大学解析几何课件

第一章向量与坐标§1.1

向量的概念§1.3

数乘向量§1.2

向量的加法§1.4

向量的线性关系与向量的分解§1.6

向量在轴上的射影§1.5

标架与坐标§1.7

向量的数量积§1.9

三向量的混合积§1.8

两向量的向量积§1.10

三向量的双重向量积第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.3量的分类：标量、向量（矢量）、张量等§1.1向量的概念定义集合相互关系量的分类：标量、向量（矢量）、张量等§1.1向量的概

定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.向量的几何表示：||向量的模：向量的大小.或或有向线段有向线段的方向表示向量的方向.有向线段的长度表示向量的大小,§1.1向量的概念返回下一页定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向所有的零向量都相等.模为1的向量.零向量：模为0的向量.单位向量：或

定义1.1.2

如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为＝

定义1.1.3

两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.上一页下一页返回自由向量.固定向量所有的零向量都相等.模为1的向量.零向量：模为0的向量.单位零向量与任何共线的向量组共线.

定义1.1.4

平行于同一直线的一组向量叫做共线向量.

定义1.1.5平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.零向量与任何共面的向量组共面.上一页返回注：并不是所有的有向线段都表示向量，如刚体的有限转动。注：在不作声明的前提下,所说的向量都是自由向量.零向量与任何共线的向量组共线.定义1.1.4平行大学解析几何课件OAB这种求两个向量和的方法叫三角形法则.一、向量加法的概念§1.2向量的加法OAB这种求两个向量和的方法叫三角形法则.一、向量加法的概念OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则.Back

注：在自由向量的意义下，两向量合成的平行四边形法则可归结为三角形法则.一、向量加法的概念为什么是这样定义，而不是其它的？OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则.Back定理1.2.2

向量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（4）（3）二、向量加法的运算规律OBCAOBCA定理1.2.2向量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律OA1A2A3A4An-1An

这种求和的方法叫做多边形法则.Back二、向量加法的运算规律OA1A2A3A4An-1An这种求和的方法叫做多边形向量减法的定义：.

向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只需改变它的符号.三、向量的减法向量减法的定义：OBA向量减法的几何作图法:性质：三、向量的减法OBA向量减法的几何作图法:性质：三、向量的减法上一页下一页返回上一页下一页返回这个不等式还这个不等式还可以推广到任意有限多个向量的情况：这个不等式还这个不等式还可以推广到任意ABC上一页返回ABC上一页返回§1.3数乘向量下一页返回§1.3数乘向量下一页返回定理1.3.1数与向量的乘积符合下列运算规律：（2）结合律：（3）第一分配律：两个向量的平行关系（4）第二分配律：上一页下一页返回（1）定理1.3.1数与向量的乘积符合下列运算规律：（2）结合证充分性显然；必要性‖两式相减，得上一页下一页返回证充分性显然；必要性‖两式相减，得上一页下一页返回按照向量与数的乘积的规定，

上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.上一页下一页返回按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向证明方法,是根据可能出现的情况,证明等式两边的向量长度相等与方向相同.1)设a与b为共线向量：2)设a与b不共线.空间解析几何090610.pdf我们对规律4给出证明.总结：向量的加减法以及数乘向量的运算规律与实数中多项式的加、减法以及数乘多项式的加、减法以及数乘多项式的运算规律相同，因此，对于向量的加减以及数乘也可以象多项式那样进行运算.证明方法,是根据可能出现的情况,证明等式两边的向量长度相例1设AM是三角形ABC的中线，求证:证

如图

因为

所以

但

因而

即ABCM(图1.11)上一页下一页返回例1设AM是三角形ABC的中线，求证:证如图因为所例2

用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么所以且上一页返回例2用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边1、对于任意取定的点组证明：（1）存在唯一的点，使得（2）对于任意的点有，.1、对于任意取定的点组证明：（1）存在唯一的点，使得（2）对一、向量的线性组合向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.Back§1.4向量的线性关系与向量的分解一、向量的线性组合向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算二、共线向量的基底Back二、共线向量的基底Back三、共面向量的基底OE2BPE1ABack三、共面向量的基底OE2BPE1ABack四、空间向量的基底E3E2E1OPABC四、空间向量的基底E3E2E1OPABC例题ONBPAM例题ONBPAM

例2证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,,,.,,,,,,,,3211321321321关系式线性表示的，，用先求取不共面的三向量就可以了三点重合下只需证两组对边中点分别为其余它的中点为线为的连的中点对边一组设四面体证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD===上一页下一页返回例2证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平

连接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有

又因为AF1是△ACD的中线，所以又有上一页下一页返回连接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有五、向量的线性关系Back五、向量的线性关系Back六、向量线性相关的条件Back六、向量线性相关的条件Back七、共线向量的条件Back七、共线向量的条件Back八、共面向量的条件八、共面向量的条件例4设为两不共线向量，证明共线的充要条件是

上一页下一页返回例4设为两不共线向量，证明共线的充要条件是上一证

共线

线性相关，即存在不全为0的实数使即又因为不共线线性无关有唯一零解上一页返回证共线线性相关，即存在不全为0的实数使即又因为例3上一页下一页返回例3上一页下一页返回定理设A,B是不同的两点,则点C在直线AB上的充要条件是对空间中任取不在直线上的点O,存在惟一的一对实数m,n,使得

且m+n=1.而C在线段AB上的充要条件是

且上述关系成立.空间解析几何090610.pdf定理设A,B是不同的两点,则点C在直线AB上的O一、标架OPO§1.5标架与坐标O一、标架OPO§1.5标架与坐标OO右手（旋）标架左手（旋）标架Back一、标架OO右手（旋）标架左手（旋）标架Back一、标架二、坐标OPBack二、坐标OPBack三、坐标系1－1对应1－1对应右手坐标系；左手坐标系；仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系.三、坐标系1－1对应1－1对应右手坐标系；左手坐标系；O三、坐标系O三、坐标系x三、坐标系Oyzx三、坐标系OyzⅦ面面面坐标系共分八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧⅦ面面面坐标系共分八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧⅦⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧxyz

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+yz

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+y+z

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+y+z+

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+-y+z+

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+-y++z+

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+-y++z++

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--y++z++

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--y++-z++

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--y++-z+++

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--+y++-z+++

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--+y++--z+++

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--+y++--z++++

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++y++--z++++

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++y++--+z++++

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++y++--+z++++-

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++-y++--+z++++-

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++-y++--++z++++-

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++-y++--++z++++--

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--y++--++z++++--

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--y++--++-z++++--

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--y++--++-z++++---

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--+y++--++-z++++---

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--+y++--++--z++++---

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--+y++--++--z++++----ⅦⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧxyz卦空间的点有序数组特殊点的表示:坐标面上点的坐标有一个为零，点M的坐标，记为坐标轴上点的坐标有两个为零.三、坐标系空间的点有序数组特殊点的表示:坐标面上点的坐标有一个为零，点称为向量的坐标分解式.Back称为向量的坐标分解式.Back（1）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标定理1.5.1

向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标.（2）用向量的坐标进行向量的线性运算定理1.5.2

两向量和的坐标等于两向量对应的坐标的和.定理1.5.3

数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的积.四、向量的坐标运算（1）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标定理1.5.1上一页下一页返回上一页下一页返回定理1.5.4

已知两个非零向量则共线的充要条件是

定理1.5.5

已知三个非零向量，则共面的充要条件是

上一页返回三点共线的充要条件是？四点共面的充要条件是？空间解析几何090610.pdf定理1.5.4已知两个非零向量则共线的充要条件是定理1解设为直线上的点，线段的定比分点坐标上一页下一页返回解设为直线上的点，线段的定比分点坐标上一页下一页返回由题意知：上一页下一页返回由题意知：上一页下一页返回大学解析几何课件l§1.6向量在轴上的射（投）影空间一点在轴上的射影l§1.6向量在轴上的射（投）影空间一点在轴上的射影l空间向量在轴上的射影l空间向量在轴上的射影向量的射影定理向量间夹角的规定向量的射影定理向量间夹角的规定定理1.6.1的说明：射影为正；射影为负；射影为零；(4)

相等向量在同一轴上射影相等；上一页下一页返回定理1.6.1的说明：射影为正；射影为负；射影为零；(4)向量的射影定理注:可推广到有限多个的情形.向量的射影定理注:可推广到有限多个的情形.解上一页返回解上一页返回大学解析几何课件启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.M1M2§1.7两矢量的数量（性）积下一页返回启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.M1M2§1数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义上一页下一页返回数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其关于数量积的说明：证证上一页下一页返回关于数量积的说明：证证上一页下一页返回数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：若、为数：（3）若为数：上一页下一页返回数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：若、例1

证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.例2

试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直于平面.例3

试证三角形的三条高交于一点.P39-40例1、2、3空间解析几何090610.pdf例1证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.例2设数量积的坐标表达式上一页下一页返回设数量积的坐标表达式上一页下一页返回两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：上解上一页下一页返回解上一页下一页返回证上一页下一页返回证上一页下一页返回由勾股定理向量模的坐标表示式向量的模与空间两点间距离公式上一页下一页返回由勾股定理向量模的坐标表示式向量的模与空间两点间距离公式上一为空间两点.

空间两点间距离公式上一页下一页返回为空间两点.空间两点间距离公式上一页下一页返回空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.

特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.方向角与方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.上一页下一页返回非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.上一页下一页返回由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.上当时，向量方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回当方向余弦的特征上式表明，以向量的方向余弦为坐标的向量就是与同方向的单位向量上一页返回有向角的概念P35,（P32）空间解析几何090610.pdf例5,P45(P19)空间解析几何090610.pdf方向余弦的特征上式表明，以向量的方向余弦为坐标的§1.8两向量的向量积下一页返回§1.8两向量的向量积下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回P21空间解析几何090610.pdf上一页下一页返回P21空间解析几何090610.pdfcac0a2cac0a2cbaa+b(a+b)cacc0..bccbaa+b(a+b)cacc0..bc上一页下一页返回例2证明上一页下一页返回例2证明上一页返回上一页返回大学解析几何课件一、混合积的概念§1.9三向量的混合积一、混合积的概念§1.9三向量的混合积二、混合积的几何意义二、混合积的几何意义bc

a

baS=|a

b|h二、混合积的几何意义bcabaS=|ab|h二、混合积的几何意义hac

a

bb.二、混合积的几何意义hacabb.二、混合积的几何意义hac

a

bb.其混合积（abc）=0三矢a,b,c共面因此，二、混合积的几何意义hacabb.其混合积（abc）=0三矢a三、混合积的性质三、混合积的性质四、混合积的坐标表示P25空间解析几何090610.pdf四、混合积的坐标表示P25空间解析几何090610.pdf解例上一页下一页返回解例上一页下一页返回解上一页下一页返回解上一页下一页返回式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.上一页返回式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.上一页返回定义1.10.1.对空间中的三个向量,先作其中两个向量的外积得一向量,再将所得向量与第三个向量作外积,那么最后的结果仍然是一向量,该向量叫做所给三个向量的双重外积.证:如果a,b,c中有一个为零向量,或a与b共线,定理显然成立.1.10-1§1.10三向量的双重向量积定义1.10.1.对空间中的三个向量,先作其中两个向量的以下假设a,b,c都是非零向量,且a与b不共线.我们首先证明(1)可设解得下面我们证明公式1.10-1成立.对空间中的任意向量c,总有以下假设a,b,c都是非零向量,且a与b不共线.我们首先证从而有即公式成立,证毕.从而有即公式成立,证毕.结论

在一般情况下，是两个不同的向量，，因此，向量积不满足结合律。定理1记忆规律

三向量的双重向量积等于中间的向量与其余两向量的数量积的乘积减去括号中另一个向量与其余两向量的数量积的乘积。结论定理1记忆规律例题例1

试证雅可比（Jacobi）恒等式例2

证明例题例1试证雅可比（Jacobi）恒等式例2证明(5.15)(5.16)则式(5.15)及式(5.16)是方程组有解的必要条件.下面再证它们也是充分条件,并求解.(5.15)(5.16)则式(5.15)及式(5.16)令(5.20)(5.21)令(5.20)(5.21)将式(5.20)和式(5.21)代入第一式左端得:若式(5.15)和式(5.16)成立,则左端≡

c

=右端.由此可以看出,对于任意的

和,上述结论均成立.类似地,对于第二式也是这样.因此式(5.15)和式(5.16)也是方程组有解的充分条件,且解由式(5.20)和式(5.21)给出,其中和和任意常数.将式(5.20)和式(5.21)代入第一式左端得:若式(第一章向量与坐标§1.1

向量的概念§1.3

数乘向量§1.2

向量的加法§1.4

向量的线性关系与向量的分解§1.6

向量在轴上的射影§1.5

标架与坐标§1.7

向量的数量积§1.9

三向量的混合积§1.8

两向量的向量积§1.10

三向量的双重向量积第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.3量的分类：标量、向量（矢量）、张量等§1.1向量的概念定义集合相互关系量的分类：标量、向量（矢量）、张量等§1.1向量的概

定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.向量的几何表示：||向量的模：向量的大小.或或有向线段有向线段的方向表示向量的方向.有向线段的长度表示向量的大小,§1.1向量的概念返回下一页定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向所有的零向量都相等.模为1的向量.零向量：模为0的向量.单位向量：或

定义1.1.2

如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为＝

定义1.1.3

两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.上一页下一页返回自由向量.固定向量所有的零向量都相等.模为1的向量.零向量：模为0的向量.单位零向量与任何共线的向量组共线.

定义1.1.4

平行于同一直线的一组向量叫做共线向量.

定义1.1.5平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.零向量与任何共面的向量组共面.上一页返回注：并不是所有的有向线段都表示向量，如刚体的有限转动。注：在不作声明的前提下,所说的向量都是自由向量.零向量与任何共线的向量组共线.定义1.1.4平行大学解析几何课件OAB这种求两个向量和的方法叫三角形法则.一、向量加法的概念§1.2向量的加法OAB这种求两个向量和的方法叫三角形法则.一、向量加法的概念OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则.Back

注：在自由向量的意义下，两向量合成的平行四边形法则可归结为三角形法则.一、向量加法的概念为什么是这样定义，而不是其它的？OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则.Back定理1.2.2

向量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（4）（3）二、向量加法的运算规律OBCAOBCA定理1.2.2向量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律OA1A2A3A4An-1An

这种求和的方法叫做多边形法则.Back二、向量加法的运算规律OA1A2A3A4An-1An这种求和的方法叫做多边形向量减法的定义：.

向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只需改变它的符号.三、向量的减法向量减法的定义：OBA向量减法的几何作图法:性质：三、向量的减法OBA向量减法的几何作图法:性质：三、向量的减法上一页下一页返回上一页下一页返回这个不等式还这个不等式还可以推广到任意有限多个向量的情况：这个不等式还这个不等式还可以推广到任意ABC上一页返回ABC上一页返回§1.3数乘向量下一页返回§1.3数乘向量下一页返回定理1.3.1数与向量的乘积符合下列运算规律：（2）结合律：（3）第一分配律：两个向量的平行关系（4）第二分配律：上一页下一页返回（1）定理1.3.1数与向量的乘积符合下列运算规律：（2）结合证充分性显然；必要性‖两式相减，得上一页下一页返回证充分性显然；必要性‖两式相减，得上一页下一页返回按照向量与数的乘积的规定，

上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.上一页下一页返回按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向证明方法,是根据可能出现的情况,证明等式两边的向量长度相等与方向相同.1)设a与b为共线向量：2)设a与b不共线.空间解析几何090610.pdf我们对规律4给出证明.总结：向量的加减法以及数乘向量的运算规律与实数中多项式的加、减法以及数乘多项式的加、减法以及数乘多项式的运算规律相同，因此，对于向量的加减以及数乘也可以象多项式那样进行运算.证明方法,是根据可能出现的情况,证明等式两边的向量长度相例1设AM是三角形ABC的中线，求证:证

如图

因为

所以

但

因而

即ABCM(图1.11)上一页下一页返回例1设AM是三角形ABC的中线，求证:证如图因为所例2

用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么所以且上一页返回例2用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边1、对于任意取定的点组证明：（1）存在唯一的点，使得（2）对于任意的点有，.1、对于任意取定的点组证明：（1）存在唯一的点，使得（2）对一、向量的线性组合向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.Back§1.4向量的线性关系与向量的分解一、向量的线性组合向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算二、共线向量的基底Back二、共线向量的基底Back三、共面向量的基底OE2BPE1ABack三、共面向量的基底OE2BPE1ABack四、空间向量的基底E3E2E1OPABC四、空间向量的基底E3E2E1OPABC例题ONBPAM例题ONBPAM

例2证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,,,.,,,,,,,,3211321321321关系式线性表示的，，用先求取不共面的三向量就可以了三点重合下只需证两组对边中点分别为其余它的中点为线为的连的中点对边一组设四面体证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD===上一页下一页返回例2证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平

连接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有

又因为AF1是△ACD的中线，所以又有上一页下一页返回连接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有五、向量的线性关系Back五、向量的线性关系Back六、向量线性相关的条件Back六、向量线性相关的条件Back七、共线向量的条件Back七、共线向量的条件Back八、共面向量的条件八、共面向量的条件例4设为两不共线向量，证明共线的充要条件是

上一页下一页返回例4设为两不共线向量，证明共线的充要条件是上一证

共线

线性相关，即存在不全为0的实数使即又因为不共线线性无关有唯一零解上一页返回证共线线性相关，即存在不全为0的实数使即又因为例3上一页下一页返回例3上一页下一页返回定理设A,B是不同的两点,则点C在直线AB上的充要条件是对空间中任取不在直线上的点O,存在惟一的一对实数m,n,使得

且m+n=1.而C在线段AB上的充要条件是

且上述关系成立.空间解析几何090610.pdf定理设A,B是不同的两点,则点C在直线AB上的O一、标架OPO§1.5标架与坐标O一、标架OPO§1.5标架与坐标OO右手（旋）标架左手（旋）标架Back一、标架OO右手（旋）标架左手（旋）标架Back一、标架二、坐标OPBack二、坐标OPBack三、坐标系1－1对应1－1对应右手坐标系；左手坐标系；仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系.三、坐标系1－1对应1－1对应右手坐标系；左手坐标系；O三、坐标系O三、坐标系x三、坐标系Oyzx三、坐标系OyzⅦ面面面坐标系共分八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧⅦ面面面坐标系共分八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧⅦⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧxyz

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卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++-y++--+z++++-

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++-y++--++z++++-

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++-y++--++z++++--

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--y++--++z++++--

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--y++--++-z++++--

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--y++--++-z++++---

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--+y++--++-z++++---

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--+y++--++--z++++---

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--+y++--++--z++++----ⅦⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧxyz卦空间的点有序数组特殊点的表示:坐标面上点的坐标有一个为零，点M的坐标，记为坐标轴上点的坐标有两个为零.三、坐标系空间的点有序数组特殊点的表示:坐标面上点的坐标有一个为零，点称为向量的坐标分解式.Back称为向量的坐标分解式.Back（1）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标定理1.5.1

向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标.（2）用向量的坐标进行向量的线性运算定理1.5.2

两向量和的坐标等于两向量对应的坐标的和.定理1.5.3

数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的积.四、向量的坐标运算（1）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标定理1.5.1上一页下一页返回上一页下一页返回定理1.5.4

已知两个非零向量则共线的充要条件是

定理1.5.5

已知三个非零向量，则共面的充要条件是

上一页返回三点共线的充要条件是？四点共面的充要条件是？空间解析几何090610.pdf定理1.5.4已知两个非零向量则共线的充要条件是定理1解设为直线上的点，线段的定比分点坐标上一页下一页返回解设为直线上的点，线段的定比分点坐标上一页下一页返回由题意知：上一页下一页返回由题意知：上一页下一页返回大学解析几何课件l§1.6向量在轴上的射（投）影空间一点在轴上的射影l§1.6向量在轴上的射（投）影空间一点在轴上的射影l空间向量在轴上的射影l空间向量在轴上的射影向量的射影定理向量间夹角的规定向量的射影定理向量间夹角的规定定理1.6.1的说明：射影为正；射影为负；射影为零；(4)

相等向量在同一轴上射影相等；上一页下一页返回定理1.6.1的说明：射影为正；射影为负；射影为零；(4)向量的射影定理注:可推广到有限多个的情形.向量的射影定理注:可推广到有限多个的情形.解上一页返回解上一页返回大学解析几何课件启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.M1M2§1.7两矢量的数量（性）积下一页返回启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.M1M2§1数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义上一页下一页返回数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其关于数量积的说明：证证上一页下一页返回关于数量积的说明：证证上一页下一页返回数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：若、为数：（3）若为数：上一页下一页返回数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：若、例1

证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.例2

试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直于平面.例3

试证三角形的三条高交于一点.P39-40例1、2、3空间解析几何090610.pdf例1证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.例2设数量积的坐标表达式上一页下一页返回设数量积的坐标表达式上一页下一页返回两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：上解上一页下一页返回解上一页下一页返回证上一页下一页返回证上一页下一页返回由勾股定理向量模的坐标表示式向量的模与空间两点间距离公式上一页下一页返回由勾股定理向量模的坐标表示式向量的模与空间两点间距离公式上一为空间两点.

空间两点间距离公式上一页下一页返回为空间两点.空间两点间距离公式上一页下一页返回空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.

特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.方向角与方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.上一页下一页返回非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.上一页下一页返回由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.上当时，向量方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回当方向余弦的特征上式表明，以向量的方向余弦为坐标的向量就是与同方向的单位向量上一页返回有向角的概念P35,