基于高考全国卷的空间角和距离求解策略 课件

基于高考全国卷的空间角和距离求解策略扬州大学附属中学高建国1.导语立体几何是高中数学的主干知识，承载着培育学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算等核心素养的育人功能。立体几何的知识呈现是从认识多面体与旋转体的结构特征出发，聚焦点、直线、平面的位置关系，落脚在点、线、面位置关系的判定、空间角与距离的计算以及表面积和体积的计算．1.1立体几何学业水平一要求

内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系。

本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。

1.2立体几何学业水平二要求

能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法，借助图形性质探索数学规律，解决实际问题成数学问题；能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，运算求解。

本单元的学习，可以帮助学生体会平面向量和空间向量的共性和差异，运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。空间角和距离是最基本的两个几何量,空间图形中各元素间的位置关系都可以用这两个几何量来定量描述.因此,有关空间角和距离的计算,是立体几何的一类重要问题,是历年来高考考查的重点。

1.3空间角和距离综合法——作图、证明、解三角形；

向量法——建系，求坐标，向量运算。综合法——少算多想，直观想象素养要求高；

向量法——多算少想，数学运算素养要求高。2.异面直线所成角

异面直线所成角是空间角中相对容易的一种类型，全国卷中异面直线所成角的考查不多见，难度中等。2.1异面直线所成角的求解方法方法综合法平移法中位线平移法补形法向量法2.2解决关键——妙选点、作平（行）线平移法补形法补形法，则凸显了对基本图形的深刻理解，体现了数学建模思想和意识。2.3教学启示立体几何的教学要以特殊模型为载体，注重核心素养的渗透，在直观想象素养方面下功夫。通过多角度的变式探究，帮助学生体会并挖掘问题的本质，强化几何体的切割与补体思想，在切与补的过程中感悟几何体间的逻辑联系．2.线面角

线面角的难度介于异面直线所成角与二面角之间，全国卷中线面角的考查比较普遍。线面角的考查遵循了由“能力立意”转为“素养立意”的大势所趋，命题者正在不断地探索试题如何体现“素养立意”2.1线面角的考查趋势——从能力走向素养2.2线面角的求解方法线面角求法综合法斜线与射影所成角点面距与斜线长比值向量法研究方向向量与法向量所成角2.3线面角的求解注意点——两条腿走路向量法综合法2.4教学启示以素养立意命制的题目,思维的含金量一定会更高一些,题目的入口也会更窄一些.高考命题的方向“多考一点想,少考一点算”。立体几何综合题“空间想象”是起点,而“分析解决”是落脚点.立几教学时要关注两点:一是要发展几何直观与空间想象能力,建立数与形的联系;二是能通过分析与想象,思考和解决具体问题,在具体事物中感悟事物的本质.3.二面角全国卷中二面角的考查最为普遍，难度最大。二面角处理方法的不同，对应逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养的水平不尽相同．若用综合法，则凸显直观想象素养；若用建立空间直角坐标系的代数法，则凸显数学运算素养，若两者结合，则可以全面考察学生的数学核心素养水平．3.1二面角——向量法3.2二面角——综合法3.3二面角——向量法与综合法综合3.4二面角教学的注意点二面角的考查经典的体现了“考知识，重推理，注运算，显素养”的命题原则，全国卷中二面角的求法主要是向量法，但这并不意味着只需要一味的机械训练向量法，综合法同等重要！用综合法解决二面角问题可以有效培养学生的空间想象能力与逻辑推理能力，这对于解决立几复杂问题显得尤为重要。要帮助学生多角度,多方位思考、训练。3.5二面角的复习策略1、渗透二面角综合法的各种解决方法，发展直观想象素养。三垂线法定义法射影面积法基向量法垂面法3.5二面角的复习策略2、重视向量法的过程性教学，提高数学运算素养水平。向量法的前提是求对坐标向量法的核心价值是向量的运算向量法的关键是要算对、快算，巧算3.5二面角的复习策略3、重视“基本图形”的作用，循序渐进地发展逻辑推理素养

重视基本图形的作用，立足从“基本图形”到“变式图形”再到“综合图形”，尤其要特别关注长方体这一最基本的立体图形；重视“三种语言”—文字语言、符号语言、图形语言之间的灵活转换．文字语言有助于记忆，符号语言有助于推理过程的正确书写，图形语言有助于从复杂问题情境中提取定理的基本模型，从而发展逻辑推理的数学素养．4.距离空间距离包括点面距、线面距、面面距、异面直线间距离等问题，全国卷主要考查点面距离的求法，考查形式主要是以求体积的形式考查，涉及距离求法时难度不大，但距离本身所在的题目难度有难有易。4.1直接考查距离的求法图要自己画4.1直接考查距离的求法定义法向量法还可以用等积法4.2距离的间接考法——求体积几何体的高——点面距4.2距离的间接考法——求体积距离、体积、函数综合，导数是重点4.3距离教学的注意点距离很多种，点面距是重点。定义法是距离最常见的求法（不是等积法）。向量法求距离不作要求，但可以适度补充。关注距离与函数导数的结合多角度、多题型练习距离的求法。5总结

（1）立体几何的教学是“全新的挑战、难得的机遇”

不仅要关注平行与垂直的证明（水平一），更要关注角和距离的计算求解（水平二，面向高考）；

不仅要关注逻辑推理的教学，更要关注直观想象（综合法）、数学运算（向量法）等素养的培育；5总结

（2）空间角和距离的求法层次明显，教学时需要分层，因人而异，因校而异，因文理科而异；

（3）角和距离的求法可以培养逻辑推理能力，可以发展空间想象力（空间观念），同时更要认识