2022年秋高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修第二册

第1课时等比数列的概念及通项公式第四章内容索引0102基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升03学以致用·随堂检测全达标课标要求1.理解等比数列的概念,理解等比中项的概念.2.掌握等比数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.3.掌握等比数列的判断与证明方法.基础落实·必备知识全过关【知识梳理】

知识点1

等比数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.名师点睛

对等比数列定义的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.(4)等比数列中的任何一项均不能为零.(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等比数列{an}的公比

(n∈N*).(

)(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数,则这个数列是等比数列.(

)2.常数列可以是等比数列吗?√×提示

各项不为0的常数列是等比数列;各项为0的常数列不是等比数列.知识点2

等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时

G2=ab.名师点睛

等比中项概念的理解(1)只有同号的两个实数才有等比中项.(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任何两个数都有等比中项.(

)(2)两个实数的等比中项有且只有一个.(

)(3)两个实数的等比中项可以小于这两个实数的任何一个.(

)2.等比中项与等差中项有什么区别?××√提示

(1)任意两个数都存在等差中项,但不是任意两个数都存在等比中项,当且仅当两数同号且均不为0时,才存在等比中项.(2)任意两个数的等差中项是唯一的,而如果两个数有等比中项,则这两个数的等比中项有两个,且互为相反数.A.1 B.-1 C.±1 D.2答案

C知识点3

等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.名师点睛已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任意等比数列都有通项公式.(

)(2)公比为负数的等比数列是递减数列.(

)(3)首项为1,公比为-1的等比数列的通项公式为an=-1n-1.(

)2.等比数列的通项公式与指数型函数有何关系?√××提示

①当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).②任意指数型函数f(x)=kax(k,a是常数,k≠0,a>0且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为ka,公比为a.重难探究·能力素养全提升探究点一等比数列通项公式的应用【例1】在等比数列{an}中,求解下列问题:(1)若a2=3,a5=,求{an}的通项公式;(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.分析先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程(组)求得a1,q,再解决其他问题.规律方法等比数列的计算(1)等比数列的基本量是a1和q,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题.解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题.(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.变式训练

1在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.探究点二等比中项及其应用【例2】(1)已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,求实数x的值.(2)已知等比数列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项.分析(1)可由等比中项的定义建立关于x的方程求解;(2)先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解.解

(1)因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.(2)因为{an}是等比数列,所以a3是a2和a4的等比中项,即

=a2a4,所以

=64,解得a3=4,从而a6=32.所以a5=a1q4=16.设a1和a5的等比中项为G,则G2=a1a5=16,所以G=±4,故a1和a5的等比中项是±4.规律方法涉及3个数成等比数列时,常利用等比中项列式求解,使用等比中项时,要注意只有同号的两个数才有等比中项,要注意根据题意选择等比中项的符号.变式训练

2在等差数列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则k=(

)A.2

B.4

C.6

D.8答案

B解析

依题意,得

=a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理得k2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去).探究点三等比数列的判断与证明【例3】已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,且lga1,lga2,lga4成等差数列,又bn=,n=1,2,3,…,则数列{bn}是不是等比数列?分析先求出数列{an}的通项公式,再求出数列{bn}的通项公式,从而判断{bn}是不是等比数列.解

因为lg

a1,lg

a2,lg

a4成等差数列,所以2lg

a2=lg

a1+lg

a4,即

=a1·a4,设{an}的公差为d,所以(a1+d)2=a1·(a1+3d)⇒d2=a1d⇒d=0或d=a1.①当d=0时,{an}为常数列且各项均为正数,所以{bn}也为常数列且各项均为正数.所以{bn}为等比数列.②当d=a1≠0时,=a1+(2n-1)d=d+2nd-d=2nd=(2d)·2n-1,即bn=(2d)·2n-1,所以{bn}为等比数列.综合①②可知,{bn}为等比数列.规律方法判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下:方法一定义法若当n≥1,n∈N*时,=q(q≠0,q为常数),则数列{an}为等比数列方法二等比中项法若

=anan+2(n∈N*),则数列{an}为等比数列方法三通项公式法若数列{an}的通项an=cqn(c,q≠0),则数列{an}为等比数列变式训练

3已知数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,令bn=,求证:数列{bn}是等比数列.证明

依题意an=3+(n-1)×2=2n+1,∴bn=52n+1,∴

=52=25.∴数列{bn}是首项为53=125,公比为25的等比数列.构造等比数列求通项公式【例4】

(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求通项公式an.(2)在数列{an}中,a1=3,an+1=,求通项公式an.分析(1)配常数;(2)取对数.探究点四构造等比数列求通项公式∴{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列.∴an+1=(a1+1)·2n-1=2n,即an=2n-1.规律方法构造新数列的技巧有些数列本身不是等差、等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差、等比数列.常见的构造方法有:(1)取倒数法;(2)配常数法;(3)取对数法;(4)配函数法等.变式训练4数列{an}满足an+1-3=4an,且a1=1,求此数列的通项公式.解

由an+1-3=4an,可得an+1+1=4(an+1),即

,又a1=1,所以a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,以4为公比的等比数列,则有an+1=2×4n-1=22n-1,即an=22n-1-1.

本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列的概念.(2)等比中项的概念.(3)等比数列通项公式的推导及应用.(4)等比数列的判定或证明.2.方法归纳:定义法、累乘法、通项公式法、方程(组)思想.3.常见误区:(1)由a,G,b成等比数列能推出G2=ab,但G2=ab不能推出a,G,b成等比数列;(2)当公比用分数、负数表示时,易忽略对公比加上括号.学以致用·随堂检测全达标1.下列数列为等比数列的是(

)A.0,1,2,4,… B.22,42,62,82,…C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,… 答案

D2.(2021天津河东高二期末)在等比数列{an}中,a3=1,a5=2,则首项a1=(

)答案

B答案

B4.(2021