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文档简介

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图所示,正方体的棱,的中点分别为,,则直线与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.2.已知全集,集合,则()A. B. C. D.3.小王因上班繁忙,来不及做午饭,所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12:00~12:10之间随机到达小王所居住的楼下,则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是()A. B. C. D.4.已知是等差数列的前项和,,,则()A.85 B. C.35 D.5.已知等式成立,则()A.0 B.5 C.7 D.136.已知数列为等比数列,若,且,则()A. B.或 C. D.7.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案种数是()A.18种 B.36种 C.54种 D.72种8.设复数满足,则()A.1 B.-1 C. D.9.设函数,则函数的图像可能为()A. B. C. D.10.在中,内角的平分线交边于点,,,,则的面积是()A. B. C. D.11.将一块边长为的正方形薄铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置,若其正视图为等腰直角三角形,且该容器的容积为,则的值为()A.6 B.8 C.10 D.1212.直角坐标系中,双曲线()与抛物线相交于、两点,若△是等边三角形,则该双曲线的离心率()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.抛物线的焦点坐标为______.14.若满足约束条件,则的最小值是_________,最大值是_________.15.如图,在平行四边形中,,,则的值为_____.16.在中,内角的对边分别是,若,,则____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为.(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(2)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值.18.(12分)如图,三棱锥中,,,,,.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;(Ⅱ)已知直线与曲线交于,两点,与轴交于点,求.20.(12分)已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.21.(12分)如图,已知正方形所在平面与梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.(1)证明:平面;(2)求点N到平面CDM的距离.22.(10分)设函数()的最小值为.(1)求的值;(2)若,,为正实数,且,证明:.

2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】

以D为原点,DA,DC,DD1分别为轴,建立空间直角坐标系,由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值.【题目详解】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,则,,,取平面的法向量为,设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ,则sinθ=|,直线与平面所成角的正弦值为.故选C.【答案点睛】本题考查了线面角的正弦值的求法,也考查数形结合思想和向量法的应用,属于中档题.2、D【答案解析】

根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,由补集和交集定义可求得结果.【题目详解】,,,.故选:.【答案点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题,涉及到函数定义域的求解,属于基础题.3、C【答案解析】

设出两人到达小王的时间,根据题意列出不等式组,利用几何概型计算公式进行求解即可.【题目详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,以12:00点为开始算起,则有,在平面直角坐标系内,如图所示:图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域,所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为:.故选:C【答案点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式,考查了不等式组表示的平面区域,考查了数学运算能力.4、B【答案解析】

将已知条件转化为的形式,求得,由此求得.【题目详解】设公差为,则,所以,,,.故选:B【答案点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算,考查等差数列前项和的计算,属于基础题.5、D【答案解析】

根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【题目详解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故选:D【答案点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了特殊值代入法,考查了数学运算能力.6、A【答案解析】

根据等比数列的性质可得,通分化简即可.【题目详解】由题意,数列为等比数列,则,又,即,所以,,.故选:A.【答案点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了推理能力与运算能力,属于基础题.7、B【答案解析】

把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇即得.【题目详解】把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇,则不同的分配方案有种.故选:.【答案点睛】本题考查排列组合,属于基础题.8、B【答案解析】

利用复数的四则运算即可求解.【题目详解】由.故选:B【答案点睛】本题考查了复数的四则运算,需掌握复数的运算法则,属于基础题.9、B【答案解析】

根据函数为偶函数排除,再计算排除得到答案.【题目详解】定义域为:,函数为偶函数,排除,排除故选【答案点睛】本题考查了函数图像,通过函数的单调性,奇偶性,特殊值排除选项是常用的技巧.10、B【答案解析】

利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,进而求出,然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【题目详解】为的角平分线,则.,则,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面积为.故选:B.【答案点睛】本题考查三角形面积的计算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.11、D【答案解析】

推导出,且,,,设中点为,则平面,由此能表示出该容器的体积,从而求出参数的值.【题目详解】解:如图(4),为该四棱锥的正视图,由图(3)可知,,且,由为等腰直角三角形可知,,设中点为,则平面,∴,∴,解得.故选:D【答案点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用,属于中档题.12、D【答案解析】

根据题干得到点A坐标为,代入抛物线得到坐标为,再将点代入双曲线得到离心率.【题目详解】因为三角形OAB是等边三角形,设直线OA为,设点A坐标为,代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为,代入双曲线得到故答案为:D.【答案点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,结合转化为的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】

变换得到,计算焦点得到答案.【题目详解】抛物线的标准方程为,,所以焦点坐标为.故答案为:【答案点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标,属于简单题.14、06【答案解析】

作不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求出结果.【题目详解】作出可行域,如图中的阴影部分:求的最值,即求直线在轴上的截距最小和最大时,当直线过点时,轴上截距最大,即z取最小值,.当直线过点时,轴上截距最小,即z取最大值,.故答案为:0;6.【答案点睛】本题主要考查了线性规划中的最值问题,利用数形结合是解决问题的基本方法,属于中档题.15、【答案解析】

根据ABCD是平行四边形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.【题目详解】∵AB=2,AD=1,∴=1﹣4=﹣1.故答案为:﹣1.【答案点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则,相等向量和相反向量的定义,向量数量积的运算,考查了计算能力,属于基础题.16、【答案解析】

由,根据正弦定理“边化角”,可得,根据余弦定理,结合已知联立方程组,即可求得角.【题目详解】根据正弦定理:可得根据余弦定理:由已知可得:故可联立方程:解得:.由故答案为:.【答案点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角,解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【答案解析】试题分析:(1)由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程;(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果试题解析:解:(Ⅰ)由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+(y﹣)2=5;(Ⅱ)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得(3﹣t)2+(t)2=5,即t2﹣3t+4=0设t1,t2是上述方程的两实数根,所以t1+t2=3又直线l过点P,A、B两点对应的参数分别为t1,t2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.18、(1)证明见详解;(2)【答案解析】

(1)取中点,根据,利用线面垂直的判定定理,可得平面,最后可得结果.(2)利用建系,假设长度,可得,以及平面的一个法向量,然后利用向量的夹角公式,可得结果.【题目详解】(1)取中点,连接,如图由,所以由,平面所以平面,又平面所以(2)假设,由,,.所以则,所以又,平面所以平面,所以,又,故建立空间直角坐标系,如图设平面的一个法向量为则令,所以则直线与平面所成角的正弦值为【答案点睛】本题考查线面垂直、线线垂直的应用,还考查线面角,学会使用建系的方法来解决立体几何问题,将几何问题代数化,化繁为简,属中档题.19、(1)(x-1)2+y2=4,直线l的直角坐标方程为x-y-2=0;(2)3.【答案解析】

(1)消参得到曲线的普通方程,利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程;(2)先得到直线的参数方程,将直线的参数方程代入到圆的方程,得到关于的一元二次方程,由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.【题目详解】(1)由曲线C的参数方程(α为参数)(α为参数),两式平方相加,得曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=4;由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos-ρsinθsin=ρcosθ-ρsinθ=2,即直线l的直角坐标方程为x-y-2=0.(2)由题意可得P(2,0),则直线l的参数方程为(t为参数).设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则|PA|·|PB|=|t1|·|t2|,将(t为参数)代入(x-1)2+y2=4,得t2+t-3=0,则Δ>0,由韦达定理可得t1·t2=-3,所以|PA|·|PB|=|-3|=3.20、(1);(2)或.【答案解析】

(1)由抛物线的准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.【题目详解】(1)抛物线的准线方程为,,直线,点F到直线l的距离为,,所以椭圆的标准方程为;(2)依题意斜率不为0,又过点,设方程为,联立,消去得,,,设,,,,线段AB的中垂线交直线l于点Q,所以横坐标为3,,,,平方整理得,解得或(舍去),,所求的直线方程为或.【答案点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式,合理运用两点间的距离公式,考查计算求解能力,属于中档题.21、(1)证明见解析(2)【答案解析】

(1)因为正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直,平面平面,,所以平面ABMN,因为平面ABMN,平面ABMN,所以,,因为,所以,因为,所以,所以,因为在直

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