2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时距离问题课后习题新人教A版选择性必修第一册

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第4题图第5题图5.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为.

6.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.B级关键能力提升练7.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|Ax0+By0+Cz0A.55 B.C.2 D.58.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离()A.等于55B.和EF的长度有关C.等于23D.和点Q的位置有关9.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是A1B1的中点,P在正方体内部且满足AP=34A.点A到直线BE的距离是5B.点A到直线BE的距离是2C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3D.点P到直线AB的距离为2510.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=13DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为.11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为.

12.如图,已知四边形ABCD为矩形,四边形ABEF为直角梯形,FA⊥AB,AD=AF=FE=1,AB=2,AD⊥BE.(1)求证:BE⊥DE;(2)求点F到平面CBE的距离.13.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π2,AB=BC=13AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥(1)求点A到平面PCF的距离;(2)求AD到平面PBC的距离.C级学科素养创新练14.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=2,侧棱AA1=2,D是CC1的中点,则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B两点),使得点A1到平面AED的距离为263?若存在,请确定点E

第1课时距离问题1.D∵OP=12(OA+OBOC=(0,1,0),∴PC=∴|PC|=4+12.C建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E0,12,1,所以EC=1,12,-1,CC1=(0,0,1),所以点C1到直线EC的距离d=|CC1|3.A建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1∴DM=a,0,a2,DB=(a,a设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则n令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴点A1到平面MBD的距离d=|DA4.135如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),∴点P到直线BD的距离d=|PB5.32如图所示,建立空间直角坐标系则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3),∴A1B=(-1,1,-3),A1C=(-1,0,-3),A1设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则n令z=1得x=-3,y=0,∴n=(-3,0,1).∴点B1到平面A1BC的距离d=|n6.解(1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,F12所以EF=PE=设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则n令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离d=|DE·n||n|=(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,所以AC∥平面PEF.因为AE=所以点A到平面PEF的距离d=|AE所以直线AC到平面PEF的距离为17177.B以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-12D,所以方程可化为-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以d=8.A取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,∴点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,故B错误.又A1B1∥平面PGCD,∴点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,故D错误.如图,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),Pa2,0,a,∴DC=(0,a,0),DA1=(a,0,a),DP=a2,0,a设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由n令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d,则d=|DA1·n||n|=9.BC如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以BA=(-1,0,0),BE=-12,0,1.设∠ABE=θ,则cosθ=BA·sinθ=1-故点A到直线BE的距离d1=|BA|sinθ=1×255=255,A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·A令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离d2=|A因为易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33,故C正确因为AP=34AB+12AD+23AA1,所以AP=34,12,2故D错误.10.43737以点D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则E1,1,12G0,0,13,D∴EF=(-1,0,0),FG=0∴D1又∵EF⊂平面EFGH,D1A1⊄平面EFGH,∴D1A1∥平面EFGH.∴A1D1到平面EFGH的距离,即为D1到平面EFGH的距离.设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z),则n令z=6,则y=-1,∴n=(0,-1,6),又∵D1∴点D1到平面EFGH的距离d=|D1F·n||n|=411.83如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).∴EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),∴EF=∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,则n解得x取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.∵AB=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=|n12.解∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥AB.又AD⊥BE,AB∩BE=B,∴AD⊥平面ABEF,又AD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面ABEF.∵FA⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴FA⊥平面ABCD.∴FA⊥AD.(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,则B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),∴BE=(0,-1,1),DE=(-1,1,1),∴BE·DE=0×(-1)+(-1)×1+1×1∴BE⊥∴BE⊥DE.(2)由(1)得BC=(1,0,0),BE=(0,-1,1),FE=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面CBE的法向量,则由n令y=1,得z=1,∴n=(0,1,1)是平面CBE的一个法向量.设点F到平面CBE的距离为d,则d=|FE∴点F到平面CBE的距离为2213.解(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图.则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0),则CF=(-a,m-a,0),CP=(-a,-a,a).∵PC⊥CF,∴CF⊥∴CF·CP=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0=a2-a(m-a)=0,∴m=2a,即F(0,2a设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),则n·CF取x=1,得n=(1,1,2).设点A到平面PCF的距离为d,由AC=(/