最短路径问题

一、复习回顾.提问：我们学习了几种“距离”？学生回答：两种，一种“点到点，，的距离，一种“点到线的距离，，。.提问：在第1问的基础上，我们相应地学习了几种“最短”？学生回答：两种，一种“两点之间，线段最短，，，一种“垂线段最短，，。.引入：我们今天就来归纳一下“最短路径问题”二、课题讲授（一）两点一线型（轴对称）“将军饮马”问题1：已知：如图，在直线上l上找一点P。使得AP+BP值最小。解析:作图：连接点A、点B与直线l相交于一点，则该点即为点P。原理：两点之间线段最短。结论：AP+BP值最小为AB。【提问】：你可以给这个模型赋予一个实际意义吗？比如我们的“将军饮马”问题？学生回答：古时候有位将军，每天都要从军营A,经过一条笔直的小河l回到家B。而将军的马每天要到河边喝水，问题：怎样走才能使总路程最短呢？【教师追问】：按照大家赋予的实际意义，如果将军的家搬到了河对岸，结果又会怎么？问题2：已知：如图，在直线上l上找一点P。使得AP+BP值最小。

解析:作图：作点B关于直线l的对称点8"连接点A、点B'与直线l相交于一点，则该点即为点P。原理：两点之间线段最短。结论：AP+BP值最小为AB,。【渗透数学思想】：解决问题2时，是将问题2转换成问题1.两者区别在于一个是两点在直线的异侧，一个是两点在直线的同侧，所以通过轴对称的知识将“同侧”的两点转化成“异侧”两点问题得以解决其中运用了转化的识将“同侧”的两点转化成“异侧”两点问题得以解决其中运用了转化的数学思想。【总结归纳】:归纳两点一线型的做法。【练习巩固】:如图,一个旅游船从大桥AB的P处【总结归纳】:归纳两点一线型的做法。【练习巩固】:如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再回到P处,请画出旅游船的最短路径。解析：建立数学模型，明确“两点”，再明确“一线”最后明确“两点”和“一线”的位置关系：同侧或异侧。师生活动:学生分析解题思路,并相互补充,然后独立完成画图。其基本思路为：由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q在直线BC的同侧,如何在BC找到一点R,使PR与QR的和最小”

（二）两线一点（两点）型（轴对称）问题3：延续前两个问题，将军从营地A出发，先要到草地边缘11牧马，再至U河边12饮马，再回到营地A，请求出最短路径。建立数学模型:在直线11、12上分别找到点M、N，使得4ANM的周长最短。解析:作图：分别作点A关于直线11、12的对称点A'、人’'，连接点A'、A与直线11、12分别相交，交点即为点M、点N.原理：两点之间线段最短。结论：AM+AN+NM值最小为A'A''。问题4：将军从营地A出发，先要到草地边缘11牧马，再到河边12饮马，再回到家B,最后返回营地A,请求出最短路径。建立数学模型:在直线11、12上分别找到点M、N,使得四边形AMNB的周长最短。解析:作图：分别作点A关于直线11、点B关于直线12的对称点A'、B',连

接点A，、B，，与直线11、12分别相交，交点即为点M、点N接点A，、B，，与直线11、12分别相交，交点即为点M、点N。原理：两点之间线段最短。结论：AB+BN+NM+MA的最小值为A，B，+AB。【总结归纳】：归纳两线一点（两点）型的做法。【练习巩固工【练口】 如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。（三）平移+轴对称“造桥选址”问题5:如图,A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）建立数学模型：已知1J/12，在11、12上分别求点M、点N,使得MN±11,且AM+MN+NB的值最小。解析:作图：将点A向下平移MN个单位长度得到A，，连接A，B与12相交于于点N,过点N作MN±11,交11于点M。原理：两点之间线段最短。结论：AM+MN+NB的最小值为A，B+MN。【反思】：该问题与问题1相近，区别在于“河的宽度”，处理方法“平移”。

问题6：在直线l上求两点M、N（M在N的左侧），使得MN=a（a为定值），并使AM+MN+NB的值最小。解析:作图：将点A向右平移a个单位长度得A',作A'关于l的对称点A'"连接A’'B,交直线l于点N,将N点向左平移a个单位得M。原理：两点之间线段最短。结论：AM+MN+NB的最小值为A，，B+MN。【反思】：该问题与问题2相近，区别在于MN的长度，处理方法“平移”。【总结归纳】：“造桥选址”的做法。（四）利用“垂线段最短”

解析:作图：作点P关于11对称点P"作P'B±12于B,交12于A。原理：垂线段最短。结论：PA+AB的最小值为P'B。三、聚焦中考【最短路径与函数】1.(2016•包头)如图，直线y=2x+4与x轴,y轴分别交于点A和点B,点C,D分3别为线段AB,OB的中点，点P为OA上一动点,PC+PD的值最小时点P的坐标为( )A.(-3,0) B.(-6,0)C.(-3，0)D.(-5，0)2 2解析：作点D关于x轴的对称点》,连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小，如图所示在y=2x+4中,令x=0，贝y=4,3••点B的坐标为(0,4)在y=2x+4中,令y=0,贝1J2x+4=033解得x=-6••点A的坐标为(-6,0)・•点C,D分别为线段AB,OB的中点••点C(-3,2)，点D(0,2)・•点D'和点D关于x轴对称，••点D'的坐标为(0,-2)。设直线CD'的表达式为y=kx+b・•直线CD'过点C(-3,2),D(0,-2){-3k+b=2 1b=-2b=-2b=-2・・・ 解得(2016•内江)如图所示,已知点C(1,0)，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是AB,OA上的动点，则4CDE周长的最小值是多少?解析：点C关于OA的对称点C(-1,0)，点C关于直线AB的对称点C"(7,6),连接CC-与AO交于点E,与AB交于点D此时4DEC周长最小△DEC的周长=DE+EC+CD=EC，+ED+DC"=CC"=10【最短路径与几何图形】(2013.钦州)如图，在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是解析：如图，连接DE,交AC于「，连接BP,则此时PB+PE的值最小.・•四边形ABCD是正方形，・・B、D关于AC对称，・.PB=PD,「•PB+PE=PD+PE=DE.BE=2,AE=3BE,AE=6,AB=8,•・DE=新1£=104.如图，在边长为2的故^余德的中D为BC0的中点,E是AC边上一点，则BE+DE的最小值是多少?

解析：作B关于AC的对称点B',连接BB'、B'D,交AC于E,此时BE+ED=B'E+ED=B'D,根据两点之间线段最短可知B'D就是BE+ED的最小值。•二B、B'关于AC对称，・・・AC,BB'互相垂直平分，・・・四边形ABCB'是平行四边形・・,△ABC是边长为2的等边三角形,D为BC的中点,・•・ADXBC,・•・AD―3，BD=CD=1,BB'=2AD=2右作GB'XBC的延长线于G・・・B'G=AD=