二次函数中与角有关的存在性问题

3AGFG1AGFG19)<7)的坐标为7,_或5,-—k2丿k2丿（二）•利用相似三角形构造相等角例2如图，抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与尹轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标;（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当/FAB=ZEDB时,求点F的坐标；解：（1）因为OB=OC=6,所以B（6，0），C（0,-6）,将B、C点坐标代入解析式，y=2x2-2x-6=2"-2'-8，所以点D的坐标为（2,—8）(1)如图1,过F作FG丄x轴于点G,设Fx2-2x—6，则FG=k2丿当/FAB=/EDB时，且/FGA二/BED,de所以AFAGs\BDE，所以一一EB当点F在x轴上方时，则有x+2=x2-4x-12，解得x=—2（舍去）或x=7,此时F点的坐标为k7弓k2丿当点F在x轴下方时，则有x+2=-（x2-4x-12）,解得x=—2（舍去）或x=5,此时F点的坐标为\5，-2］，，综上可知点Fk2丿

【类型二二倍角或半角的存在性问题】(一)•二倍角的构造方法如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造加，在BC边上找一点D,使得BD=AD，则ZADC二2.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数(一般用正切)计算就可以了。例3如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与X轴交于点A,与尹轴交于点C,抛物线y=-2x2+bx+c经过A，C两点，与X轴的另一交点为点B.求抛物线的函数表达式；点D为直线AC上方抛物线上一动点;S□连接BC，CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S,，△BCE的面积为S2,求才的12S2最大值；□过点D作DF丄AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得ACDF中的某个角恰好等于ZBAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.解:(1)解:(1)(2)□过D(2)□过D作DM丄AC于M,过B作BN丄x轴交AC于N,・•・△DMEs^BNE工SDES~~BE2DMBN・•・M(1ca,—a・•・M(1ca,—a+2I2丿S_DMS~~BN2一2a2—2a14—5_—5(a+2)2+552・••最大值为4.②在OA上取一点P使得PA=PC，设②在OA上取一点P使得PA=PC，设OP=m,则PC=PA=4-m，在RtAPCO中，由勾股3定理得：（4-m）2=m2+22，解得m=—,・*.tanZ24CPO=—，3过D做x轴的平行线交y轴于R，交AC延长线于G，情况一：ZDCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG，・・・ZCDG=ZBAC，・・・tanZCDG=tanZBAC=1，2、（13、T设Da,——a2——a+2I22丿DR=—a，RC=-2a2-2代入得，a1=0，a2=—2,・.xD=—2DF=3k，DF=3k，DC=5k，情况二：ZFDC=2ZBAC，・・.tanZFDC=—，设FC=4k，33k1—VtanZDGC=_—,・FG=6k,CG=2k，DG=3、.5k，FG2・・・RVk，RG=爭，・・・RVk，RG=爭，DR=3厭—却k_罕止k・DR_5RCk5・•・a1=0（舍去）,29=—211综上所述:点D的横坐标为一2或-2911(二)半角的构造方法如图，已知，构造半角可以用下面两种方法：方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D,使得BD=BA,则ZD=丄^，若AC、BC的长度已知，则容易求出tanZD的值，从而进行相关计算。2方法二：如图，直接做厶的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tanZEBC的值。例4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x+5)(x-3)与％轴交与A、B两点(点A在点B的左侧)，且过点(24).(1)直接写出a的值和点B的坐标；(2)将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M,N两点，两抛物线交于点P,求点M到直线PB的距离；在(2)的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D,使得ZDAB=2ZPBA若男L存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.男L4(1)y=—(x+5)(x—3)；B(3，0)(2)A(—5,0)、M(—3，0)、N(3，0)1124设点M到直线PB的距离为h，则SApmb=2-h-PB=2-MB-°P，・・・h右存在，理由:设ZDAB=2ZPBA,如图，过点B作ZPBA的平分线BH交尹轴于点H,过点H