中考射影定理及其运用

72017中考射影定理及其运用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

相似三角形射--影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图（1）:RMABC中，若CD为高，贝I」有CD2=BD・AD、BC2=BD・AB或AC2=AD・AB。二、变式推广4•逆用如图（1）:若^ABC中，CD为高，且有DC2=BD・AD或AC2=AD・AB或BC2=BD・AB,则有zDCB二zA或zACD二zB,均可等到^ABC为直角三角形。2■—般化，若aABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称:射影定理变式（2））2)如图（2）:^ABC中，D为AB上一点，若zCDB=zACB,或zDCB=zA,则有^CDB〜^ACB,可得BC2=BD・AB;反之，若^ABC中，D为AB上一点，且有BC2=BD・AB,则有^CDB〜^ACB,可得到zCDB=zACB,或zDCB二2)zA。三、应用C-例4如图（3），已知：等腰三角形ABC中，AB二AC,高AD、C-BE交于点H,求证：4DH・DA二BC2分析：易证zBAD=zCAD=90o-zC=zHBD，联想到射影定理变式（2），可得BD2=DH・DA,又BC=2BD,故有结论成立。

证明略）例2如图（4）:已知中，D为弧AC中点，过点D的弦BD被弦AC分为4和12两部分，求DC。分析：易得到^DBC=^ABD=^DCE,满足射影定理变式（2）的条件，故有CD2=DE・DB,易求得DC=8（解略）例3已知：如图（5）,^ABC中，AD平分zBAC,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,D,D,证明：连AF,vFH垂直平分AD,•••FA二FD,/FAD=/FDA,•••AD平分zBACj.zCAD二/BAa^FAD-^CAD=^FDA-^BAD,D,证明：连AF,vFH垂直平分AD,•••FA二FD,/FAD=/FDA,•••AD平分zBACj.zCAD二/BAa^FAD-^CAD=^FDA-^BAv/B=/FDA-/BAD,•/FAC=/B,又/AFC公共，AFcF•△AFC-^BFA,a——=——BFAF•AF2=CF・BF,.・.DF2二cf・bf。射影定理练习选择题】1、已知直角三角形abc中，斜边AB=5cm,BC=2cm,D为AC上的一点，DEAB交AB于E,且AD=3.2cm，则DE=()△A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm

2、如图1-1，在RtABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长△A、1B、2C、3D、43、在RtABC中，ABAC=9033、在RtABC中，ABAC=9034△【填空题】A、B、3,AD丄BC于点D，若AC=3，则BD=(AB4CDD、—16C、165、ABC中，ZA=90,AD丄BC于点D，AD=6，BD=12，贝I」CD=AC=,AB2:AC2=△6、如图2-1，在RtABC中，ZACB=90,CD丄AB,AC=6,AD=3.6，则解答题】7、已知CD是ABC的高，DE丄CA,DF丄CB，如图3-1，求证：CEFsCBA8、已知ZCAB=90,AD丄CB,ACE,是正三角形，求证：DE丄DF10、如图，在Rt^ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH丄BM且与AC的延长线交于点E.求证：(1)^AED-^CBM;(2)AE・CM=AC・CD11、已知：如图，等腰UBC中，AB=AC,AD丄BC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点，与过点C平行于AB的直线交于点G