平面向量知识点总结及练习

平面向量一．向量有关概念 ：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段 ，为什么（向量可以平移） 。如：已知A（1,2uuurr_____（答：（3,0））），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuuruuur3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB)；uuur|AB|4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；r③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A、B、C共线uuuruuurAB、AC共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。rrrr如：下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相uuuruuuruuuruuur同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若rrrrrrrrrrrrab,bc，则ac。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，rrrx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做则平面内的任一向量a可表示为axiyj向量a的坐标表示。如果 向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三．平面向量的基本定理 ：如果 e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、122，使a=1e＋2e。如rr(1,rr（1）若a(1,1),b1),c(1,2)，则c______（答：1r3r2ab）；2（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是uruur(1,2)uruur(5,7)A.e1(0,0),e2B.e1(1,2),e2uruururuur1,3)C.e1(3,5),e2(6,10)D.e1(2,3),e2(24（答：B）；uuuruuuruuurruuurruuurrr（3）已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为_____（答：2r4r3ab）；3（4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，CDrABsAC，则rs的值是___（答：0）四．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1rr2>0时，a的方向与a的方向相同，当a的方向与a的方向aa,当<0时，＝0时，rra≠0。相反，当a0，注意：五．平面向量的数量积：uuurruuurrAOB1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa,OBb，0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝2时，a，b垂直。2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为rr，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积或点积）rr，记作：a?b，即a?b＝abcos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________rrrrrurrrrur（答：－9）；，则k等于____（2）已知a(1,1),b(0,1),cakb,dab，c与d的夹角为422（答：1）；rrrr3rr等于____（3）已知a2,b5,ab，则abg（答：23）；rrrrrrrrr（4）已知a,b是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角为____r（答：30o）0。如3．b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______（答：12）r54．a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：rrrr①aba?b0；rrr2rrr2rr2②当a，b同向时，a?b＝ab，特别地，aa?aa,aa；当a与b反向时，a?brrrrrr0是＝－ab；当为锐角时，a?b＞0，且a、b不同向，ab为锐角的必要非充分条件；当rrrr为钝角时，a?b＜0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件；rrrrrr③非零向量a，b夹角的计算公式：cosa?b；④|a?b||a||b|。如rrab（1）已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：40且1或）；33（2）已知OFQ的面积为S，且OFFQ1，若1S3OF,FQ夹角的取值范2，则2围是_________（答：(,)）；43rrrrrrrr（3）已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a与b之间有关系式kab3akb,其中k0，①用

r r r rk表示ab；②求ab的最小值，并求此时

r ra与b的夹角

的大小rrk21(k0)；②最小值为1，60o）（答：①ab4k2六．向量的运算 ：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如uuurruuurruuurrr此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即rruuuruuuruuurabABBCAC；uuurruuurrrruuuruuuruuur②向量的减法：用“三角形法则”：设ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如：（1）化简：①uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur_____ABBCCD___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)uuuruuurr（答：①AD；②CB；③0）；uuurruuurruuurrrrr（2）若正方形ABCD的边长为1，ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_____（答：22）；（3）若O是VABC所在平面内一点，且满足uuuruuuruuuruuuruuurOBOCOBOC2OA，则VABC的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点uuuruuuruuurrP，满足PABPCP0，uuur设|AP|的值为___uuur，则|PD|（答：2）；uuuruuuruuurr（5）若点O是△ABC的外心，且OAOBCO0，则△ABC的内角C为____（答：120o）；rr2．坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：rr(xx，y1y2)。①向量的加减法运算：ab12如：（1）已知点A(2,3),B(5,4)uuuruuuruuur＝____时，点P在第，C(7,10)，若APABAC(R)，则当一、三象限的角平分线上（答：1）；1uuur2（2）已知A(2,3),B(1,4),且(sinx,cosy)，x,y(,)，则xyAB222（答：或）；62uuruuruururuuruuruur（3）已知作用在点A(1,1)的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)，则合力FF1F2F3的终点坐标是r（答：（9,1））x,yx,y②实数与向量的积：a。1111uuur③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(uuur1uuuruuuruuur1,5)，且AC3AB，AD3AB，则C、D的坐标分别是__________117,9)）；（答：(1,),(rr3xxyy④平面向量数量积：a?b2。如112已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量a、3c的夹角；（2）若x∈[3,]，函数f(x)ab的最大值为1，求的值8421或（答：(1)150o;(2)21）；rr2r2x2yx2y2。如⑤向量的模：|a|2,a|a|2rruurr已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a3b|＝_____（答：13）；⑥两点间的距离：若Ax,y,Bx,y2，则112|AB|x2x122y2y1。如如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy60o，平面上任一点P关于斜坐uuururuururuur标系的斜坐标是这样定义的：若OPxeye，其中e,e分别为与x轴、y1212轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x2y2xy10）；七．向量的运算律：rrrrrrrrrr1．交换律：abba，aa，a?bb?a；2．结合律：3．分配律：如

rrrrrrrrrrrrrrrrrrabcabc,abcabc，a?ba?ba?b；rrrrrrrrrrrrrraaa,abab，ab?ca?cb?c。下列命题中：①a(bc)abac；②a(bc)(ab)c；③(ab)2|a|22|a||b||b|2；④若ab0，则a0或brrrrrrr2r20；⑤若abcb,则ac；⑥aa；⑦rrrrr2rrrr2rrrrabb2222r2r；⑧(ab)ab；⑨(ab)a2abb。其中正确的是______aa（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除 (相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律 ，即a(b?c) (a?b)c，为什么rrrrrrrr八．向量平行(共线)的充要条件：a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0。如rrrr(1)若向量a(x,1),b(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）；rrrrrrrrrr（2）已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab，且u//v，则x＝______uuuruuuruuur（答：4）；（3）设时，A,B,C共线PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k＝_____（答：－2或11）rrrrrrrr九．向量垂直的充要条件：abab0|ab||ab|x1x2y1y20.特别地uuuruuuruuuruuurABAC)ABAC)。如(uuuruuur(uuuruuurABACABACuuuruuuruuuruuur(1)已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，则m（答：3）；2（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， B 90，则点B的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））；r r ur r ur ur（3）已知n (a,b),向量n m，且n m，则m的坐标是________（答：(b,a)或(b,a)）十．线段的定比分点：1．定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数，使uuuruuuruuuur所成的比，P点叫做有向线段uuuurPPPP，则叫做点P分有向线段PP12PP12的以定比为的定比12分点；2．的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P1P2上时>0；当P点在线段P1P2uuuur的延长线上时<－1；当P点在线段P2P1的延长线上时10；若点P分有向线段PP12uuuur所成的比为，则点P分有向线段P2P1所成的比为1。如uuur3uuur若点P分AB所成的比为，则A分BP所成的比为_______4（答：7）uuuur33．线段的定比分点公式：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PP12所成的比为，x1x2xx1x22x则1，特别地，当＝1时，就得到线段P1P2的中点公式y1y2。在使用定比分y1yy22y1点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如1MN，则点P的坐标为_______（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MP37（答：(6,)）；3uuuuruuur（2）已知A(a,0),B(3,2a)，直线y12ax与线段AB交于M，且AM2MB，则a等于_______（答：２或－４）rh,kP(x,y)，则xxh十一．平移公式：如果点P(x,y)按向量a平移至；曲线ryykf(x,y)h,kf(xh,yk)0.注意：（1）函数按向量平移与平常“左0按向量a平移得曲线加右减”有何联系（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如r3)平移到(1,2)r7,2)平移到点______（1）按向量a把(2,，则按向量a把点(（答：（－８，３））；（2）函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，则a＝________（答：(4,1)）12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrrrrrrrrr（2）||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、b同向或有0|ab||a||b|rrrrrrrrrrrrrrrrr||a||b|||ab|；当a、b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；当a、b不共线rrrrrr).||a||b|||ab||a||b|(这些和实数比较类似（3）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则其重心的坐标为Gx1x2x3,y1y2y3。如33若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：(2,4)）；uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr33②1G为ABC为ABCPG3(PAPBPC)的重心，特别地PAPBPC0P的重心；uuuruuuruuuruuuruuuruuurP为ABC的垂心；③PAPBPBPCPCPAuuuruuur④向量ABAC0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；(uuuruuur)(|AB||AC|uuuruuuruuuruuuruuuruuurrPABC的内心；⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0uuuur，点M为平面内的任一点，则uuuruuuuruuuur（3）若P分有向线段PP所成的比为MPMP1MP2，特别121uuuuruuuuruuur地P为PP的中点MP1MP2；MP122uuuruuuruuurA、B、C共线、uuruuruuur（4）向量PA、PB、PC中三终点存在实数使得PAPBPC且1.如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC 1OA 2OB,其中 1,2 R且 1 2 1,则点C的轨迹是_______（答：直线 AB）平面向量的线性运算1．在矩形ABCD中，AB 3，BC 1，则向量(AB AD AC)的长等于（ ）（A）2 （B）2 3 （C）3 （D）42．下面给出四个命题：①对于实数m和向量a、b恒有：m(ab)mamb②对于实数m、n和向量a，恒有(mn)amana③若mamb(mR)，则有ab④若mana(m,nR,a0)，则mn其中正确命题的个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）43．若a与b的方向相反，且ab此时abab

，则a+b的方向与a的方向 ；． 答案：相同； =；D、E、FABCBCCAABuuuruuuruuurc，则下列各4．已知分别是△的中点，且的边、、uuur1cuuurauuur1auuuruuuruuur0．其中正式：①EF1b；②BE1b；③CF1b；④ADBECF22222确的等式的个数为答案：2uuuruuuruuur0，则O是△ABC的5．已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OAOBOC。（填重心 、垂心、内心、外心之一）uuuruuuruuur答案：重心答案：[3,13]6．若AB8,AC5,则BC的取值范围是A解析：由结论||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|，因为uuuruuuruuurDFBC=|ABAC|。7．如图，D、E、F是ABC的边AB、BC、CA的中点，CBE则AFDB=答案：BEuuurruuurruuuruuuruuuurrr8．在YABCD中，ABa,ADb,AN3NC，M为BC的中点，则MN_______。（用a、b表示）uuuruuuruuuruuurrruuuurr1r解析：如图，由AN3NC得4AN3AC=3(ab)，AMa2b，uuuur3rrrrr1r11所以MN(ab)(ab)4ab。424uuuruuuruuuruuur9．化简：(ABCD)(ACBD)=．答案：010．如图，是一个梯形，∥，且=2，、分别是和AB的中点，已知AB=,AD=,ABCDABCDABCDMNDCab试用a，b表示BC和MN．平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝()A．(6,3)B．(－2，－6)C．(2,1)D．(7,2)2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()．A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()．A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)4.设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且→→|AB|＝2|AP|，则点P的坐标为()A．(3,1)B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1)D．无数多个5.uuuruuuruuur若向量AB=（1,2），BC=（3,4），则AC=()A（4,6）B(-4，-6)C(-2，-2)D(2,2)6．已知向量 a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式/r