最新高中新课程作业本-数学-选修2-1-参考答案

单元练习11.212.8513.y=±23x14.2315.点P的轨迹方程是x-y-2=0，点Q的轨迹方程是y=-216.〔1〕由a=3,c=2,得b=1,∴椭圆的标准方程为x23+y2=1〔2〕由y=x+m,x23+y2=1,解方程组并整理得4x2+6mx+3m2-3=0.由Δ>0,得-2＜m＜217.32或52．提示：由AB∥CD,设AB为y=x+b(b≠4)，代入y2=x，得x2+(2b-1)x+b2=0，由Δ=1-4b>0,得b<14．设A(x1,y1)，B(x2,y2),那么|AB|=2|x1-x2|=2(1-4b).又AB与CD间距离为|b-4|2，|AB|=|CB|,∴2(1-4b)=|b-4|2，解得b=-2或-6.∴当b=-2时，正方形边长|AB|=32；当b=-6时，正方形边长|AB|=5218.(1)不妨设点M在第一象限，由双曲线x2-y2=1,得a=1,b=1,c=2.∴|MF1|-|MF2|=2.∴(|MF1|+|MF2|)2=(|MF1|-|MF2|)2+4|MF1|·|MF2|＝４＋4×54=9.∴|MF1|+|MF2|=3>|F1F2|.故点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，其中a′=32,c′=2,b′=12.∴点M在椭圆x294+y214=1，即在4x2+36y2=9上〔２〕由x2-y2=1,4x2+36y2=9,解得M324,24.又点M在抛物线y2=2px上，代入方程，得18=2p·324，解得p=224，故所求的抛物线方程为y2=212x19.由y=-12x+2，x2a2+y2b2=1，消去y整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1+x2=8a2a2+4b2，x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2.设AB的中点为M(xM，yM)，那么xM=x1+x22=4a2a2+4b2，yM=-12xM+2=8b2a2+4b2.∵kOM=yMxM=12，∴2b2a2=12,即a2=4b2.从而x1+x2=8a2a2+4b2=4，x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2=8-2b2.又|AB|=25，∴1+14(x1+x2)2-4x1x2=25，即5216-4(8-2b2)=25，解得b2=4.∴a2=4b2=16，故所求椭圆方程为x216+y24=120.(1)Q(5,-5)．提示：解方程组y=12x,y=18x2-4,得x1=-4,y1=-2或x1=8,y1=4,即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB=12,得直线AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2).令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5)(2)直线OQ的方程为x+y=0,设Px,18x2-4.∵点P到直线OQ的距离d=x+18x2-42=182|x2+8x-32|,|OQ|=52,∴S△OPQ=12|OQ|d=516|x2+8x-32|.∵点Ｐ为抛物线上位于线段ＡＢ下方的点,且点Ｐ不在直线ＯＱ上,∴-4≤x<43-4，或4３-4<x≤8.∵函数y=x2+8x-32在区间［-4,8］上单调递增,∴当x=8时,△OPQ的面积取到最大值30第三章空间向量与立体几何312空间向量的数乘运算1.A2.A3.C4.①③5.256.①②③7.〔1〕AB1〔2〕NA18.MN=-12a-12b+14c9.AM=12a+12b+12c10.EF=3a+3b-5c.提示：取BC的中点G，利用EF=EG+GF求解11.提示：〔1〕由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF直接得出〔2〕EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+mk(OB-OA)=kAD+mkAB=kAC313空间向量的数量积运算1.D2.C.提示：①②③正确3.D4.-175.①②③657.提示：AC·BD′=AC·(BD+DD′)=AC·BD+AC·DD′=0812.利用PC=PA+AB+BC平方求解9.14.提示：将a+b=-c两边平方，得a·b=32，再利用cos〈a，b〉=a·b|a||b|求解10.120°.提示：利用公式cos〈a,b〉=a·b|a||b|求解112或2.提示：利用BD=BA+AC+CD两边平方及〈BA,CD〉=60°或120°314空间向量的正交分解及其坐标表示1.D2.A3.Ｃ4.-３j5.(-2,3,-5)6.M1(3，-6，9)，M2(-3，-6，9)，M3(3，6，-9)7.2，-5，-88.AE=-12DA+12DC+DD′;AF=-12DA+DC+12DD′9.提示：证明AD=2AB+3AC10.提示：假设{a+b,a-b,c}不构成空间的一个基底，那么存在x,y∈R，使得c=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,知a,b,c共面，与题设矛盾11.DM=12a+12b-c；AQ=13a+13b+13c315空间向量运算的坐标表示1.C2.C3.D4.(1,4,-1);2355.(2，4，-4)或(-2，-4，4)6.120°7.(1)(8，-1，1)(2)(5，0，-13)〔3〕-7〔4〕-158.〔1〕x=17〔2〕x=-529.［１，５］.提示：|AB|=(3cosα-2cosβ)2+(3sinα-2sinβ)2+(1-1)2=13-12cos(α-β)10.65.提示：cos〈a，b〉=a·b|a||b|=-27，得sin〈a，b〉=357，由S=|a|·|b|sin〈a，b〉可得结果11.(1)证明BF·DE=0(2)１０１０.提示：分别以DA,DC,DD′为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，利用坐标运算计算得出单元练习一1.C2.A3.C4.B5.A6.37.1538.x<-49.21310.-112AB-13AC+34AD11.13512.17+6313.90°.提示：(a+b)·(a-b)=a2-b2=014.提示：设AB=b，AC=c，AD=d，那么b2=d2，(b-c)2=(d-c)2，∴b·c=d·c，而BD·AC=(d-b)·c=d·c-b·c=0，∴BD⊥AC15.156.提示：不妨设正方体的棱长为１，分别以ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ′为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，利用坐标运算计算得出32立体几何中的向量方法〔一〕1.B2.C3.D4.相交〔但不垂直〕5.互余6.相等或互补7.-27，37，67或27，-37，-67.提示：所求单位法向量为：±AB|AB|8.-1或49.814.提示：由题意a∥u，解得x=34，y=910.12,-1,1.提示：设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1)，那么由n·AB=0且n·AC=0，解得x=12,y=-111.垂直.提示：证明n·AB=0且n·AC=032立体几何中的向量方法〔二〕1.D2.B3.C4.3，25.2π3或π36.VOBCD·OA+VOCDA·OB+VODAB·OC+VOABC·OD=07.26.提示：利用CD=CA+AB+BD，平方及CA⊥AB，AB⊥BD，CA⊥BD求解8.x=13+6cosθa.提示：利用AC′=AB+AD+AA′，再平方求解9.60°.利用AC′=AB+AD+AA′，平方求解10.a2+b2.提示：利用CD=CA+AB+BD,平方及〈CA,BD〉=120°求解11.63.提示：连结AC，AC2=(AB+BC)2=3，∴AC=3，又AA′·AC=AA′·(AB+BC)=cos60°+cos60°=1.∴cos∠A′AC=AA′·AC|AA′||AC|=13∴所求距离=|AA′|sin∠A′AC=6332立体几何中的向量方法〔三〕相等或互补5.30°6.90°72.提示：∵CD=CA+AB+BD，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l，∴CA·AB=0，AB·BD=0.又CA与BD成60°的角，对上式两边平方得出结论8.459.60°.提示：令C(-2，0)，D(3，0)，利用AB=AC+CD+DB两边平方，及AC⊥CD，CD⊥DB，〈CA，DB〉=θ求解10.155.提示：以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.可求得平面BB1D的法向量为n=(1，-1，0)，设θ是BE与平面BB1D所成的角，那么sinθ=|cos〈BE，n〉|=|BE·n||BE||n|=105.∴cosθ=15511.22.提示：以A为原点，直线AD，AB，AS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，那么依题意可知D12，0，0，C(1，1，0)，S(0，0，1)，可知AD=12，0，0=n1是面SAB的法向量.设平面SCD的法向量n2=(x，y，z).∵SD=12，0，-1，DC=12，1，0，n2·SD=0，n2·DC=0，可推出x2-z=0，x2+y=0，令x=2，那么有y=-1，z=1，∴n2=(2，-1，1).设所求二面角的大小为θ，那么cosθ=n1·n2|n1||n2|=12×2+0×(-1)+0×112222+12+12=63，∴tanθ=2232立体几何中的向量方法〔四〕1.C2.D3.B4.33a5.246.２27.4917178.33.提示：以B为原点建立空间直角坐标系，得以下坐标：B(0，0，0)，C(1，0，0)，D(1，1，0)，B1(0，0，1)，那么BD=(1，1，0)，B1C=(1，0，-1)，BB1=(0，0，1)，设与BD，B1C都垂直的向量为n=(x，y，z)，那么由BD·n=0和B1C·n=0，令x=1，得n=(1，-1，1)，∴异面直线BD与B1C的距离d=|BB1·n||n|=339.以D为原点建立空间直角坐标系，得以下坐标：D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，Pa2，0，a2，Qa2，a2，0.设n=(x，y，z)是平面EFB的法向量，那么n⊥平面EFB，∴n⊥EF，n⊥BE，又EF=(-a，a，0)，EB=(0，a，-a)，即有-ax+ay=0，ay-az=0x=y=z，取x=1，那么n=(1，1，1)，∵PE=a2，0，a2，∴设所求距离为d，那么d=|PE·n||n|=33a10.33a〔第11题〕11.(1)建立如下图的空间直角坐标系，那么D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).设F(0，0，z).∵AEC1F为平行四边形，∴AF=EC1，即(-2，0，z)=(-2，0，2)，∴z=2.∴F(0，0，2).∴BF=(-2，-4，2).于是|BF|=26，即BF的长为26(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1=(x，y，1).由n1·AE=0，n1·AF=0，得x=1，y=-14.又CC1=(0，0，3)，设CC1与n1的夹角为α，那么cosα=CC1·n1|CC1|·|n1|=43333.∴点C到平面AEC1F的距离为d=|CC1|cosα=4331132立体几何中的向量方法〔五〕1.B2.D3.A4.-１６5.３０°6.①②④7.不变，恒为90°.提示：以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易证明PN·AM恒为08.2.提示：设平面ABC的法向量为n，直线PN与平面ABC所成的角为θ，利用sin〈PN，n〉=|PN·n||PN||n|求解9.155.提示：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由先得出AD=233.易知平面AA1B的一个法向量m=(0,1,0)，设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量，BD=-2,233,0，由n⊥BF,n⊥BDn·ＢＦ＝０，n·ＢＤ＝０-x+z=0,2x-233y=0x=z,3x=y.不妨设n=(1,3,1)，所以cos〈m,n〉=m·n|m||n|=15510.255.提示：点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量n上的投影的长度，所以距离=|AB·cos〈AB,n〉|=|AB·n||n|=255，所以点A到平面BDF的距离为25511.(1)60°.提示：以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设AC=AB=A1A=2，那么A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，A1(0，0，2)，G(0，2，1)，∴AE=(1，1，0)，A1C=(0，2，-2)，∴cos〈AE，A1C〉=AE·A1C|AE||A1C|=12(2)66.提示：设平面AGE的法向量为n1=(x，y，z)，那么AG·n1=0，AE·n1=0，令x=1，得n1=(1，-1，2)，又平面AGC的法向量为n2=(1，0，0)，∴cos〈n1，n2〉=n1·n2|n1||n2|=66(3)66.提示：∵平面AGE的法向量为n1=(1，-1，2)，AC=(0，2，0)，∴sin〈AC，n1〉=|AC·n1||AC||n1|=66单元练习二11.229,329,-42912.21513.54,7214.-4或x=115.π216.①③17.43,43,8318.337,-157,-319.不共面20.以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，设EA=a，那么A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，E(2a，0，a)，D(0，2a，2a)，M(a，a，0).(1)∵EM=(-a，a，-a)，CM=(a，a，0)，∴EM·CM=0，故EM⊥CM(2)设向量n=(1，y0，z0)与平面CDE垂直，那么n⊥CE，n⊥CD，即n·CE=0，n·CD=0.∵CE=(2a,0,a),CD=(0,2a,2a),∴y0=2,z0=-2,即n=(1，2，-2)，∴cos〈n，CM〉=CM·n|CM|·|n|=22，那么所求的角是45°21.〔1〕略〔2〕24(3)217〔第22题〕22.〔1〕如图，建立空间直角坐标系Dxyz．设A(a,0,0)，S(0,0,b),那么B(a,a,0),C(0,a,0)，Ｅa,a2,0,F0,a2,b2,EF=-a,0,b2.取SD的中点G0,0,b2，那么AG=-a,0,b2.∴EF=AG,EF∥AG,又AG平面ＳＡＤ，ＥＦ平面ＳＡＤ，∴EF∥平面SAD〔2〕33.提示：不妨设A(1,0,0)，那么B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),E1,12,0,F0,12,1,EF的中点M12,12,12，MD=-12,-12,-12,EF=(-1,0,1),MD·EF=0,∴MD⊥EF.又EA=0,-12,0,EA·EF=0,∴EA⊥EF.所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角．cos〈MD,EA〉=MD·EA|MD|·|EA|=33，所以二面角AEFD平面角的余弦值为33综合练习〔一〕11.假设a≠0或b≠0，那么a2+b2≠0(a,b∈R)12.4或-5413.-4<k<-1,或k>114.-8315.925.提示：以点Ｄ为坐标原点，分别以ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ１所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，那么A1(4,0,3)，B(4,4,0),B1(4,4,3),C(0,4,0),得A1B=(0,4,-3),B1C=(-4,0,-3).设A1B与B1C的夹角为θ，那么cosθ=A1B·B1C|A1B|·|B1C|=92516.y216-x29=1,y240+x215=1.提示：由共同的焦点F1(0,-5)，F2(0,5),可设椭圆方程为y2a2+x2a2-25=1，双曲线方程为y2b2-x225-b2=117.y2=-4x,或y2=12x.提示：设抛物线的方程为y2=2mx，那么y2=2mx,y=2x+1,消去y得4x2-(2m-4)x+1=0,|AB|=1-k2|x1-x2|=5(x1+x2)2-4x1x2=15,那么m24-m=3,m2-4m-12=0,m=-2或6，∴y2=-4x,或y2=12x18.163.提示：a=3,c=5,不妨设PF1>PF2,那么PF1-PF2=2a=6,F1F22=PF21+PF22-2PF1·/r