2021年北京新高考数学复习练习讲义：4.4 解三角形

4.4解三角形

探考情悟真题

【考情探究】-hz1—考点内容解读1.正弦、①理解正弦定理考题示例2019北京文,15与余弦定理的推余弦定导过程2016北京,15理的应②掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三2016北京用角形度量问题文,132.解三能够运用正弦定2015北京,12角形的理、余弦定理等知2015北京识和方法解决一文,11综合应些与测量和几何2018北京计算有关的实际文,14用问题2017北京,155年考情预测热度考向关联考点运用正弦定理、余三角恒等变换弦定理解三角形三角恒等变换、三角函数的性★★★运用余弦定理解质三角形换元法,解二次方程运用正弦定理、余二倍角公式弦定理解三角形运用正弦定理解三角形中“大边三角形对大角”★★☆运用正弦定理、余三角恒等变换弦定理解三角形分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关的量的问题时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.在高考中常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.破考点练考向【考点集训】考点一正弦、余弦定理的应用（2020届北京二中开学考试,5）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则"a〉b”是"cos2A〈cos2B”的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件答案C（2020届北京东直门中学期中,16）在厶ABC中工=7,$山。=泌.5（1）若cosB=答案2或2V3(2018北京东城期末答案2或2V3(2018北京东城期末,12)在△ABC中，a=5,c=7,cosC=1,则b=,△ABC的面积7（2）若a+b=11，求△ABC的面积.解析（1）在厶ABC中，cosB=5,7•sinB=V1-cos2B=2^为.为.答案6;6V67Vc=7,sinC=2V6,5(2)在厶ABC中，a2+b2屮22•cosC="2+“2-c2〉0,°.°sinC=2^6,AcosC=x,2ab55又c2=a2+b2—2abcosC=(a+b)2—2ab—2abcosC,a+b=11,c=7,•72=112—2ab—2ab,・：ab=30,5•••AABC=1abSinC=2X30X2^=6V6-考点二解三角形及其综合应用（2020届北京八一学校开学考试，11）在△ABC中，a=1,b=护，且△ABC的面积为血，则2c=(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一垂直于路面的山顶D侧一垂直于路面的山顶D在西偏北30。的方向上，行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏(2020届山东夏季高考模拟,18)在厶ABC中,ZA=90°，点D在BC边上.在平面ABC内，过D作DF丄BC且DF=AC.若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求ZABC;若ZABC=45°，且BD=3CD,求cosZCFB.解析⑴因为CD=BD,所以CD=1bc.2由题设知DF=AC,1CD-DF^AB・AC,因此CD=AB.22所以AB=1BC,因此ZABC=60°・2⑵不妨设AB=1,由题设知BC=V2.由BD=3CD得BD=3血,CD』2.44由勾股定理得CF』,BF=血.449173J234』、匸Y"Vu*442x51炼技法提能力由余弦定理得cosZ3J234』、匸Y"Vu*442x51炼技法提能力方法集训】方法1三角形形状的判断设厶ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,贝仏ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定答案A在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小；⑵若sinB+sinC=V3,试判断△ABC的形状.解析(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cos人丿+心二1,2bc2因为0°〈A〈180°,所以A=60°.(2)因为A+B+C=180。，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=V3,得sinB+sin(120°-B)=V3,所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=V3.所以3sinB+^cosB=V3,即sin(B+30°)=l.22因为0°〈B〈120°,所以30°〈B+30°〈150°.所以B+30°=90°,即B=60°.所以A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.方法2解三角形的常见题型及求解方法（2018北京朝阳二模,4）在厶ABC中，a=l,ZA=n,ZB=n,则c=（）64TOC\o"1-5"\h\zAV6+V2bV6-V2c丁6dV2222答案A（2020届北京陈经纶中学开学考试,10）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=6,a=2c,B=n,则厶ABC的面积为.3答案6V3（2018北京石景山一模,12）在△ABC中，ZA=60°,AC=4,BC=2V3，则△ABC的面积等于.答案2V3（2019北京丰台二模文,14）在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,sinB=sin2A.亠的值为；cos^若a>c,则b的取值范围是.答案①6②（3,3V2）（2020届北京人大附中开学考试，11）在△ABC中，a=3,b=Vl3,B=60°,则c=;△ABC的面积为.22答案4;3V3&（2019北京西城一模,15）在厶ABC中，已知a2+c2-b2二mac,其中mGR.⑴判断m能否等于3,并说明理由；（2）若m=T,b=2V7,c=4,求sinA.解析（1）m不能等于3•理由如下：当m=3时,由题可知a2+c2-b2=3ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得cosB二以+以-屏=3,Zac2这与cosBG[-1,1]矛盾，所以m不可能等于3.⑵由（1）得cosB=m=-1,所以B=^.223因为b=2V7,c=4,a2+c2-b2=-ac,所以a2+16-28=-4a,解得a=-6（舍）或a=2.在厶ABC中,由正弦定理，得sinA二曲皿=-^X^3=^21.b2V7214【五年高考】A组自主命题•北京卷题组（2015北京，12,5分）在厶ABC中，a=4,b=5,c=6,则皿=sinC答案（2018北京文,14,5分）若厶ABC的面积为厶@+。2七），且/C为钝角，则/B=严的TOC\o"1-5"\h\z4a取值范围是.答案n；（2,+8）3（2016北京文,13,5分）在厶ABC中,ZA=^,a=V3c,则生c答案（2015北京文,11,5分）在厶ABC中，a=3,b=V6,ZA=^,则ZB=3答案n4（2019北京文，15,13分）在厶ABC中，a=3,b-c=2,cosB=-\(1)求b,c的值;⑵求sin(B-C)的值.解析本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力,以求三角形的边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2X3XcX(-1).因为b=c+2,所以(c+2”=32+c2-2X3XcX(-丄).解得c=5.所以b=7.(2)由cosB=-1得sinB二迓22由正弦定理得sinA^sinB=3^3.b14在厶ABC中,B+C=n-A.所以sin(B+C)=sinA=3^3.14(2018北京，15,13分)在厶ABC中，a=7,b=8,cosB=-丄.7⑴求/A;(2)求AC边上的高.解析⑴在厶ABC中,因为cosB=t,所以sinB=V1-cos2B=^.77由正弦定理得$山人=皿=厶.b2由题设知n<ZB<n，所以0〈/A〈n.22所以/A=n.3(2)在厶ABC中，因为sinC二sin(A+B)二sinAcosB+cosAsinB=3^3,14所以AC边上的高为asinC=7X3^3=3^3.142方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.(2017北京，15,13分)在厶ABC中，上A=60°,c=3a.7(1)求sinC的值;(2)若a=7,求厶ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.⑴在厶ABC中，因为上A=60°,c=3a,7所以由正弦定理得sinC=csinA=3X^3=3^3.a7214⑵因为a=7,所以c=3X7=3.7由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2bX3X1,2解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=xbcsinA=1X8X3X^3=6V3.222解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.&(2016北京，15,13分)在厶ABC中，a2+c2=b2+V2ac.求/B的大小；求V2cosA+cosC的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cosBfZ+c2"2^^二还.Zac2ac2又因为0〈ZB〈n,所以/B=n.4(2)由(1)知/A+ZC=3n.4V2cosA+cosC=V2cosA+cos(3n-A)=V2cosA-%osA+边sinA22二辺cosA+辺sinA二cos(4-n).224因为0<ZA<3n,4所以当ZA=n时,V2cosA+cosC取得最大值1.4思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理以及三角恒等变换将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,即可得出答案.评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.B组统一命题、省（区、市）卷题组考点一正弦、余弦定理的应用（2019课标全国I文，11,5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinTOC\o"1-5"\h\zB=4csinC,cosA=-1,则h=（）cA.6B.5C.4D.3答案A（2018课标全国11,6,5分）在厶ABC中，cosd忑,BC=1,AC=5,则AB=（）25A.4V2B.V30C.429D.2V5答案A（2019浙江，14,6分）在厶ABC中，上ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若上BDC=45°,贝卩BD=,cosZABD=.答案12V2;7V2510（2019课标全国II文，15,5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.答案3n4（2018浙江,13,6分）在厶ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=47,b=2,A=60°,则sinB=,c=.答案五；37（2016课标11,13,5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=4,cosC二豆,a=1,13则b=.答案2113（2019课标全国111,18,12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin狂dbsin2A.（1）求B;（2）若厶ABC为锐角三角形，且c=1,求厶ABC面积的取值范围.解析本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.由题设及正弦定理得sinAsin^M二sinBsinA.2因为sinAzO,所以sin4+c=sinB.2由A+B+C=180°,可得sinj4+c=cos-e,22故cos£=2sin£cos£・22因为cos^hO,故sinH=1,因此B=60°・222⑵由题设及⑴知厶ABC的面积沐ARc=v3a.△ABC4由正弦定理得a=£SinA=sin(120°-c)^^^+1.sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0°〈A〈90°,0°〈C〈90°.由(1)知A+C=120°,所以30°〈C〈90°,故1〈a〈2,2从而陆ABC〈乎因此,△ABC面积的取值范围是&込・82思路分析(1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B.先用正弦定理表示出边a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出△ABC面积的取值范围・&(2019天津，15,13分)在厶ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC・求cosB的值;求sin(2B+n)的值.6解析本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识・考查运算求解能力・体现了对数学运算这一核心素养的重视・(1)在厶ABC中,由正弦定理-=~^~,得bsinC=csinB,sinBsinC又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=4a,c=2a.33由余弦定理可得cos2=4捉二匹込1泌=-1.2ac2・a.；a4⑵由⑴可得sinB=V1-cos2B=^15,4从而sin2B=2sinBcosB=-^15,cos2B=cos2B-sin2B=-7,88sin(2B+n)=sin2Bcos6n+cos2Bsinn=-如X拓-7Xsin(2B+n)=sin2Bcos66828216思路分析(1)由已知边角关系3csinB=4asinC,利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理即可求出cosB.(2)由(1)利用同角三角函数基本关系，求出sinB,再由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入两角和的正弦公式即可求出sin(2B+n)的值.易错警示角B为三角形内角，故sinB>0,由cosB求sinB仅有一正解.9.(2018课标1,17,12分)在平面四边形ABCD中,ZADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.求cosZADB;若DC=2V2,求BC.解析⑴在厶ABD中,由正弦定理知皿二—l.sindLAsin^ADB故二~^,所以sinZADB』2.sin45°sindADB5由题设知,ZADB<90°，所以cosZADB=V1-^=V23.255(2)由题设及(1)知，cosZBDC=sinZADB=v2.5在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2・BD・DC・cosZBDC=25+8-2X5X2近X込=25.所以5BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则:正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.44在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.考点二解三角形及其综合应用(2018课标111,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若厶ABC的面积为丑心,4则C=()D.n6A.nD.n623答案C(2016课标III,8,5分)在厶ABC中，B=n,BC边上的高等于1BC,则cosA=(43A3/010B.A3/010B.血1010D.-血10答案C(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cosZBDC=.答案Vl5；#1024(2019课标全国1,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.⑴求A;(2)若#2a+b=2c,求sinC.解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA^U.2bc2因为0°〈A〈180°,所以A=60°.⑵由⑴知B=120°-C，由题设及正弦定理得#2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即#6+#3cosC+1sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-#2.2222由于0°〈C〈120°,所以sin(C+60°)=#2,2故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)・sin60°="6+"2・思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理求出角A的余弦值，进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式，利用角度变换求出sinC.(2019江苏,15,14分)在厶ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=“2,cosB=2,求c的值；3⑵若血二论,求sin(B+n)的值.a2b、2丿解析本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.因为a=3c,b=V2,cosB=2,3由余弦定理cosB=“2+S2,得2=(3审+/-(闵2,2ac32x3cxc即c2=1.所以c=^3.33因为皿二呷a2b由正弦定理亠=亠，得论=血,所以cosB=2sinB.sin4sinB2bb从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=4.5因为sinB>0,所以cosB=2sinB>0,从而cosB=2^5.5因此sin因此sin(B+n)=cos2(2018天津,15,13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA二acos(B-n).6求角B的大小；设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在厶ABC中，由正弦定理-^二-^,可得bsinA=asinB,sin4sinE又由bsinA二acos（B-n）,得asinB二acos（B-n）,66即sinB二cos（B-n）,可得tanB=V3.又因为BW(O,n),可得B=n.3（2）在厶ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=n,有b2二a2+c2-2accosB=7,故b=V7.由bsinA二acos（B-n）,可得sinA=^3.又a<c,故cosA=-2.\6V7曲因此sin2A=2sinAcosA=4^3,cos2A=2cos2A-1=1.所以，sin（2A-B）二sin2AcosB-cos2Asin77B=4血x1—1X^3=3^327214(2017课标1,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为亠.求sinBsinC;若6cosBcosC=1,a=3,求厶ABC的周长.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得1acsin£=-^,即1csinB=-^.23sin^23sin^由正弦定理得1sinCsinB4込.3sin4故sinBsinC=2.3⑵由题设及⑴得cosBcosC—sinBsinC=—1,2即cos(B+C)=—1.所以B+C=2n,故A=n.TOC\o"1-5"\h\z233由题设得1bcsinA=~aJ,即bc=8.23sin4由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=V33.故厶ABC的周长为3+V33.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得1acsinB=»J，然后利用正弦定理，把边转化23sin4成角的形式，即可得出sinBsinC的值；⑵首先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcosC=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值，进而得出△ABC的周长.

方法总结解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算例如:将1csinB=-^变形为1sinCsinB=sin^.23sin423sin4⑵三角形面积公式:S=1absinC=1acsinB=1bcsinA.222⑶三角形的内角和为n.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用，例如：在△ABC中，sin(B+C)=sinA.&(2016课标1,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;⑵若c=V7,△ABC的面积为3^，求厶ABC的周长.2解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.可得cosC=1,所以C=n.23⑵由已知，得1absinC=^.又C=n,所以ab=6.223由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25..°.a+b=5.所以△ABC的周长为5+V7.(2015课标11,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分/BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.sin朋；sintUC⑵若AD=1,DC=^2,求BD和AC的长.2解析(1)Sa=1AB^ADsinZBAD,△ABDSa=1AC^ADsinZCAD.△ADC2因为S=2S,ZBAD=ZCAD,所以AB=2AC.△ABD△ADC由正弦定理可得昨=汕=1.sintUC233所以bd=V2.⑵因为S△⑵因为S△ABD:S=BD：DC,△ADC在厶ABD和厶ADC中，由余弦定理知AB2二AD2+BD2—2AD・BDcos,ADB,AC2二AD2+DC2—2AD・DCcos,ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由（1）知AB=2AC，所以AC=1.C组教师专用题组考点一正弦、余弦定理的应用TOC\o"1-5"\h\z（2013北京文，5,5分）在厶ABC中，a=3,b=5,sinA=],则sinB二（）3A.1B.5C.屆D.1593答案B（2017山东,9,5分）在厶ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若厶ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是（）A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A（2016天津,3,5分）在厶ABC中，若AB=V13,BC=3,ZC=120°,则AC=（）A.1B.2C.3D.4答案A（2015天津,13,5分）在厶ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3V15,b—c=2,cosA=-丄,则a的值为.4答案8（2015广东,11,5分）设厶ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=V3,sinB=1,C=n,则26b=.答案（2014北京，12,5分）在厶ABC中，a=1,b=2,cosC^1,则c=;sinA=4答案2;忑8（2012北京文,11,5分）在厶ABC中,若a=3,b=V3,ZA=n,则ZC的大小为.答案&（2012北京，11,5分）在厶ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=-丄，则b=4答案（2011北京,9,5分）在厶ABC中,若b=5,ZB=n,tanA=2,则sinA=;a=.4答案2^;2V105（2015安徽，16,12分）在厶ABC中,ZA=3n,AB=6,AC=3^2，点D在BC边上,AD=BD,求AD的4长.解析设厶ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosZBAC=（3V2）2+62-2X3V2X6Xcos3n=18+36-（-36）=90,所以4a=3V10.又由正弦定理得sinB=又由正弦定理得sinB=hsin^RAC=3二、/10a3V1010由题设知0〈B〈n,所以cosB=V1-sin2B=V1-丄二3^10.1010在厶ABD中，由正弦定理得AD=冊金斤=6sinRsin（n-2E）2sinBcosB=亠=V10.cosB考点二解三角形及其综合应用(2014江西,4,5分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若C2=(a-b)2+6,C=n,则3△ABC的面积是()A.3B.也2答案CC.也D.3V32（2018江苏，13,5分）在厶ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=120°,ZABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案(2014山东,12,5分)在厶ABC中,已知亦•AC=tanA,当A=n时，△ABC的面积为.6答案16（2014四川,13,5分）如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°=0.92,cos67°=0.39,sin37°=0.60,cos答案60(2016浙江,16,14分)在厶ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.⑴证明：A=2B;⑵若△ABC的面积S=fl2,求角A的大小.4解析(1)证明：由题意及正弦定理得sinB+sinC=2sinA^cosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,Be(0,n),故0〈A-B〈n,所以B=n-(A-B)或B=A-B,因此A=n(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S二也得1absinC二以,故有sinBsinC=1sin2B=sinBcosB.又sinB^O,所以sinC=cosB.4242因为B,CE(0,n),所以C=n±B.2当B+C=n时,A=n;当C-B=n时,A=n.2224综上,人=口或巴24(2014湖南，18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=V7.(1)求cosZCAD的值；(2)若cosZBAD=-^,sinZCBA=V21,求BC的长.146解析（1）在厶ADC中，由余弦定理得coszcad=^+a^^=7+1-4=2V7.TOC\o"1-5"\h\z2AC^AD2^77(2)设zBAC=a,则a=zBAD—zCAD.因为coszCAD=M,cosZBAD=—A714所以sinzCAD=V1-cos2囹CAD二"1-(也)二如,77sinzBAD=V1-cos2囹BAD="1-(-広)2=3"21.1414于是sina=sin(zBAD—zCAD)二sinzBAD・coszCAD—coszBAD・sinzCADXVXV21=V372=3^21X14在厶ABC中，由正弦定理,得皿=一^sin优sintUCE^故bc二込皿止兽=3.6(2014北京,15,13分)如图，在△ABC中,zB=n,AB=8,点D在BC边上，且CD=2,coszADC=137求sinzBAD;求BD,AC的长.解析⑴在厶ADC中,因为coszADC=1,7所以sinzADC=4"3.7所以sinzBAD=sin(zADC—zB)=sinzADCcosB—coszADCsinB=4"3x1—1X"3=3"3727214(2)易知sinzADB=sin(n—zADC)=sinzADC=4"3,在厶ABD中，由正弦定理得73"3BD二力E・sinUEMD二8X14=3sinU^DE4"37在厶ABC中,由余弦定理得AC?二AB2+BC2-2AB・BC・cosB=82+52—2X8X5X1=49.2所以AC=7.思路分析⑴先得到sinzADC的值和ZBAD之ADC-ZB,再用两角差的正弦公式求值.（2）在厶ABD中利用正弦定理求BD,然后在△ABC中利用余弦定理求AC.评析本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.【三年模拟】一、选择题（每小题5分,共10分）TOC\o"1-5"\h\