称两个向量组等价一、等价的向量组向量组可由线性表示向量组可由线性表示等价于存在的矩阵使若向量组和等价等价向量组的性质：1：自反性：一个向量组与其自身等价2：对称性：若向量组和等价，则向量组和等价。3：传递性：若向量组和等价，向量组和等价，则向量组和等价。定理1设中的两个向量组和若向量组可由线性表示，且，则向量组线性相关少的表示多的，多的一定线性相关注：，不能相等，时，结论不一定成立定理1的逆否命题：推论1：若向量组可由向量组

线性表示，又已知

线性无关，则必有推论2：两个线性无关的向量组互相等价，则它们所含的向量个数相等注：若只是等价的向量组，它们所含的向量个数未必相等极大线性无关组等价定义二极大线性无关组1.一个向量组的极大线性无关组可能不唯一2.向量组和其极大线性无关组等价(一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价)3.一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定。注:定义3一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩。线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数例1：设n维基本向量组可由向量组

线性表示。证明线性无关三向量组的秩与矩阵的秩的关系定理2矩阵A的行初等变换不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系例2:等于它的行向量组的秩.

定理3

矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也求向量组的最大无关组的步骤:例3：设有向量组(1)求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。(2)求向量组的一个极大线性无关组。(3)把其余向量表示成为该极大线性无关组的线性组合解：取(1)向量组即为A的列向量R(A)=2,所以向量组的秩为2。(2)为向量组的一个极大线性无关组(3)推论：设A为矩阵，秩，则有:(1)当r=m时，A的行向量组线性无关;当r<m时，A的行向量组线性相关(2)当r=n时，A的列向量组线性无关;当r<n时，A的列向量组线性相关。

当A为n阶方阵时，即当m=n时，A的列(行)向量组线性无关的充要条件是由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们立刻会发现一个有趣的现象：第四节向量空间一、向量空间的定义定义1

设V为n维向量的集合,如果集合V非空,且那么就称集合V为向量空间.则a+bV;若a

V,R,则aV.若a

V,bV,

例１集合V={x=(0,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}是一个向量空间.例２集合V={x=(1,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}不是向量空间.一般地，L={x=a+b|,R}x1=1a+1b,x2=2a+2b则有x1+x2=(1+1)a+(1+2)bL,kx1=(k1)a+(k1)bL.这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间.是一个向量空间.因为若由向量组a1,a2,...,am

所生成的向量空间一般形式为L={x=1a1+2a2+...+mam

|1,

2,...,

mR}.例3设向量组a1,...,am与向量组b1,...,bs等价,记L1={x=1a1+2a2+...+mam

|1,...,

mR},L2={x=1b1+2b2+...+sbs

|1,...,

sR},试证L1=L2.二、向量空间的基向量空间的维数定义2

设有向量空间V1及V2,若V1V2,

总有VRn,所以这样的向量空间总是Rn的子空间.

例如任何由n维向量所组成的向量空间V,就称V1是V2的子空间.向量空间.定义3

设V为向量空间,如果r个向量a1,a2,...,arV,且满足(i)

a1,a2,...,ar线性无关;(ii)

V中任一向量都可由a1,a2,...,ar线性表示.那么,向量组a1,a2,...,ar

就称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V为