微积分学课件：1-3a 函数极限概念和性质

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第三节函数极限一、函数极限的概念二、函数极限的性质三、函数极限存在的准则五、两个重要极限四、无穷小量、无穷大量、阶的比较

一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.1、定义：2、几何解释:例证例：证明因这个不等式相当于或由此可知,如果取那么当时,不等式成立,证毕.直线y=0是函数的图形的水平渐近线.证要证当时,不等式成立.

3、

时,函数

的极限

对函数，当取正值且无限增大时，函数值无限趋近于常数A,则称当时，函数以A为极限。记作:对于任意给定的正数,总存在正数X,当x>X时，恒有则称当时，函数以A为极限。定义：

几何解释:)2(y.,,fe=>y的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时当=AxXx4、

时,函数

的极限记作:对于任意给定的正数,总存在正数

X,当

x<－X时，恒有则称当时，函数以A为极限。

对函数，当取负值且无限增大时，函数无限趋近于常数A,则称当时，函数以A为极限。

定义：例：不存在．例：设求解：结论：由图容易看出：分析

需要证明之处例:证明：证明：二、自变量趋向有限值时函数的极限

1）2）表示时有无极限与

有无定义没有关系.3）任意给定后，才能找到，依赖于，且越小，越小.4）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.

几何意义

如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ邻域(x0-δ,x0+δ),当x在邻域(x0-δ,x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间。

例证例证例证函数在点x=1处没有定义.例证

例:证

例：证明：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在，并且等于函数在该点处的值。结论２．单侧极限:例如,左极限右极限左右极限存在但不相等,例证

例函数当时的极限不存在.证当时的左极限而右极限因为左极限和右极限存在但不相等,所以不存在.yOx-11例:讨论函数在处的极限.证.所以

小结注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限.证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等小结函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后

函数极限的性质二、1、唯一性证:注意：局部有界性3.不等式性质定理(保号性)推论:4.四则运算法则设则有：法则1.

法则2.法则3.推论1.推论2.注意

法则1和法则2均可推广到有限个变量的情形.结论例.求解一般,设例.求(注:对于有理分式函数,首先要验分母极限是否为零.)解

一般，设有理分式函数是多项式若则结论一般，例．例.求解：

例解将分子、分母同乘以因子(1-x),则5.复合函数求极限法则（1）若满足即函数符号与极限符号可以交换顺序.则说明设函数是由和复合而成（2）若满足且在内则变量替代法

且在内证明：证毕例解

一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数

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