随机变量极其分布知识点

概率论与数理统计期末复习重要知识点一维：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为，则称X服从处参数为p的两点分布。两点分布的概率分布：（2）二项分布：若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：（3）泊松分布：若一个随机变量X的概率分布为，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P()泊松分布的概率分布：4.连续型随机变量：如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数，使得对于任意实数，有，则称X为连续型随机变量，称为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X的概率密度为，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：均匀分布的期望：；均匀分布的方差：（2）指数分布：若连续型随机变量X的概率密度为，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e()指数分布的概率密度：指数分布的期望：；指数分布的方差：（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为

则称X服从参数为和的正态分布，记为X~N(,)正态分布的概率密度：正态分布的期望：；正态分布的方差：（4）标准正态分布：，标准正态分布表的使用：（1）（2）（3）故定理1：设X~N(,),则6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称为X的分布函数。分布函数的重要性质：7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布（1）由X的概率分布导出Y的概率分布步骤：①根据X写出Y的所有可能取值；②对Y的每一个可能取值确定相应的概率取值；③常用表格的形式把Y的概率分布写出（2）由X的概率密度函数（分布函数）求Y的概率密度函数（分布函数）的步骤：①由X的概率密度函数随机变量函数Y=g(X)的分布函数②由求导可得Y的概率密度函数（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法：定理1设随机变量X具有概率密度，又设y=g(x)处处可导且恒有（或恒有），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为；其中是y=g(x)的反函数，且二维：1.离散型二维随机变量X与Y的联合概率分布表：YX……………….....................……........……1（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似P63例2（2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；类似P71例3（3）要会根据联合概率分布表求形如的概率；（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。2.二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对任意实数（x,y），有，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如等联合概率值;P64例3要会根据联合概率密度求出的边缘密度;类似P64例4要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：（1）；（2）4.常用的连续型二维随机变量分布二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有概率密度函数，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。5.独立性的判断：定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为，，若对任意实数x,y，有（1）离散型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；②所有可能取值，有，则X与Y相互独立。（2）连续型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；②联合概率密度，边缘密度，有几乎处处成立,则X与Y相互独立。（3）6．相互独立的两个重要定理定理1