高中数学人教版必修2空间点、直线、平面之间的位置关系课件

第二章点、线、面之间的位置关系

第二章点、线、面之间的位置关系引入：点、线、面之间的关系

“点动成线”“线动成面”“面动成体”引入：点、线、面之间的关系“点动成线”引入：点、线、面之间的关系★把点作为最基本的元素，线看成是由点组成的集合，面也看成是由点组成的集合。点A，直线a的位置关系：点在直线上：A∈a点不在直线上：A∉a平面用什么字母表示？什么是平面？引入：点、线、面之间的关系★把点作为最基本的元素，线看成是思考：什么是平面？平面是一个原始概念无限延伸、没有厚度、平滑的平面把空间分成了几个部分？

2个思考：什么是平面？平面是一个原始概念无限延伸的无厚薄之分不可度量的无大小之分无限延伸的无厚薄之分不可度量的无大小之分水平平面画法竖直平面画法一个平面被另一个遮挡住？如何画平面呢？把水平的平面画成一个平行四边形，并且平行四边形的锐角通常画成45°，横边长等于邻边长的2倍。α=45°，AB=2AD水平平面画法竖直平面画法一个平面被另一个遮挡住？如何画平面呢平面的画法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：aß通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450平面的画法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：aß思考：什么是平面？平面是一个原始概念无限延伸、没有厚度、平滑的平面把空间分成了几个部分？3个画法：平行四边形注意：被另一个平面遮挡的部分用“虚线”画思考：什么是平面？平面是一个原始概念平面的画法：

在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。平面的画法：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住平面的记法（1）希腊字母α、β、γ等（2）用平行四边形的4个顶点字母按顺序写，如，平面ABCD。（3）用平行四边形的对角字母写，如，平面AC。平面的记法（1）希腊字母α、β、γ等把希腊字母α、β、等写在代表平面的平行四边形的一个角上用代表平行四边形的四个顶点表示用代表平行四边形的四个顶点的相对两个顶点的大写英文字母表示？如何表示平面呢？把希腊字母α、β、等写在代表平面的平行四边形的一个角上用代点与直线、平面之间的位置关系点与直线、平面之间的位置关系直线与平面之间的位置关系直线与平面之间的位置关系点A与平面α的位置关系点在平面内，A∈α点不在平面内，A∉α思考：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否一定在平面α内？如果直线l上有两个点都在平面α内呢？点A与平面α的位置关系点在平面内，公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这一条直线必在这个平面内。思考：空间中，一条直线和一个平面可能出现几种位置关系？公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这一（一）直线与平面的位置关系（1）直线与平面平行（2）直线与平面相交（3）直线在平面内0个交点唯一交点无数个交点（一）直线与平面的位置关系0个交点唯一交点无数个交点公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内符号语言：Al，Bl，且Aα，Bαlα作用：判断直线是否在平面内判断下图所示的直线与平面是什么关系。lαl与α相交公理1公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面符号语言：A，B，C三点不共线l，则存在唯一的平面α，使A，B，Cα。作用：刻画了平面特有的基本性质，给出了确定一个平面的依据公理2如图所示，不在一条直线上的三点A，B，C所确定的平面记为“平面ABC”公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面公理2如图所示公理2的几条推论公理2的几条推论判断正误：（1）若直线l上有无数个点都不在平面α内，则l∥α。（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线也平行。（3）若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行。×××判断正误：（1）若直线l上有无数个点都不在平面α内，则l∥α判断正误：（4）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点。（5）若直线l在平面α外，则l∥α。√×判断正误：√×提问：一个凳子，如果只有两条腿，你敢坐吗？“三点确定一个平面”，这种说法正确吗？公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。记法：平面ABC×提问：一个凳子，如果只有两条腿，你敢坐吗？“三点确定一个平面公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经思考：如图，把三角板的一个顶点立在桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一个点？为什么？注意平面是无限延伸的。两个平面相交，公共部分围成什么图形？思考：如图，把三角板的一个顶点立在桌面上，三角板所在的平公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。可不可以不强调“不重合”的？如何确定交线？公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只P43例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系。P43例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位例2已知△ABC在平面α外，AB∩α=P，AC∩α=R，BC∩α=Q ，如图所示。求证：P、Q、R三点共线。提示：证明多点共线，可以利用公理三。例2已知△ABC在平面α外，AB∩α=P，AC∩α=R，BC例3.在四面体ABCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且DF：FC=DH:HA=2:3。求证：EF、GH、BD交于一点。例3.在四面体ABCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在（二）直线与直线的位置关系观察教室四周和上下面上的棱，它们有哪些位置关系？（二）直线与直线的位置关系（二）直线与直线的位置关系1.共面直线：相交平行2.异面直线判断：l1与l2没有交点，则l1∥l2。这种说法是错误的。1个交点0个交点0个交点（二）直线与直线的位置关系1.共面直线：1个交点0个交点0个异面直线的作图：需要找平面来衬托：baabab异面直线的作图：需要找平面来衬托：baabab思考：aα，bβ，且α∩β=l，问a与b可能是哪些位置关系？αβlαβlαβlababab思考：aα，bβ，且α∩β=l，问a与b可能是哪些P45探究：异面直线有多少对？HGFEDCBAP45探究：异面直线有多少对？HGFEDCBAHGFEDCBAHGFEDCBA公理四:空间中，平行于同一条直线的两条直线互相平行。传递性可以用于判断两直线平行公理四:空间中，平行于同一条直线的两条直线互相平行。P45例如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。思考：再加上"AC=BD"的条件，四边形EFGH是什么图形？菱形AB

DEFGHCP45例如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是思考：在平面内，若∠A的两边与∠B的两边分别平行，则∠A与∠B之间有什么联系？∠A=∠B，或者∠A+∠B=180°思考：在平面内，若∠A的两边与∠B的两边分别平行，则∠A与∠定理:空间中，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。定理:空间中，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互定理:空间中，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。定理:空间中，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两条边分别平行，且方向相同，则这两个角相等。两个条件：①边分别平行②射线方向相同等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两条边分别平行，且方向共面直线的夹角范围:易知，两条相交或是平行的直线，可以确定唯一一个平面。那么，两条相交直线的夹角是哪个角呢？较小的那个锐角平行直线的夹角是多少度？共面直线的夹角范围是[0°，90°]共面直线的夹角范围:易知，两条相交或是平行的直线，可以确定唯思考：异面直线，既不平行，也不相交，那么什么叫异面直线所成的角呢？规定：直线a与b异面，O为空间中任意一点，过点O作a平行线（仅有一条）a'，过O作b的平行线b'，把a'与b'的夹角叫做异面直线a与b所成的角。思考：异面直线，既不平行，也不相交，那么什么叫异面直线所异面直线所成的角①与O的位置选取无关。（等角定理）所以一般把O点选在其中一条直线上。②异面直线所成的角的范围：(0°，90°]异面直线所成的角①与O的位置选取无关。（等角定理）异面垂直：两异面直线所成的角为90°时，称这两条异面直线垂直。P47探究、例3、练习异面垂直：两异面直线所成的角为90°时，称这两条异面直线例4如图，正方体AC1中，E、F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小。例4如图，正方体AC1中，E、F分别是A1B1，B1C1的中（三）平面与平面的位置关系把两个本子当做两个平面，移动和翻转，观察这两个平面可能出现哪几种位置关系？（1）两平面平行（2）两平面相交①斜交②垂直P50探究，a与b平行吗？（三）平面与平面的位置关系把两个本子当做两个平面，移动和思考:如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？

一条或三条。思考:如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？例：α、β是两个不重合的平面，下面说法正确的是（）A.若平面α内有两条直线a，b都与平面β平面，则α∥β。B.若平面α内有无数条直线都平行于平面β，则α∥β。C.若直线a与平面α、平面β都平行，则α∥β。D.若平面α内所有直线都与平面β平行，则α∥β。D例：α、β是两个不重合的平面，下面说法正确的是（）第二章点、线、面之间的位置关系

第二章点、线、面之间的位置关系引入：点、线、面之间的关系

“点动成线”“线动成面”“面动成体”引入：点、线、面之间的关系“点动成线”引入：点、线、面之间的关系★把点作为最基本的元素，线看成是由点组成的集合，面也看成是由点组成的集合。点A，直线a的位置关系：点在直线上：A∈a点不在直线上：A∉a平面用什么字母表示？什么是平面？引入：点、线、面之间的关系★把点作为最基本的元素，线看成是思考：什么是平面？平面是一个原始概念无限延伸、没有厚度、平滑的平面把空间分成了几个部分？

2个思考：什么是平面？平面是一个原始概念无限延伸的无厚薄之分不可度量的无大小之分无限延伸的无厚薄之分不可度量的无大小之分水平平面画法竖直平面画法一个平面被另一个遮挡住？如何画平面呢？把水平的平面画成一个平行四边形，并且平行四边形的锐角通常画成45°，横边长等于邻边长的2倍。α=45°，AB=2AD水平平面画法竖直平面画法一个平面被另一个遮挡住？如何画平面呢平面的画法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：aß通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450平面的画法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：aß思考：什么是平面？平面是一个原始概念无限延伸、没有厚度、平滑的平面把空间分成了几个部分？3个画法：平行四边形注意：被另一个平面遮挡的部分用“虚线”画思考：什么是平面？平面是一个原始概念平面的画法：

在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。平面的画法：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住平面的记法（1）希腊字母α、β、γ等（2）用平行四边形的4个顶点字母按顺序写，如，平面ABCD。（3）用平行四边形的对角字母写，如，平面AC。平面的记法（1）希腊字母α、β、γ等把希腊字母α、β、等写在代表平面的平行四边形的一个角上用代表平行四边形的四个顶点表示用代表平行四边形的四个顶点的相对两个顶点的大写英文字母表示？如何表示平面呢？把希腊字母α、β、等写在代表平面的平行四边形的一个角上用代点与直线、平面之间的位置关系点与直线、平面之间的位置关系直线与平面之间的位置关系直线与平面之间的位置关系点A与平面α的位置关系点在平面内，A∈α点不在平面内，A∉α思考：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否一定在平面α内？如果直线l上有两个点都在平面α内呢？点A与平面α的位置关系点在平面内，公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这一条直线必在这个平面内。思考：空间中，一条直线和一个平面可能出现几种位置关系？公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这一（一）直线与平面的位置关系（1）直线与平面平行（2）直线与平面相交（3）直线在平面内0个交点唯一交点无数个交点（一）直线与平面的位置关系0个交点唯一交点无数个交点公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内符号语言：Al，Bl，且Aα，Bαlα作用：判断直线是否在平面内判断下图所示的直线与平面是什么关系。lαl与α相交公理1公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面符号语言：A，B，C三点不共线l，则存在唯一的平面α，使A，B，Cα。作用：刻画了平面特有的基本性质，给出了确定一个平面的依据公理2如图所示，不在一条直线上的三点A，B，C所确定的平面记为“平面ABC”公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面公理2如图所示公理2的几条推论公理2的几条推论判断正误：（1）若直线l上有无数个点都不在平面α内，则l∥α。（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线也平行。（3）若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行。×××判断正误：（1）若直线l上有无数个点都不在平面α内，则l∥α判断正误：（4）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点。（5）若直线l在平面α外，则l∥α。√×判断正误：√×提问：一个凳子，如果只有两条腿，你敢坐吗？“三点确定一个平面”，这种说法正确吗？公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。记法：平面ABC×提问：一个凳子，如果只有两条腿，你敢坐吗？“三点确定一个平面公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经思考：如图，把三角板的一个顶点立在桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一个点？为什么？注意平面是无限延伸的。两个平面相交，公共部分围成什么图形？思考：如图，把三角板的一个顶点立在桌面上，三角板所在的平公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。可不可以不强调“不重合”的？如何确定交线？公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只P43例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系。P43例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位例2已知△ABC在平面α外，AB∩α=P，AC∩α=R，BC∩α=Q ，如图所示。求证：P、Q、R三点共线。提示：证明多点共线，可以利用公理三。例2已知△ABC在平面α外，AB∩α=P，AC∩α=R，BC例3.在四面体ABCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且DF：FC=DH:HA=2:3。求证：EF、GH、BD交于一点。例3.在四面体ABCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在（二）直线与直线的位置关系观察教室四周和上下面上的棱，它们有哪些位置关系？（二）直线与直线的位置关系（二）直线与直线的位置关系1.共面直线：相交平行2.异面直线判断：l1与l2没有交点，则l1∥l2。这种说法是错误的。1个交点0个交点0个交点（二）直线与直线的位置关系1.共面直线：1个交点0个交点0个异面直线的作图：需要找平面来衬托：baabab异面直线的作图：需要找平面来衬托：baabab思考：aα，bβ，且α∩β=l，问a与b可能是哪些位置关系？αβlαβlαβlababab思考：aα，bβ，且α∩β=l，问a与b可能是哪些P45探究：异面直线有多少对？HGFEDCBAP45探究：异面直线有多少对？HGFEDCBAHGFEDCBAHGFEDCBA公理四:空间中，平行于同一条直线的两条直线互相平行。传递性可以用于判断两直线平行公理四:空间中，平行于同一条直线的两条直线互相平行。P45例如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。思考：再加上"AC=BD"的条件，四边形EFGH是什么图形？菱形AB

DEFGHCP45例如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是思考：在平面内，若∠A的两边与∠B的两边分别平行，则∠A与∠B之间有什么联系？∠A=∠B，或者∠A+∠B=180°思考：在平面内，若∠A的两边与∠B的两边分别平行，则∠A与∠定理:空间中，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。定理:空间中，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互定理:空间中，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。定理:空间中，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两条边分别平行，且方向相同，则这两个角相等。两个条件：①边分别平行②射线方向相同等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两条边分别平行，且方向共