2022年秋高中数学第四章数列培优课数列的求和课后习题新人教A版选择性必修第二册

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8.已知数列an=(2n-1)3n-1的前n项和为Sn,则S20=.

9.(2021黑龙江哈尔滨三中高三模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数,例如:[2.3]=2,[-1.5]=-2.在数列{an}中,an=[lgn],n∈N*.记Tn为数列{an}的前n项和,则T2021=.

10.已知等差数列{an}满足a5=9,a2+a6=14.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=an+qan(q>0),求数列{bn}的前n项和Sn.11.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列1a2n-1a关键能力提升练12.(2021山东枣庄高二期末)数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+5n+6,n∈N*,则{bn}的前10项之和为()A.413 B.513 C.839 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an+2Sn-1=n,则S2021的值为()A.1008 B.1009 C.1010 D.101114.(2021江西九江高二期中)数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2(n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn,则S10等于(A.1255 B.1-1210C.1-129 D.126615.(多选题)已知数列{an}为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记bn=anqan(q≠0,且q≠1),则{bn}的前n项和可以是(A.nB.nqC.qD.q16.(多选题)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.记cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,数列{cA.an=2n-1 B.bn=2nC.S9=1409 D.S2n=2n2-n+43(4n-17.(多选题)(2021江苏南通高三其他模拟)在数列{an}中,若an+an+1=3n,则称{an}为“和等比数列”.设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=1,则下列对“和等比数列”的判断中正确的有()A.a2020=32020-14 B.C.S2021=32022-18 D.18.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=13,an+1+2SnSn+1=0,n∈N*,则S1S2+S2S3+…+S9S10=.19.已知函数f(x)=x-123+1,则当m+n=1时,f(m)+f(n)=,f12021+f22021+…+f20192021+f20202021的值为.

20.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n,而bn=3anan+1,Tn是数列{bn}的前n项和,则使得Tn<m20对所有n∈N*21.已知递增数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=12(a(1)求a1及数列{an}的通项公式;(2)设cn=1an+12-1,学科素养创新练22.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为.

23.(2021云南曲靖一中高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=n2+n(n∈N*),设bn=(-1)n·a2n+1an·an+1,则数列{参考答案培优课——数列的求和1.B设数列为{an},an=1+2+22+…+2n-1=1-2n1-2=2n-1,∴a1002.AS100=a1+a2+a3+…+a99+a100=-1+4-7+…+(-295)+298=50×3=150.3.D因为an=1n所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=124.A因为an=1n+n+1=n+1−n,所以其前n项和Sn=(2-1)+(3−2)+…+(n+1−n)=5.B∵f(x)=22x+1,∴f(x)+f(-x)=22x+1+22-x+1=22x+1+2·2x2x(2-x+1)=22x+1+2·2x1+2x=2(1+2x)2x6.ABD∵{an}是等差数列,∴a6+a8=30=2a7,解得a7=15.又a2=5,a7-a2=5d,∴d=2.∴an=2n+1.故AB正确;∴1an2-1=∴1an2-1的前n项和为Sn=141-12+12−13+…+1n−17.-505012-22+32-42+…+992-1002=(12-22)+(32-42)+…+(992-1002)=(1-2)×(1+2)+(3-4)×(3+4)+…+(99-100)×(99+100)=-(1+2+3+4+…+99+100)=-5050.8.19×320+1S20=1×1+3×31+5×32+…+39×319,3S20=1×31+3×32+…+39×320,两式相减得-2S20=1+2×(31+32+…+319)-39×320=1+2×3×(1-319)1-3-39×∴S20=19×320+1.9.4956当1≤n≤9时,an=[lgn]=0;当10≤n≤99时,an=[lgn]=1,此区间所有项的和为90;当100≤n≤999时,an=[lgn]=2,此区间所有项的和为900×2=1800;当1000≤n≤2021时,an=[lgn]=3,此区间所有项的和为1022×3=3066;所以T2021=90+1800+3066=4956.10.解(1)设数列{an}的公差为d,则由a5=9,a2+a6=14,得a1+4所以{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)可知bn=2n-1+q2n-1.当q>0且q≠1时,Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+(q1+q3+q5+…+q2n-1)=n2+q(当q=1时,bn=2n,则Sn=n(n+1).所以Sn=n11.解(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n由已知可得3a1故{an}的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知1a从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为Tn=12.D因为anbn=1,an=n2+5n+6,故bn=1n2+5n+6=1n+2−1n+3,故13.D由题意,当n≥2时,可得Sn-1=Sn-an,因为an+2Sn-1=n,所以an+2(Sn-an)=n,即2Sn=an+n,当n≥3时,2Sn-1=an-1+n-1,式子2Sn=an+n与2Sn-1=an-1+n-1左、右两边分别相减,可得2an=an-an-1+1,即an+an-1=1,所以a2+a3=1,a4+a5=1,a6+a7=1,…,所以S2021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2020+a2021)=1+2021-12×114.B因为数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=n-12两式相减得2n-1an=n2−n-12=12,又a1=12满足an=12n,所以an=12n(因此S10=12×(1-1210)115.BD设等差数列{an}的公差为d,又a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,所以a42=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7化简得d(d-1)=0,所以d=0或d=1,故an=1或an=n,所以bn=q或bn=nqn.设{bn}的前n项和为Sn,(1)当bn=q时,Sn=nq;(2)当bn=nqn时,Sn=1×q+2×q2+3×q3+…+n×qn,①qSn=1×q2+2×q3+3×q4+…+n×qn+1,②①-②,得(1-q)Sn=q+q2+q3+…+qn-n×qn+1=q(1-qn)1-q-n×qn+1,16.ABD设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q(q≠0),依题意有1+d+2q=7,1+2d+2q2=13,得d=2,q=2,故an=2n-1,bn=2n,故A,B正确;则c2n-1=a2n-1=4n-3,c2n=b2n=4n,所以数列{cn}的前2n项和S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=n(1+4n-3)2+417.ACa1+a2=3,a2=2,因为an+an+1=3n,所以an+1+an+2=3n+1,两式相减得an+2-an=2×3n,所以a2020=(a2020-a2018)+(a2018-a2016)+…+(a4-a2)+a2=2×(32+34+…+32018)+2=32020-14,故AS2021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2020+a2021)=1+(32+34+…+32020)=32022-18,故C正确,D错误18.17因为an+1+2SnSn+1=所以Sn+1-Sn+2SnSn+1=0,所以Sn-Sn+1=2SnSn+1,所以1Sn+1又1S1所以数列1Sn是以3为首项,2所以1Sn=3+(n-1)×2=2n+1,所以Sn=所以SnSn+1=12n所以S1S2+S2S3+…+S9S10=1213−15+15−119.22020函数f(x)=x-123+1,由m+n=1,得m-12=-n-12,所以f(m)+f(n)=m-123+1+n-123+1=2,所以当m+n=1时,f(m)+f(n)=2,令S=f12021+f22021+…+f20192021+f20202021,所以2S=f12021+f20202021+…+f20202021+f12021=2×2020,故S=f12021+f22021+…+f20192021+f20202021=2020.20.10由Sn=3n2-2n,得an=6n-5.∵bn=3an∴Tn=121-17+17-1∵121-16n+1<12,∴要使121-16n+121.解(1)当n=1时,a1=S1=12(a12+1),解得当n≥2时,Sn-1=12(an=Sn-Sn-1=12(解得an-an-1=1或an+an-1