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第一节数项级数的基本概念第六章级数一.数项级数的概念二.数项级数的基本性质级数这一概念,我们在中学中就已涉及过：一、级数的概念1.级数的定义:(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和2.级数的收敛与发散:余项无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．瑞典数学家Koch“从初等几何构造的一条没有切线的连续曲线”。Koch曲线是连续的，但是处处不可导的。

观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放周长为面积为第次分叉：于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．解

收敛

发散

发散

发散

综上解例解二、基本性质结论:

级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:

收敛级数可以逐项相加与逐项相减.分别为sn、sn、tn，则

因为等比级数所以级数例：

一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？是发散的

两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？不一定证明

类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.结论：在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛散性不变。证明注

在级数运算中,不能随意加上或去掉括号,因为这样做可能改变级数的敛散性.8项4项2项2项

项由性质4的逆否命题,调和级数发散.例证明讨论证明级数收敛的必要条件:三、收敛的必要条件1.逆命题不成立（必要条件不充分）.注2.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散

发散余项定理(级数收敛的柯西准则)：级数收敛的充要条件是:观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一

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