大学 线代 1-1行列式定义性质与计算课件

2010-2011第二学期线性代数任课教师：孔德洲部门：信息学院办公室：文理大楼719室E-mail：kdzhou@上课注意事项1.作业2.纪律一周交一次，全交抽查，发现问题统一讲禁止旷课、迟到、早退上课禁用手机不能全批改，学校规定至少批改1/3点名每周第一次上课交上一周的作业，交时各班的课代表按学号有小到大的次序排好。线性代数课程是高等学校理工农科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。通过本课程的学习，要使学生获得：

线性代数课程的性质与任务第一章、行列式第二章、向量与矩阵第三章、线性方程组第四章、矩阵的对角化与二次型等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

矩阵

§1.1阶行列式的概念§1.2行列式的性质与计算§1.3Cramer法则第一章行列式第一章行列式1.1二三阶行列式

考虑用消元法解二元一次方程组

(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21

(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2第1节行列式的概念用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得

同理，消去x1得当时，方程组的解为二阶行列式

当时，方程组的解为为便于叙述和记忆，

引入符号D=D1=称D为二阶行列式.按照二阶行列式定义可得D2=于是，当D≠0时，方程组的解为三阶行列式

求解三元方程组用消元法解得25431是一个5级排列.如，3421是4级排例；

例1．写出所有的3级全排列.

解：所有的3级排列为：321.312，231，213，132，123，1.2排列n个自然数1,2,…,n按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个n级排列，记为i1i2…in.显然，n级排列共有个n!.其中，排列12…n称为自然排列.1.1.2奇排列与偶排列逆序及逆序数

定义1在一个级排列i1i2

in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ(i1i2

in).逆序数是奇数的排列，称为奇排列.逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列.

如3421是奇排列，1234是偶排列，因为τ(3421)=5.因为τ(1234)=0.定理

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个.(一次对换改变排列的奇偶性).（a，b）（a，b）邻换对换证明思路：由特殊推一般…m次邻换m+1次邻换…

定义3符号称为n阶行列式，元素aij列标行标1.3n阶行列式n阶行列式定义副对角线主对角线注行列式的行数与列数必须相同.1.3n阶行列式n阶行列式定义D=D1==a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

1)n阶行列式共有n!项，正负项各占一半.

n个元素的乘积.(2)在行列式中,项是取自不同行不同列的行列式有时简记为|a

ij|.一阶行列式|a|就是a.

=说明：其中排列j1

j2

jn要取遍所有n级排列.之前的符号是(3)项在乘积a14a23a31a44a14a23a31a44

a14a23a31a42

a14a23a31a42例如，四阶行列式a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

(-1)τ(4312)

a14a23a31a42为行列式中的一项.

表示的代数和中有4!=24项.

a14a23a31a42取自不同行不同列,的列标排列为4312所以它不是行列式中的一项.中有两个取自第四列的元素，(为奇排列)，

例2．计算n阶下三角形行列式D的值其中aii0(i=1,2,

,n).D=a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)τ(12n)a11a22a33ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第n行只能取ann.

，

这样不为零的乘积项只有a11a22a33ann，所以=a11a22a33ann.

例3．计算n阶下三角形行列式D的值：D=00…0bn………bn-1*00…**b1*…**0b2…**

解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)τ(nn-121)b1b2b3bn第一行只能取b1，第n-1行只能第二行只能取b2，第n行只能取bn.

，

这样不为零的乘积项只有b1b2b3bn，所以取bn-1，副对角线的下三角形副对角线的下三角形行列式的值：副对角线的上三角形行列式的值：副对角线的对角形行列式的值：结论：

00…0bn………bn-1*00…**b1*…**0b2…****…*bn………bn-10**…00b10…00*b2…0000…0bn………bn-1000…00b10…00

0b2…00将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT(Transpose)或D.即如果2.1行列式的性质a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann

…………

DT

=则.第2节

行列式的性质与计算显然，(DT)T=D.行列式的转置

性质4

若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

=性质5

将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

a11…ai1+kaj1…an1a12…ai2+kaj2…an2a1n…ain+kajn…ann……………=.+a11…bi1…an1

a12…bi2…an2

a1n…bin…ann

……………

.行列式的计算要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示；3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.1)交换行列式的第i行与第j行，用表示；例1.

计算行列式解：=-85.例3.

计算行列式解：

将各行都加到第一行，从第一行提取（x