2019年高考复习年高考数学压轴题19套

22故当X=2时,c-c=丄为常数，即数列｛ST｝为等差数列.nn—i2n16分7•设函数f(x)二alx+-1(其中常数a>0,且a知).lxax(I)当a二10时，解关于x的方程f(x)=m(其中常数m>2迈)(II)若函数f(x)在(-^,2］上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围.10x+10x3,x<0.〔10x①当xVO时，fx)=—>3•因为m>2\：2•则当22Vm^3时，方程f(x)=m无解;解(1)金)=<10x33当m>3,由10»=m，得x=lgm・②当xMO时，10x^1•由fx)=m得10^+2=m,A(10x)2_m10x+2=0.10x因为m>2；2，判别式a=m2_8>0,解得10x=m±/2_8.因为m>2伍所以于戸>迈>1・所以由10x=吐尸，解得x=lgm+“严令口戸“，得m=3m―m28所以当m>3时，2m+tjm2―83+，J32_8当2QVmW3时,m_K=—4m+jm^>3^3_T1'解得x=lgm_-Jm2_8综上，当m>3时，方程fx)=m有两解x=lgm和x=lg加+£当2\耳VmW3时，方程fx)=m有两解x=lg—-32⑵(I)若OVaVI,当xVO时，0今仗)=云<3；当0WxW2时，fx)=ax^ax-•…7分2令t=ax,则tw［a2,1］,g(t)=t+1在［a2,1］上单调递减，所以当t=1,即x=0时fx)取得最小值为3・

当f=a2时，/(x)取得最大值为a2+2•此时/(X)在(一8,2］上的值域是(0,a2+2］,没有最小TOC\o"1-5"\h\za2a2值・9分\o"CurrentDocument"32(II)若a>1,当xV0时，/X)=ax>3；当0WxW2时/X)=ax+ax・2令t=ax,g(f)=t+^，则灼［1,a2］・2若a2W\2,g(f)=t+f在［1,a2］上单调递减，所以当t=a2即x=2时/X)取最小值a2^^,最小值与a有关；11分13分213分a2^2，g(f)=f+孑在［1,\耳］上单调递减，在氏：2,a2］上单调递增，15分16分所以当f=0即x=log护时/X)取最小值2/2,最小值与15分16分综上所述，当aM42^,f(x)在(一8,2］上的最小值与a无关..'2迈9■设A二[-1,1],B=[-十，计]，函数f(x)二2x2+mx-1,(1)设不等式f(x)<0的解集为C,当C匸(AUB)时，求实数m取值范围;(2)若对任意xgR，都有f(1+x)二f(1-x)成立，试求xgB时，f(x)的值域;⑶设g(x)=1x—aI—x2—mx(agR)，求f(x)+g(x)的最小值.解：1)AUB=[—1,1],因为C匸AUB,二次函数f(x)=2x2—mx—1图像开口向上，且A=m2+8>0恒成立，故图像始终与x轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标x,xg［—1,1］，当且12仅当：f(—f(—1)>0，解得:(2)对任意xgR都有f(1+x)=f(1—x)，所以f(x)图像关于直线x=1对称,所以一仝=1，得m=4・4所以f(x)=2(x—1)2—3为[—竺上减函数.f(x).=—2迈；f(x)=2迈•故xgB时，f(x)值域为[—2y2,2“2]・mmmax⑴当x<a时,(3)令申(x)=f(x)+g(x)，则申(x)=x2+Ix—aI—1⑴当x<a时,申(x)=x2—x+a—1=(x—)2+a——24

1当a<—,则函数Q(x)在(-。a］上单调递减，从而函数Q(x)在(—g,a］上的最小值为Q(a)二a——1.若a>1，则函数Q(x)在(—g,a］上的最小值为q(；)二-5+a，且Q(［)<Q(a).TOC\o"1-5"\h\z—2425(ii)当x>a时，函数q(x)=x2+x—a—1=(x+)2—a——\o"CurrentDocument"4151若a<—，则函数Q(x)在(—g,a］上的最小值为Q(—)二-丁-a，且Q(—)<Q(a)\o"CurrentDocument"2421若a>-—，则函数Q(x)在［a,+g)上单调递增，2<从而函数Q(x)在［a,+g)上的最小值为Q(a)二a2—1.TOC\o"1-5"\h\z5综上，当a<—-时，函数Q(x)的最小值为—-—a\o"CurrentDocument"411当-2<a<—时，函数Q(x)的最小值为a2-11-当a>-时，函数Q(x)的最小值为—-+a・\o"CurrentDocument"2410■对于区间［m,n］上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意xg［m,n］均有If(x)—g(x)l<1,则称f(x)与g(x)在［m,n］上是接近的；否则，称f(x)与g(x)在［m,n］上是非接近的■现有两个1函数f(x)二log(x-3a)与f(x)二log(a>0且a丰1)，f(x)与f(x)在给定区间1a2ax—a12［a+2,a+3］上都有意义，求a的取值范围；⑵问f(x)与f(x)在给定区间［a+2,a+3］上是否为接近的？请说明理由.x—x—3a>0x—a>0解：(1)要使f(x)与f(x)有意义，则有12要使f(x)与f(x)在给定区间［a+2,a+3］上都有意义，等价于：［a+2>3a12:a>0且a工1所以0<a<1.(2)f(x)与f(x)在给定区间[a+2,a+3]上是接近的，121olf(x)—f(x)I<1ollog(x—3a)—logI<112aax—aollog[(x一3a)(x一a)]l<1oa<(x一2a)2—a2<1对于任意xg[a+2,a+3]恒成立.aa设h(x)二(x—2a)2—a2,xg[a+2,a+3]，且其对称轴X=2a<2在区间［a+2,a+3］的左边,a<(h(x))V1-<a<(h(x))V1-<(h(x))aminmaxa<h(a+2)V1->h(a+3)、aa<4一4aO'丄>9-6a、a4a<—o'56a2一9a+1>09+、571299+、57129-序,12.59；5712所以，当0<a<9-「57时，f(x)与f(x)在给定区间［a+2,a+3］上是接近的;-1212当9-序<a<］时，f(x)与f(x)在给定区间［a+2,a+3］上是非接近的.21211■已知a>0,函数f(x)=ax-bx2.(I)当b>0时，若对任意xGR都有f(x)W1,证明aW2朽；当b>1时，证明：对任意xW［0,1］,|f(x)|W1的充要条件是b—1WaW2調；当0<bW1时，讨论：对任意xe［0,1］,|f(x)|W1的充要条件.TOC\o"1-5"\h\zaa2a解：(1)证明：根据题设，对任意xWR,都有f(X)W1•又f(x)=—b(X—2b)2+4b.Af(2b)a2_=4bW1,Ta>0,b>0,・°・aW2b4分证明：必要性：对任意XG[0,1],|f(x)IW1nf(x)M—1•据此可推出f(1)M—1,即a—bM—1,・・aMb—16分丄丄对任意x£[0,1],If(x)IW1nf(x)W1,因为b>1,可得0V\b<1,可推出f(b)W1,即a・■-b—1W1,・・aW2、b,・.b—1WaW2、b8分充分性：因为b>1,aMb—1,对任意xW[0,1],可以推出ax—bx2Mb(x—x2)—xM—xM—1,即ax—bx2M—1,因为b>1,aW2、万，10分对任意xe[0,1],可以推出：ax—bx2W2bx—bx2—b(x—土)2+1W1,即ax—bx2W1,A—1^f(x)W1・12分综上，当b>1时，对任意xe[0,1],If(x)IW1的充要条件是b—1WaW2詡・(3)解：因为a>0,0vbW1时，对任意xe[0,1]有f(x)=ax—bx2M—bM—1,即f(x)M—1;f(x)W1nf(1)W1na—bW1,即aWb+1,又aWb+1nf(x)W(b+1)x—bx2W1,即f(x)W1・所以，当a>0,0vbW1时,对任意xe[0,1],If(x)IW1的充要条件是aWb+116分

12.已知f(x)=ax-Inx,xg(0,e］,g(x)=，其中e是自然常数，aGR.x(1)讨论a=1时，f(x)的单调性、极值；⑵求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)+i；^2是否存在实数a，使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：(1)f(x)=x一lnx，fr(x)=i-丄=兰二！xx・••当0<x<1时，f/(x)<0,此时f(x)单调递减当1<x<e时，f/(x)>0，此时f(x)单调递增・•・f(x)的极小值为f(1)=1(2)•••f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e］上的最小值为1,・•・f(x)>0・•・f(x)>0，f(x)=1min令h(x)=g(x)+-=lnx+-，2x2当0<x<e时，hr(x)>0,•111・•h(x)=h(e)=+<+—maxe22・・・在(1)的条件下，h，(x)=1-lnx，xh(x)在(0,e]上单调递增=1=1f(x)1min1f(x)>g(x)+-(3)假设存在实数a，使f(x)=ax-lnx①当a<0时，f(x)在(0,e］上单调递减,(xg(0,e])有最小值3，f/(x)=4a=—ef(x)min=f(e)=ae一1=3，1,a——=ax-1xx(舍去)，所以，此时f(x)无最小值.当0<丄<e时，f(x)在(0,丄)上单调递减，在(丄,e］上单调递增aaaf(x).=f(丄)=1+lna=3，a=e2，满足条件.mina(舍去)，所以，此当1>e时，f(x)在(0,e］上单调递减，f(x).=f(e)=ae-1=3,(舍去)，所以，此amin时f(x)无最小值•综上，存在实数a=e2，使得当xg(0,e］时f(x)有最小值3已知函数f(x)=alnx一ax一3(agR)・(1)求函数f(x)的单调区间;若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45。，对于任意的tg［1,2］，函数g(x)=x3+x2［f'(x)+m］在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；2

解：⑴f'(x)=a(1-x)(x>0)x当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+s);当a<0时，f(x)的单调增区间为(1,+Q，减区间为(0,1);当a二0时无单调区间.a⑵广⑵一厂1得a一2,f(x)一2lnx+2x-3•g(x)=x3+(m+2)x2—2x，・・g(x)=3x2+(m+4)x_2，・・・g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，・•・[g'⑴<01g'(3)>0-37<m<-93(3)令a=—1此时f(x)=—Inx+x—3，所以f(1)=—2，由(1)知f(x)=—Inx+x—3在(1,+Q上单调递增，•当xG(1,+8)时f(x)>f(1)，即—lnx+x—1>0,lnx<x一1对一一切xg(1,+s)成立,・n>2,ngN*，贝0有0<lnn<n-1，•°<n-1nn匚1=丄(n匚1=丄(n>2,ngN*)nn~2--3T•…_T<234设函数f(x)=aix+—(其中常数a>0,且a^1)・ax当a=10时，解关于x的方程f(x)=m(其中常数m>2诅)；若函数f(x)在(一8,2］上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围.f2、解：(1)fx)=°+云,x$°，2分<—,x<0.110x①当xV0时，fx)=2>3.因为m>2,2.10x则当2-亞VmW3时，方程f(x)=m无解;3当m>3，由10x=m，得x=lgm・②当xM0时，10x^1.由f(x)=m得—=m，10x・・・(10x)2-m10x+2=0.因为m>2迄，判别式a=m2—8>0,解得10x=m±叮2_8因为m因为m>2逸，所以卄］2-8>2>1・人m——m2—8令‘=1,^得m=3.综上，当m>3综上，当m>3^,方程f（x）=m有两解x=lg£和x=lg空匕2⑵法一：（I）若0VaV1,3当xV0时，0Vfx）=^V3；2当0WxW2时，fx）=ax+ax・2令/=ax，则tw［a2，1］，g（t）=t+”在［a2，1］上单调递减,所以当t=1,即x=0时fx）取得最小值为3.当t=a2时，fx）取得最大值为a2+—・11分此时fx）在（一8,2］上的值域是（0,a2+2］,11分22(II)若a>1,当xV0时，fx)=ax>3;当0WxW2时f(x)=ax+ax•令t=ax,g(t)=t+1，则taxaxte[1,a2].2①若*、込,g(t)=t+t在[1,a2]上单调递减，13分15分16分213分15分16分所以当t=a2即x=2时fx）取最小值a2+~a2，最小值与a有关;2②a2$迈,g（t）=t+7在［1,J2］上单调递减，在［-血，a2］上单调递增,综上所述，当aN42时，fx）在（一8,2］上的最小值与a无关.所以当t=頁即x=loga综上所述，当aN42时，fx）在（一8,2］上的最小值与a无关.法二:g(x)=a1x|+2ax,xg［—2,+8)①当a>1时，x>0时，ax>1，g(x)=3ax，所以g(x)g［3,+8)，1—2<x<0时，—<ax<1g(x)=a—x+2ax,所以a29分2O一9分g'(x)=—a-xIna+2axIna=InaaxTOC\o"1-5"\h\zi当丄>,丄即1<a<42时，对Vxg(—2,0),g'(x)>0，所以g(x)在［—2,0)上递增,a22所以g(x)g[a2+2,3)，综合a)b)g(x)有最小值为a2+2与a有关，不符合11分a2a2ii当1<.1即a><2时，由g'(x)=0得x=—^log2,且当-2<x<—^log2时，g'(x)<0,当a2722a2a—1log2<x<0时，g'(x)>0，所以g(x)在［—2,—1log2］上递减，在［一1log2,0］上递增，所以2a‘2a2a'g(x)=gmin1loga2卜综合ag(x)=gmin1loga2卜综合a)b)g(x)有最小值为2迈与a无关，符合要求.13分②当0<a<1时,a)x>0时，0<ax<1，g(x)=3ax，所以g(x)g(0,3］b)—2<x<0时'1<ax<—，g(x)=a—x+2ax，a2所以2O一1g'(x)=—a-xlna+2axlna=lnaax<0，g(x)在［—2,0)上递减,所以g(x)g(3,a2+]，a2综合a)b)g(x)有最大值为a2+2与a有关，不符合15分a2综上所述，实数a的取值范围是a>42・16分已知函数f(x)=1x—aI—lnx(a>0).(1)若a=1,求f(x)的单调区间及f(x)的最小值;若a>0，求f(x)的单调区间；试比较)ln22+吐++lnn^与(n-1)(2n+1)的大小，⑺gN咀n>2)，并证明你的结论。2232n22(n+1)解：(］)a=1,f(x)=|x—1|—lnx…

1x—1TOC\o"1-5"\h\z当x>1时,f(x)=x—1—Inx,f(x)=1—=>0.xx•••f(x)在区间［1,+8)上是递增的2分当0<x<1,f(x)=1—x—lnx,f'(x)=—1——<0x•f(x)在区间(0,1)上是递减的故a=1时，f(x)的增区间为,+8),减区间为0,1),f(x).=f(1)=04分mm(2)若a>1,当x>a时，f(x)=x一a一lnx,f'(x)=1一丄=—~>0.xx则f(x)在区间a,+8］上是递增的；0<x<a时，f(x)=a—x—lnx,f，(x)=—1—•f(x)在区间(0,a)上是递减的.6分若0<a<1,当x>a日寸，f(x)=x一a一lnx,1x—1f'(x)=1—=,x>1,f'(x)>0,a<x<1,f'(x)<0xx则f(x)在区间［1,+8)上是递增的，f(x)在区间［a,1)上是递减的;当0<x<a时,f(x)=a—x—lnx,f'(x)=—1一丄<0,xf(x)在区间(0,a)上是递减的,而f(x)在x=a处连续;则f(x)在区间［1,+8)上是递增的，在区间(0,1)上是递减的综上：当a>1时,f(x)的递增区间是［a,+8)，递减区间是(0,a)；当0<a<1时，f(x)的递增区间是［1,+8)，递减区间是(0,1)11分(3)由(1)可知，当a=1,x>1时，有x—1—lnx>0,即Inx<1—xxln22ln32lnn211<1——+1——+11/111、…・・・・13分..++++1——=n―1―(+++)2232n22232n22232n2,」1--i111、=n—1—(——+_—++—)"2334nn+1一n—1—(—)一(n—1)(2n+1)16分2n+12(n+1)16.已知数列占｝满足，a+a二4n—3(neN*).nn+1n若数列b｝是等差数列，求a的值；TOC\o"1-5"\h\zn1当a=2时，求数列占｝的前n项和S;1nn(3)若对任意neN*,都有仔如2>5成立，求a的取值范围.a+a1nn+1解:(1)若数列b｝是等差数列，则a二a+(n—1)d,a二a+nd.nn1n+11由a+a=4n—3,得((a+nd)+[a+(n—1)d]=4n—3,艮卩2d=4,2a—d=—3,n+1n1111解得，d=2,a】=-24分(2)由a+a二4n—3(neN*/r/