2022年秋高中数学第五章数列5.3等比数列5.3.1等比数列课后习题新人教B版选择性必修第三册

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7.已知a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则a∶b∶c=.(其中a,b,c不相等)

8.已知数列{an}的各项都为正数,对任意的m,n∈N+,aman=am+n恒成立,且a3a5+a4=72,则log2a1+log2a2+…+log2a7=.

9.已知{an}是各项为不同的正数的等差数列,lga1,lga2,lga4成等差数列.又bn=1a2n,(1)证明数列{bn}为等比数列;(2)如果数列{bn}前3项的和等于724,求数列{an}的首项和公差关键能力提升练10.(多选题)数列{an}满足an=qn(q>0,n∈N+),则以下结论正确的是()A.数列{a2n}是等比数列B.数列1an是等比数列C.数列{lgan}是等差数列D.数列{lgan11.已知等比数列{an}中,a1+a5=10,a1a5=16且a1<a5,则a7=()A.±16 B.16 C.±4 D.412.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就称为“和差等比数列”.已知{an}是“和差等比数列”,a1=2,a2=3,则满足使不等式an>10的n的最小值是()A.8 B.7 C.6 D.513.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f1,第七个音的频率为f2,则f2f1=A.4122 B.1116 C.8214.已知数列{an}是递增的等差数列,若它的前5项的和为105,第2项、第4项、第8项成等比数列,则它的通项公式为()A.an=7n或an=21 B.an=7C.an=7n D.an=715.(2022天津一模)已知等比数列{an}的公比是q,则“q>1”是“an+1>an(n∈N+)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若数列{an}是唯一的,则a的值为.

17.已知等比数列{an}满足a1-a3=-827,a2-a4=-89,则使得a1a2…an取得最小值的n为18.设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1;(2)求证:当a1≠23时,a(3)当a1=76时,求数列{an}的通项公式19.判断是否存在一个等比数列{an},使其满足下列三个条件:①a1+a6=11,且a3a4=329;②an+1>an;③至少存在一个m(m∈N+,且m>4).使23am-1,am2,am+1学科素养创新练20.已知数列{an}是递增的等比数列,a1=1,且2a2,32a3,a4成等差数列(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1log2an+1·log2an+3,

参考答案5.3等比数列5.3.1等比数列1.D因为在等比数列中,an,a2n,a3n,…也成等比数列,所以a3,a6,a9成等比数列.2.A等比数列{an}中,a72=a3a11=25,又a7与a3符号相同,所以a7=5.故选3.A设等比数列{an}的公比为q,a1+a3=3,即a1(1+q2)=3,①a1-a5=-3,即a1(1-q4)=-3,②由②÷①得1-q2=-1,即q2=2,a1=1.则an=a1qn-1=qn-1,所以a7=q6=(q2)3=8.4.C根据题意填写表格,得12340.5132113111311131所以a+b+c=125.D设等比数列{an}的公比为q.因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2,所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.6.6,18设两数依次为a,b,∴a2=2b,2b=a+30.∴a2-a-30=0,∴a=6,∴b=18.7.4∶1∶(-2)由已知,得a由①,得a=2b-c,代入②得2b2-bc-c2=0,解得b=-12c(b=c舍去)∴c=-2b.∴a=2b-c=4b.∴a∶b∶c=4b∶b∶(-2b)=4∶1∶(-2).8.21∵对任意的m,n∈N+,aman=am+n恒成立,令m=1,则a1an=a1+n对任意的n∈N+恒成立,∴数列{an}为等比数列,公比为a1,由等比数列的性质有a3a5=a4∵a3a5+a4=72,则a42+a4∵a4>0,∴a4=8,∴log2a1+log2a2+…+log2a7=log2(a1a2…a7)=log2a47=log287=9.(1)证明∵lga1,lga2,lga4成等差数列,∴2lga2=lga1+lga4,即a22=a1·a设等差数列{an}的公差为d,则(a1+d)2=a1(a1+3d),这样d2=a1d,从而d(d-a1)=0.∵d≠0,∴d=a1≠0,∴an=a1+(n-1)d=n·d,∴a2n=2n·∴bn=1a∴数列{bn}是以12d为首项,1(2)解∵b1+b2+b3=12∴d=3,∴a1=d=3.10.ABCD因为an=qn(q>0,n∈N+),所以a2n=q2n,a2na2n-21an=1qlgan=lgqn=nlgq,故lgan-lgan-1=nlgq-(n-1)lgq=lgq,故C正确;lgan2=lgq2n=2nlgq,故lgan2-lgan-12=2nlgq-2(n-1)lg故选ABCD.11.B已知a1+a5=10,解得a设数列{an}的公比为q,则a5=a1q4,所以q4=82=4,可得q2=所以a7=a5q2=8×2=16.故选B.12.D依题意,an+1+an则数列{an}是首项为2,公比为32的等比数列所以an=2·32n-1,验证知,当n≥5时,2·32n-1>10成立,所以n的最小值是5.故选D.13.D设第一个音的频率为a,设相邻两个音之间的频率之比为q,那么an=aqn-1,根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍,得a13=2a=aq12,解得q=2112,所以f2f1=a714.C设等差数列{an}的公差为d,由题可知d>0.由题意可得5解得a1=d=7,所以an=a1+(n-1)d=7+7n-7=7n.故选C.15.D当a1=-1时,an=-qn-1.因为q>1,所以qn>qn-1,所以-qn<-qn-1,故an+1<an(n∈N+),所以q>1不能推出an+1>an(n∈N+).由an+1>an(n∈N+),得-qn<-qn-1,则qn>qn-1,所以0<q<1,所以an+1>an(n∈N+)不能推出q>1,所以“q>1”是“an+1>an(n∈N+)”的既不充分也不必要条件.故选D.16.13设数列{an}的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2由b1,b2,b3成等比数列,得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.(*)由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由数列{an}唯一知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=1317.3或4设数列{an}的公比为q,则q=a2-∴a1-a3=-8a1=-827∴a1=127,a2=19,a3=13,a4=∴n=3或n=4时,a1a2…an取得最小值.18.(1)解由题可知an≠0.根据根与系数的关系,有α代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,得6an∴an+1=12an+1(2)证明∵an+1=12an+1∴an+1-23当a1≠23时,an-23≠0,故数列an-(3)解当a1=76时,a1-2由(2),知数列an-23是首项为12,公比为12的等比数列,即数列{an}的通项公式为an=2319.解不存在.理由如下:假设存在符合条件的等比数列{an},则a解得a又因为an+1>an,所以取a/r