谈解析几何定点定值问题的解题策略（崔志荣）-课件

谈解析几何定点定值问题的

解题策略东台市安丰中学崔志荣一、考情分析1.江苏卷自2013年起一直未考查定点定值问题；2.全国卷定点定值问题的考查具有不确定性。（1）年份不确定，如2018年未考查。（2）卷类不确定，如2020年山东卷、Ⅰ卷考查；Ⅱ卷、Ⅲ卷未考查。3.这一类问题能很好地体现解析几何的本质，还能综合考查学生的运算处理、转化化归、图形分析、推理论证等能力，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高。策略一：先猜后证猜从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论；证分析法（说明：可作为证明方法，也可作为寻找证明方法的手段）例1：已知A，B是椭圆的左右顶点，直线MN过点C（1,0）交椭圆与M，N两点，记直线AM、BN的斜率分别为k1、k2，求证：k1/

k2为定值.

设M（x1,y1），N（x2,y2）当直线MN斜率存在时，设直线MN：y=k（x-1）与椭圆联立得韦达定理，又k1/

k2？

NMABxyC事实上，可先讨论斜率不存在这种情况，得k1/

k2

再用分析法证明，要证：k1/

k2，即要证：，

即证：，韦达定理代入即可证明。小结：1.设直线方程通常先考虑特殊情况，再证明这个点（值）与变量无关，可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的证明题，从而找到解决问题的突破口；2.分析法是不少证明问题的有效方法，对一些定点定值问题的证明也行之有效，能达到事半功倍的效果。例2：已知椭圆C：上一点A（2，1），点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．设M(x1,y1),N(x2,y2),类似例1设直线MN方程与椭圆联立，由垂直得：

？

NMxAyD能不能特殊化先得Q点？１.直线ＭＮ斜率为０，可得；２.直线ＭＮ斜率不存在，可得；３.当点Ｎ无限接近点Ａ，此时点Ｄ接近点Ａ，即；由此可得，推理分析

要DQ为定值，考虑AD垂直于MN，连AQ交MN于E，只需Q为AE中点即可。此时，这说明直线MN过定点E，即，所以含有因式。其实，若直线MN过点A，“也满足AM垂直于AN”，的另一个因式这就完成了因式分解，再结合上述分析，则能顺利完成解答。

小结：1.特殊化的猜想策略都熟悉，但到具体问题中未必能用，加强教学引导仍有必要；2.定点定值猜想出之后，不一定要用分析法写过程，但学生的推理分析能力，还要在教学中逐步提升。策略二：对称分析例3：已知A，B分别为椭圆E：的左、右顶点，G为E的上顶点。P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。证明：直线CD过定点。本题思路方法简单，设点P的坐标，求出C，

D两点坐标，由直线方程的化简得定点。难在直线CD方程的化简。

设，则，

要避免运算的繁杂。一：可以考虑先猜后证的手段；二：除考虑特殊情况外，还可从图形的对称性入手，若存在定点，定点一定在x上。设定点M（m，0），则由，所以，求出m即可。小结：直线过定点问题，仔细分析图中的点线位置关系，善于把握问题的特定信息，挖掘隐含条件（如对称性、特殊性、很多情况是定点在坐标轴上等）然后证明，目标会更明确。策略三：直觉分析

例4：设A，B是椭圆C：上两动点，且，点P满足，是否在常数和平面内两定点M、N，使得点P满足？

直觉可知，点P存在，且点P所在椭圆与椭圆C相似，也即离心率相等。设A（x1,y1),B（x2,y2),则P(x1＋x2，y1＋y2)，所以再由和为18，可得结论。小结：

命题者绞尽脑汁发现的结论，而后命制的考题，我们虽不能立即看透其本质，但有些情况，结论是显然的，只要我们大胆预