数值计算上课第二部分-ch3-2正交多项式

近的重要工具.正交多项式是函数(

x)

f

(

x)g(

x)dx

0数且满足(

f

(

x)，g(

x))

ba则称f

(x)与g(x)在a,b上带权(x)正交.)}

axb

上带是权(，)x 正交函数系;则称{(满足关系k

k0，jk0,

jAkaj，k若函数族0

()(，1b(),n

(

定义3.2若Ak

1,则称之为标准正交函数系.一、正交多项式的基本概念若f

(x)，g(x)

C

0

a,b，(x)为a,b上的权函,m

n0,

m

n,sin

mx

sin

nxdx

,m

n0,

m

n,cos

mx

cos

nxdx

正交多项式的基本概念(2)任意两个相同函数在[

,

]上的积分等于

.(1,1)

2

,

(sin

kx,

sin

kx)

(cos

kx,

cos

kx)

,而对k,

j

1,2,...,当k

j时,

有(cos

kx,

sin

kx)

(1,

cos

kx)

(1,

sin

kx)

0(cos

kx,

cos

jx

)

(sin

kx,

sin

jx

)

(cos

kx,

sin

jx

)

0区间[a,b]上关于权函数的正交函数系必定线性无关。证明设权函数为(x),正交函数系为{：0

,1

,...n

}

c11

...

cnn

0即存在不全为零的实数c0

,c1

,...cn使得假设{0

,1

,...n

}线性相关(反证法)c00不妨设ci

0，则有：c（0

0，i

)

c（1

1，i

)

...

c（n

而（i，i

)

0,只有ci

0（i，i

)

0证毕定理6.2二、正交函数系的性质证明：dx

0k k

1(

x)

Qbak｛

(x)｝正交｛k

(x)｝正交｛k

(x)｝线性无关组k

1j

0k

1Q

(

x)

j

jb

(

x)线性组合()xQk

1()(()jj

0kbakk

1dx

ba()dx＝0＝bbajk

1j

0正交函数系的性质设k

(x)是k次多项式，(x)为权函数，Q

dx

k

1,(2,.0..)k

k

1ak

k

1(

x)(

,

Q

)

则{k

(x)}在[a,b]上正交的充要条件是：对任意的k,b定理6.3其中Qk

1

(x)为任意至多k

1次多项式正交函数系的性质正交多项式系的性质：{0

,1

,...n

}线性无关对Pn

(x)

Hn均可表为0

,...n的线性组合

k

kj0,

kj0，kjbakj

，

(3)()()(())只要给定区间a,b及权函数(x),均可由一族线性无关的幂函数{1,x,..xn

...},利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列{

(

x)}

:n

0（n

1，2

，.......)0

n

x

(1(x,))

）j

0jj

x

(()三、正交多项式系的构造2x

3

x

5

5

(

4

(

6

4

3

由{1,x,..xn

...}[0,1]正交多项请

写出8

(

x)

~

10

(

x)正交多项式系的构造(

x)

x2111

11

231

x5

105143

143

5

x

295

(7746

(3由{1,x,..xn

...},[1,1]正交多项请

写出8

(

x)

~

10

(

x)正交多项式系的构造定理：按以下方式定义的多项式集合{0

,1

,n

}是区间[a,b]上关于权函数(x)

0（,(x)不恒为零的正交函数族。(()((2)n),0

(11(,))

1k

其中或按下述定理求正交多项式系的构造1.勒让德多项式及其结构特点权函数(x)

1由{1,x,...xn

,...}正交化得到的多项式区间为[1,1]符号:P0

(x),P1

(x),...Pn

(x),...(n

1,2,...)P0

(

x)

112

nd

n一般表达式:

Pn

(

x)

2n

n!

dxn

{(

x

1)

},四、勒让德(Legendre)正交多项式的勒让德多项式为.显然最高项系数为12n

(n!)2(2n)!n于是得首项xn的系数a

(2n)!

dxn[(

x2

1)n

]n!~d

nnP

(

x)

勒让德正交多项式，m

n

2n

1Pn

(

x)Pm

(

x)dx

1勒让德正交多项式2.勒让德多项式的重要性质:性质1

正交性20，m

n；1性质2

奇偶性奇函数,偶函数,Pn(

x)n为偶数时n为奇数时性质3

递推关系PP

(

x)n

1n1nnn1n

1(

x)

2n

1

P

(

x)

P1

(

x)

x勒让德正交多项式3.勒让德多项式集的前10位:P0

(

x)

123

x

2

1P2

(

x)

33

4()(

30

P

,45P

(

x)

(63x

5

70x

3

15

,

105

x

2

5)

16

,46P

(请

写出8

(

x)

~

10

(

x)

315

x

3

35)

16,57P

(,区间为[1，1]时当权函数（x）1

x21的正交多项式由序列2就是切比

v

项式,)它(

可表示为Tn

(

x)

cos(n

arccos

x),

x

1.若令x

cTn

(

x)

cos

n

0

..五、切比(Chebyshev)正交多项式.切1

比项及其结构特点1权函数(x)1

x2由{1,x,...xn

,...}正交化得到的多项式区间为[1,1]符号

(:

),

10

n

xT),x...一般表达式:Tn

(x)

cos(narccos

x),x

1.切比正交多项式.切3

比T0

(

x)

1切比多项式集的前10位:请

写出8

(

x)

~

10

(

x),2T3

(T,201634)(55

1

1120

432

12810T

(79T

(x

28T

(5

18

x

2

1,

56

x

3

7

x7T

(46T

(T

(

x)

2x2

1,T

(

x)

x1正交多项式dxnn(

xn

e

x

)x

,

L

(

x)

ex

[0,),

(

x)

e递推关系：L

(

x)

(2n

1

x)L

(

x)

n2

L

(

x)n1

n

n1(n

1,2,)x

(n

1,2,)L0

(

x)

1,

L1

(

x)

x

1,

L2

(

2,k

0

k

k!nk

n

n!,

Ln

(

x)

(1)

k六、拉

（Laguerre）正交多项式d

n数据拟合时正交多项式的使用:定义:满足下列条件的函数族(

),

10( ),

m

(称为以的正交函数族.为权关于点集21

,kj

)(kx(0,(0,)1,)

mkj(,)kk(,)n

ikii

1

02拉盖儿正交多项式组的系数矩阵一定是对角阵，不会出现

。此时正则方程组的解为：n(k

0,1,,

m)ni

1

i

1

2

(

x

)i

k

iiyik

(

xi

)拉盖儿正交多项式按上述方法求出正交多项式函数族后，以此正交函数族为基函数做最小二乘拟合多项式，其正则方程ka

kk

,k

y,

最小二乘函数为：m

(

x)

akk

(

x)k

0函数 近的基本概念函数

近的基本概念函数

近简单函数p(x)

复杂函数要求：f

(

x)f

(x)

p(x)

尽可能小（足够的小）NHn

{Pn

(

x),,}C[a,]b

{[a,]b

区间上的连续函数，，数乘}C

p

[a,b]{[a,b]区间上具有p阶连续导数的函数，数乘}函数

近的基本概念函数

近的基本概念范数与赋范空间设S为线性空间，

为S

上的范数则｛S,

｝称为赋范线性空间。内积与内积空间N维数量空间内积(

x,

y)

x1

y1

x2

y2

...

xn

yn(

x,

y)

x1

y1

x2

y2

x3

y3(3),((),(),,),,

K

时，(0u,u)0u＝

(2),(u(u),v)v

u(4v)(,0,)

当且仅当则称(u,v)为X上的内积函数

近的基本概念推而广之设X是数域K(R或C）上的线性空间，对u,v

X

,