高三数学二轮专题复习教案――三角函数

2009届高三数学二轮专题复习教案一一三角函数、本章知识结构:|正用，负角荐制

［匐的概Z的推广.商数关荼T—FF1京素T|正用，负角荐制

［匐的概Z的推广.商数关荼T—FF1京素T同用三周函变

的基本关系式

i_阿基若I的三磬函磬磐堇火—任意角的三角函数卜口的或荏答聚限的籽司信导公式T度与孤度的互化法导叁石噜导脸式四.唯导公式三-k导公当一二、重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法： 凡是与终边“相同的角， 都可以表示成k-3600+a的形式，特例，终边在X轴上的角集合{a|a=k•180°,kCZ},终边在y轴上的角集合{a|a=k•1800+900,kCZ},终边在坐标轴上的角的集合{a|a=k•900,kCZ}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；⑴角度制与弧度制的互化： 弧度180,1——弧度，1弧度(180)5718’180TOC\o"1-5"\h\z1_2 1_⑵弧长公式：lR；扇形面积公式：S1R21RI。2 22、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：(1)三角函数定义：角 中边上任意一点P为(x,y),设|OP|r则:y x ysin—,cos—,tan一r r x(2)三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦;(3)特殊角的三角函数值a06432322sina012亚2J3210-10COSa1M2迤2120-101

tana0v331不存在0不存在0同角三角函数的基本关系： sin2x2cosx.sinx1; tanxcosx诱导公式（奇变偶不变，符号看象限sin(sin(sin(sin(sin()=sina,cos()=—sina,cos()=—sina,cos()=—cosa,tan()=—同角三角函数的基本关系： sin2x2cosx.sinx1; tanxcosx诱导公式（奇变偶不变，符号看象限sin(sin(sin(sin(sin()=sina,cos()=—sina,cos()=—sina,cos()=—cosa,tan()=—cosa,tan()=—tan)=tan)=cosa,tan()=—tansin(sin(22k)=—sin

)=sin,cos(

,cos()=cosa,cos(—2)=cosa,cos(一22 )=cosa,tan(2k)=cosa,tan()=sina)=-sin22k)=—tana)=tana,(kZ)3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式①sin()sincoscossin②cos()coscossinsin;①sin()sincoscossin②cos()coscossinsin;③tan(tantan1tantan（2）二倍角公式二倍角公式：①sin22sincos；②cos2cos2sin②cos2cos2sin22cos2112sin22tan③tan2 21tan2（3）经常使用的公式①升（降）哥公式：sin21cos22coscos22、sincos1sin2；2②辅助角公式：①升（降）哥公式：sin21cos22coscos22、sincos1sin2；2②辅助角公式：asinbcosb2sin(由a,b具体的值确定）；③正切公式的变形： tantantan()(1tantan).4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数ycosx,y（一）列表综合三个三角函数ycosx,ytanx的图象与性质，并挖掘:⑴最值的情况;⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求Asin(x）的周期，或者经过简单的恒⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求Asin(x）的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况⑶会从图象归纳对称轴和对称中心;ysinx的对称轴是xk—（kZ）,对称中心是（k,0）（kZ）；2

ycosx的对称轴是xk（kZ）,对称中心是（k-,0）（kZ） k—ytanx的对称中心是（万,0）（kZ）注意加了绝对值后的情况变化.⑷写单调区间注意 0.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数yAsin（x）的简图，并能由图象写出解析式.⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式yAsin（x）时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式为—.（三）正弦型函数y（三）正弦型函数yAsin（x）的图象变换方法如下:先平移后伸缩ysinx的图象ysinx的图象向左（>0）或向右（0）

平移||个单位长度得ysin（x得ysin（x）的图象横坐标伸长（0<<1）或缩短（>1）

i到原来的」（纵坐标不变）得ysin（x得ysin（x）的图象纵坐标伸长（A1）或缩短（0<A<1）

为原来的A倍（横坐标不变）得yAsin（x得yAsin（x先伸缩后平移向上（k0）或向下（k0））的图象 平移卜个单位长度）得yAsin（x得yAsin（x先伸缩后平移向上（k0）或向下（k0））的图象 平移卜个单位长度）k的图象.ysinx的图象纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）

为原来的A倍（横坐标不变）得yAsinx的图象横坐标伸长（0 1）或缩短（1）1到原来的1（纵坐标不变）得yAsin（x）的图象向左（0）或向右（0）平移一个单位得yAsinx(x)的图象向上（k0）或向下（k0）

平移|k|个单位长度5、解三角形I.正、余弦定理⑴正弦定理 —a— △——sinAsinBsinC得yAsin（x）k的图象.2R（2R是ABC外接圆直径）注：①a:b:csinA:sinB:sinC；注：①a:b:csinA:sinB:sinC；②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；③abc abcosinAsinBsinCsinAsinBsinC⑵余弦定理：a2b2⑵余弦定理：a2b2c22bccosA等三个；注：cosA,2 2 2bca号人 等三个。2bcn。几个公式：⑴三角形面积公式:SABC1.1,「

-ah-absinCp(pa)(pb)(pc),(Pbc))；SABC1.1,「

-ah-absinCp(pa)(pb)(pc),(Pbc))；⑵内切圆半径r=2sABC；abc外接圆直径a2R= sinAJsinBsinC⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法:力 ABC中，ABsinAsinBm.已知a,b,A时三角形解的个数的判定:其中h=bsinA,⑴A为锐角时：m.已知a,b,A时三角形解的个数的判定:其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a<h时，无解；②a=h时，一解（直角）b时，一解（一锐角）三、考点剖析o⑵A为直角或钝角时：①考点一：三角函数的概念【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制， 任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化， 会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法,终边相同角的表示方法， 由三角函数的值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法,终边相同角的表示方法， 由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。【命题规律】在高考中,主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。例1、（2008北京文）若角a的终边经过点R1,-2）,则度制下计算更为方便、简洁。【命题规律】在高考中,主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。例1、（2008北京文）若角a的终边经过点R1,-2）,则tan2”的值为〜 2斛：Qtan——12tan 42,tan2 ~2-1tan2 3点评：一个角的终边经过某一点， 在平面直角坐标系中画出图形， 用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。考点二：同角三角函数的关系【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系,用同角三角函数定义反复证2 2明强化记忆，在解题时要汪息 sincos1,这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。例2、(208浙江理)若cos2sinJ5,则tan=()解：由cos(B)(C)(D) 22sincos,52sin,又由sin22例2、(208浙江理)若cos2sinJ5,则tan=()解：由cos(B)(C)(D) 22sincos,52sin,又由sin22cos1,一.2可得：sin+2sin)2=1可得sincos,52sin所以，tan=sncos=2。点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题,要能想到隐含条件： sin22cos与它联系成方程组，解方程组来求解。例3、(2007全国卷理1) 是第四象限角，tan—,贝Usin12B.C.513D.513解：由tan12所以，有sincos.2sin5122例3、(2007全国卷理1) 是第四象限角，tan—,贝Usin12B.C.513D.513解：由tan12所以，有sincos.2sin5122cos是第四象限角,解得：sin13点评：由正切值求正弦值或余弦值,用到同角三角函数公式:,sintan ,cos同样要能想到隐含条件： sin22cos1。考点三：诱导公式【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立， 记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限"，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的， sin”与cos”对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中k?一+”的整数k来讲的，象限指k?一+“中，将”看作锐角时,k?一+a所在象限，如将cos(23 +a)与成cos(3?l+a),因为3是奇2 2数，则“cos变为对偶函数符号3sin，又一2+a看作第四象限角，cos(3—+a)为“+"，所以有cos(3—+2 2a)=sina。【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题， 有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。例4、(2008陕西文)sin330等于( )A321一D.A321一D.解：sin330sin(36030o)=sin30o点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。答案：-7253-例5、(2008浙江又)右sin(— )g,则cos2725TOC\o"1-5"\h\z 3 3 _ _ 2 . _ 32725解：由sin(— )一可知，cos—；而cos2 2cos 1 2(-) 12 5 5 5点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能求解。考点四：三角函数的图象和性质【内容解读】理解正、余弦函数在]0,2兀],正切函数在(-—,—)的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数yAsin(x),xR的图象，并理解它的性质：(1)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值， 且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；(2)函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；(3)函数取最值的点与相邻的与 x轴的交点间的距离为其函数的1个周期。4注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。例6、(2008天津文)设a.5sin-7, 2,bcos7，2皿-,ctan7,则( )A.abc B.acbC.bcaD.bac一 .2斛：asin,因为2一,所以02 .2 .2 ,cos sin 1tan，选D.7 4727 7 7点评：掌握正弦函数与余弦函数在[ 0,-L -]的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域： [0,1],也要掌握。TOC\o"1-5"\h\z.. ..、 .一… TT 万 ,一例7、(2008山东文、理)函数ylncosx一x—的图象是( )2 2

解:ylncosx(,)是偶函数，可排除日D,由cosX的值域可以确定.解:ylncosx(,)是偶函数，可排除日D,由cosX的值域可以确定.因此本题应选A.点评：本小题主要考查复合函数的图像识别， 充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象点评：及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。例8、(2008天津文)把函数ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动 一个单位3，、 一r一一，，， 1 、 ，， r，，…一，长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 -倍(纵坐标不变)，得到的图象所表2示的函数是( )ysin2x—,ysin2x—,xR3xysin一2ysin2x-,xR3解：ysin2x-,xR3解：ysin2xy=sinx向左平移—个单位3y=sinx向左平移—个单位3横坐标缩短到原来的-倍ysin(x-) 2ysin(2x-),故选(Q。点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法， 按照变换的步骤来求解即可。32)(x[0,2])32)(x[0,2])例9、(2008浙江理)在同一平面直角坐标系中，函数ycos(—21的图象和直线y3的交点个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)4解：原函数可化为：ycos(x3")(x[0,2])=sin；x,x[0,2].作出原函数图像,1截取x[0,2 ]部分，其与直线y -的交点个数是2个.2点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题， 学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图。考点五：三角恒等变换

【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程， 进一步体会向量方法的作用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系， 如函数的周期性，三角函数与向量等内容。【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。例10、(2008惠州三模)已知函数f(x) J3sin2xsinxcosx(I)求函数f(x)的最小正周期； (II)求函数f(x)在x0,一的值域.2解：f(x) <3sin2xsinxcosxc1cos2x.3 (I)求函数f(x)的最小正周期； (II)求函数f(x)在x0,一的值域.2解：f(x) <3sin2xsinxcosxc1cos2x.3 21sin2x21sin2x,os2x吏sin(2x.3 丁—— ⑴T2(II)•••0—2x3sin(2x23)1所以f(x)的值域为:3,232点评：本题考查三角恒等变换,三角函数图象的性质,注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。例11、(2008广东六校联考)已知向量例11、(2008广东六校联考)已知向量a=(cosAx2sin—x),b=(2xcos2,sin-)，

2(1)求ab(2)设函数f(x)ab+af(x)的最值及相应的x的值。解：(I)由已知条件： 0得:,3x x(cos(2)设函数f(x)ab+af(x)的最值及相应的x的值。解：(I)由已知条件： 0得:,3x x(cos—cos-2 2.3x,sin一

2.x

sin-)23x(cos一cos—)3x(sinsin—)

2 2.22cos2x2sinx3xx(2)f(x)2sinxcoscos2 2.3x.xsin—sin_2sinxcos2x22sinx2sinx12(sinx-)22 3 「八一,因为：0x—,2 20sinx1fmin(X) 1fmin(X) 1函数图所以，只有当： X万时，fmax(x)-,X0,或X1时，点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、象等知识。例12、(2008北京文、理)已知函数f(x)sin2XJ3sinxsin(x—)(f0)的2最小正周期为兀.(I)求3的值；(n)求函数f(x)在区间［0,2_］上的取值范围.3TOC\o"1-5"\h\z解：(I)f(x)1-cos2x-sin2x2 2一" 1… 1 sin x —cos2 x 一\o"CurrentDocument"2 2 21=sin(2x-)-.6 22因为函数f(X)的最小正周期为兀，且3>0,所以J2解得3=1.TOC\o"1-5"\h\z 一 1(n)由(I)得f(x)sin(2x—)-.6 2因为0wx<2—,3所以—<2x—<——.2 6 6…、， 1所以一w(2x—)<1.2 6一.. 1 3 3因此0wsin(2x—)-<-,即f(x)的取值范围为[0,—]6 2 2 2点评：熟练掌握三角函数的降哥，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降哥或升哥,在训练时，要注意公式的推导过程。考点六：解三角形【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式， 考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。例13、(2008广东五校联考)在/ABC中，角AB、C所对的边分别为a、b、c,且.八1 3-10tanA—,cosB 2 10(1)求tanC的值;（2）若』ABC最长的边为1,求b。解:(1)求tanC的值;（2）若』ABC最长的边为1,求b。解:(1)QcosB3.10100,B锐角,且sinBJcos2B1010xcsinBtanB-cosBtanCtan(AB)tan(AB)tanAtanBtanA?tanB（2）由（1）知C为钝角，C是最大角，最大边为c=1,QtanC1,sinC二2QtanC1,sinC二2由正弦定理：△—sinBcsinB

sinC1?里—10二2点评：本题考查同角三角函数公式， 两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。例14、（2008海南、宁夏文）如图，△AC皿等边三角形，△ABC是等腰直角三角形,/ACB=90,BD交AC于E,AB=2（1）求cos/CBE的值；（2）求AE解：（I）因为/BCD所以/CBE15°.90o60o150解：（I）因为/BCD所以/CBE15°.90o60o150o,CBACCD,所以cos/CBEcos(45oo.30)(n)在AABE中，AB2,由正弦定理 AEsin（45o拓2sin30o故AE 丁cos1515o)1222_ o_o、sin(9015)30度，30度，60度，推导15度，75度的点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角45度,三角函数值，在用正弦定理时，注意角与它所对边的关系。例15、（2008湖南理）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东45o且与点A相距40近海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点 A北偏东45o+45o+（其中sin=—26,0o26（I）求该船的行驶速度（单位：海里（II）若该船不改变航行方向继续行驶90o）且与点A相距10而海里的位置C/小时）；.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由解：⑴如图，AE=4072,AC=10/i3,BAC,sin.26"26~由于0o90oBAC,sin.26"26~由于0o90o,所以cos=5.2626it由余弦定理得BC=.AB2—AC2—2AB?ACgcos-10.5.所以船的行驶速度为