高等数学 第八章空间解析几何课件

第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积*混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影§8.1向量及其运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段

表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢规定:零向量与任何向量平行

;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则高等数学第八章空间解析几何课件2.向量的减法三角不等式2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,与a

的乘积是一个新向量,记作特别的:3.向量与数的乘法是一个数,与a的乘积是一个结合律运算律:分配律因此结合律运算律:分配律因此定理1.

设

a

为非零向量,则(为唯一实数)a∥b．．OiPxx点P实数x轴上点P的坐标为x的充分必要条件是

直线上点的坐标平面上点的坐标OQpMxyij点M向量

平面的上点M的坐标为（x，y）的充分必要条件是

向量定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)a∥b证明:

假设存在唯一的实数,使得由向量与数乘法定义可知与平行.与平行假设与同向，取若则与同向，与同向.从而而,故证明:假设存在唯一的实数,使得由向量与数乘法定义可知与平行下面证唯一性：假设存在两个实数与反向，取若则与反向，与同向.从而而,故使以上两式相减，得故下面证唯一性：假设存在两个实数与反向，取若则与反向，与同向.定理1.

设

a

为非零向量,则(为唯一实数)a∥b．．OiPxx点P实数x轴上点P的坐标为x的充分必要条件是

直线上点的坐标平面上点的坐标OQpMxyij点M向量

平面的上点M的坐标为（x，y）的充分必要条件是

向量定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点O,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组称有序数组为点M的坐标,记为

M原点O(0,0,0);向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上坐标轴:坐标面:坐标轴:坐标面:2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点

M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式

,任意向量r可用向径OM表示.2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:

①②2×①－3×②,得代入②得例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×例3.

已知两点在AB直线上求一点M,使解:

设M

的坐标为如图所示及实数得即故例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M说明:

由得定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式例4.

求证以证:即为等腰直角三角形.的三角形是等腰直角三角形.为顶点例4.求证以证:即为等腰直角三角形.的三角形是等腰直角三例5.

在z

轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在

xoy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?离的点.例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.

已知两点和解:求提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)

为向量

的夹角.

类似可定义向量与轴,

轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称方向余弦的性质:方向余弦的性质:例7.

已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例8.

设点A

位于第一卦限,解:

已知角依次为求点A

的坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为向径OA

与x

轴，y轴的夹例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A3.向量的投影的概念空间一点在轴上的投影3.向量的投影的概念空间一点在轴上的投影过点

作一平面与轴垂直，该平面与轴交于一点，则称为向量在

轴上的分向量，设

则称数为在轴上的投影，记作

或向量在轴上的投影：过点作一平面与轴垂直，该平面与轴在三条坐标轴上的投影，即从而或向量的投影具有与坐标相同的性质性质1（是与轴的夹角）性质2性质3在三条坐标轴上的投影，即从而或向量的投影具有与坐标相同的性质

作业：p12-13习题8-1

1,3，4，5，13,14,15作业：p12-13习题8-1第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积*混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影§8.1向量及其运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段

表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢规定:零向量与任何向量平行

;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则高等数学第八章空间解析几何课件2.向量的减法三角不等式2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,与a

的乘积是一个新向量,记作特别的:3.向量与数的乘法是一个数,与a的乘积是一个结合律运算律:分配律因此结合律运算律:分配律因此定理1.

设

a

为非零向量,则(为唯一实数)a∥b．．OiPxx点P实数x轴上点P的坐标为x的充分必要条件是

直线上点的坐标平面上点的坐标OQpMxyij点M向量

平面的上点M的坐标为（x，y）的充分必要条件是

向量定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)a∥b证明:

假设存在唯一的实数,使得由向量与数乘法定义可知与平行.与平行假设与同向，取若则与同向，与同向.从而而,故证明:假设存在唯一的实数,使得由向量与数乘法定义可知与平行下面证唯一性：假设存在两个实数与反向，取若则与反向，与同向.从而而,故使以上两式相减，得故下面证唯一性：假设存在两个实数与反向，取若则与反向，与同向.定理1.

设

a

为非零向量,则(为唯一实数)a∥b．．OiPxx点P实数x轴上点P的坐标为x的充分必要条件是

直线上点的坐标平面上点的坐标OQpMxyij点M向量

平面的上点M的坐标为（x，y）的充分必要条件是

向量定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点O,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组称有序数组为点M的坐标,记为

M原点O(0,0,0);向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上坐标轴:坐标面:坐标轴:坐标面:2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点

M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式

,任意向量r可用向径OM表示.2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:

①②2×①－3×②,得代入②得例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×例3.

已知两点在AB直线上求一点M,使解:

设M

的坐标为如图所示及实数得即故例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M说明:

由得定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式例4.

求证以证:即为等腰直角三角形.的三角形是等腰直角三角形.为顶点例4.求证以证:即为等腰直角三角形.的三角形是等腰直角三例5.

在z

轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在

xoy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?离的点.例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.

已知两点和解:求提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)

为向量

的夹角.

类似可定义向量与轴,

轴与轴的夹角