(完整word版)数列求和的各种方法

38数列求和的方法教学目标1•熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题教学内容知识梳理求数列的前n项和的方法公式法①等差数列的前n项和公式=nQ]+②等比数列的前n项和公式=na】:—a1—aq=na】:—a1—aq当qM1时，Sn③常见的数列的前n项和：1③常见的数列的前n项和：1+2+3++n=n(n+1)1+3+5++(2n—1)=n212+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+D,13+23+33+……+n3=Fn(2±1)12等62分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求｛an・bn｝的前n项和，其中｛an｝和｛b”｝分别是等差数列和等比数列.并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(—1)nfn)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn=1002—992+982—972——22—12=(100+99)+(98+97)——(2+1)=5050.常见的裂项公式1111⑴nUD寸i

n+1；11⑵ncik)；11⑶(2n-1)2n+1)=2(2n-1_2n+1);ii⑷ii⑷乙+i)n+2)=2、一1、1)-(n+1)(u+2)；(役*市=k⑴百-n)(6)设等差数列｛an｝的公差为乩则汙^da-+")•nn＋1nn＋1数列求和题型考点一公式法求和(2016・新课标全国口)已知｛an｝是公差为3的等差数列，数列｛bn｝满足片=1,b2=g,abn+]+b”+]=nb”.求｛a“｝的通项公式；求｛b：｝的前n项和.(2013・新课标全国□,17)已知等差数列｛a：｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列.求｛a：｝的通项公式；"求a】+04+。?+.…+。3：2.变式训练(2015・四川，16)设数列｛a：｝(n=1，2，3,…)的前:项和S：满足S：=2a：-a1，且a1，a2+1，a3成等差数列.求数列｛a：｝的通项公式；r1"〕设数列r計的前:项和为匚，求丁：.、：丿（2014・福建，17）在等比数列｛a”｝中，a2=3,a5=81.（1）求an；（2）设bn=log3an，求数列｛bn｝的前n项和S”考点二错位相减法（山东）已知数列｛a｝的前n项和S=3n2+8n,｛b｝nnnnn+1（口）求数列｛b｝的通项公式；n（口）令cn(a+1)n+1n—（口）令cn(a+1)n+1n—(b+2)n的前n项和Tn.n（2015・天津，18）已知数列｛an｝满足a”2=qan（q为实数，且q^1）,nDN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.””（1）求q的值和｛an｝的通项公式；⑵设bn=吨2仏,nDN*,求数列｛bn｝的前n项和.na2n－1n变式训练（2014・江西，17）已知首项都是1的两个数列｛an｝,｛bn｝（b#O,nDN*）满足abn十厂an+您+2町+0=0.（1）令cn=a，求数列｛cn｝的通项公式；n⑵若b”=3nr,求数列｛a｝的前n项和Sn(2014・四川，19)设等差数列｛an｝的公差为乩点(a”,b)在函数fx)=2x的图象上(nDN*).⑴若a1=—2,点(a8，4b7)在函数fx)的图象上，求数列｛a^的前n项和S”；(2)若a=1,函数fx)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2—应，求数列阴的前n项和7.In(2015・湖北，18)设等差数列｛an｝的公差为〃，前n项和为Sn，等比数列｛b“｝的公比为g,已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=1OO.求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；a当d>1时，记cn=b%求数列｛cn｝的前n项和Tn.n(2015•山东，18)设数列｛a^的前n项和为S”•已知2S”=3n+3.求｛an｝的通项公式；"""若数列｛—｝满足ab=^n，求｛bn｝的前n项和T.(2015・浙江，17)已知数列｛an｝和｛b“｝满足a1=2,b1=1,a”1=2an(nDN*),b1+|b2+|b3+^+nbn=b^1—1(nDN*).求an与bn；nn记数列｛anbn｝的前n项和为码，求Tn.（2015・湖南，19）设数列｛a^的前n项和为S”，已知a=1,a=2，且an+2=3Sn~Sn+1+3,nDN*.⑴证明：%2=3an；””⑵求S考点三分组求和法(2015・福建，17)在等差数列｛a^中，a2=4,a4+a7=15.求数列｛an｝的通项公式；”设bn=2a”2+〃，求b]+b2+b3+...+b]0的值.(2014・湖南，16)已知数列｛an｝的前n项和S=~^-，nDN*.(1)求数列｛an｝的通项公式；⑵设bn=2a”+(—1)nan，求数列｛bn｝的前2n项和.变式训练(2014,北京，15)已知｛a”｝是等差数列，满足°]=3,°4=12，数列｛bn｝满足曾=4,：4=20,且｛bn—a”｝为等比数列.求数列｛a^和｛b”｝的通项公式；求数列｛b^的前n项和.考点四裂项相消法(2015・新课标全国口，17)S”为数列｛an｝的前n项和.已知a”>0,a2+2an=4Sn+3.求｛an｝的通项公式；""“设bn=o^~，求数列｛bn｝的前n项和.nn＋1

ai3=^ar^6.(2011•新课标全国，17)等比数列｛a^的各项均为正数，且2a]+3ai3=^ar^6.求数列｛an｝的通项公式；”nr1〕设bn=log3a1+log3a2+...+log3an，求数列｛計的前n项和.In(2015・安徽，18)已知数列｛an｝是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3(1)求数列｛an｝的通项公式；”⑵设Sn⑵设Sn为数列｛an｝的前n项和，bn=aAn+1SSnn+1求数列｛bn｝的前n项和T”.变式训练(2013・江西，16)正项数列｛an｝满足：a2-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列｛an｝的通项公式an；⑵令bn=(n+11)a'求数列｛bn｝的前n项和Tn.n(2013・大纲全国，17)等差数列｛a”｝中，a7=4,a19=2a9,求｛a”｝的通项公式；"设bn=na，求数列｛bn｝的前n项和S”.”在数列｛a｝中，a,=1,当”三2时，其前n项和S满足S”=a(S—与.n1nnnn2(1)求S”的表达式；nS⑵设4=托，求仇｝的前n项和几考点五倒序相加法1122014已知函数fx)=4；j2(xmR)・(1)证明：沧)+夬1—x)=2；(2)若s=X2"0T5)+f2~0T5)+…土^^^^)，则S=变式训练设fx)=4x+2，若S=f2015)+久2015)+…+久2015)，则S=考点六并项求和(2012・新课标，16)数列｛an｝满足an+1+(—1)«an=2n—1，贝^｛a”｝的前60项和为,(2014•山东，19)在等差数列｛a^中，已知公差d=2,a2是勺与a4的等比中项.求数列｛an｝的通项公式；”设bn=ag，记匸-b1+b2-b3+b4-…+(T)"bn，求T2变式训练(2014•山东理，19)已知等差数列｛an｝的公差为2，前n项和为S”，且齐，S2,S4成等比数列.求数列｛an｝的通项公式；""4n令bn=(-1)n-1^a，求数列｛bn｝的前n项和Tn.nn＋1(2013・湖南，15)设Sn为数列｛an｝的前n项和，S“=(—1)na“一nDN*，贝V：a3=；S1+S2+…+S100=-

考点七数列｛|a」｝的前n项和问题1.（2011・北京，11）在等比数列｛an｝中，若a1=2，a4=—4,则公比q=；叫+闯+…+An|=变式训练（2013・浙江，19）在公差为D的等差数列｛a^中，已知a=10，且勺，2a2+2,5a3成等比数列.（1）求d，an；⑵若DVO,求|°1|+|°2|+|°3|+...+|a“|.考点八周期数列1•已知数列2008,2009,1,-2008,-2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于（）A．2008B．2010C．1D．0变式训练NnTOC\o"1-5"\h\z（2012・福建）数列｛aN｝的通项公式aN=NCOS~2，其前n项和为S"，则S2012等于（）A.1006B.2012C.503D.0考点九数列与不等式的应用1.（2014・新课标全国□,17）已知数列｛an｝满足a1=1,an十]=3a“+1.r1〕nn+（1）证明寸是等比数列，并求｛an｝的通项公式；1113（2）证明十+…+产212n（2015・浙江，20）已知数列｛an｝满足a1=|且a^]=。“一a2（nDN*）.（1）证明：“a（1）证明：“a1<―1an＋1■<2(nDN*)；⑵设数列｛笑｝的前n项和为⑵设数列｛笑｝的前n项和为S”，证明:(nDN*).<T<(n+2)—n~2(n+1)3.(2013・江西，理)正项数列｛a｝的前项和｛a｝满足：s2-(n2+n—l)s-(n2+n)二0TOC\o"1-5"\h\znnnn求数列｛an｝的通项公式an；n+15令b=一-一，数列｛b｝的前n项和为T。证明：对于任意的neN*，都有T<—n(n+2)2a2nnn64变式训练l.(2014・湖北，18)已知等差数列｛a^满足：a1=2,且a1，a2，a5成等比数列.求数列｛an｝的通项公式；”记Sn为数列｛an｝的前n项和，是否存在正整数n,使得S“>60n+800?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.2S12(2013・广东，19)设数列｛a^的前n项和为S“•已知a^l,-产=°“七一亍加一n—3,nDN*.⑴求a2的值；求数列｛an｝的通项公式；1117证明：对一切正整数n,有--+...+a~<4.12n3(2013・天津，19)已知首项为2的等比数列｛an｝的前n项和为S“(nDN*),且一2S2,S3,4S4成等差数列.求数列｛an｝的通项公式；113证明Sn+^<6(n°N*)-n(2014・广东，19)设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为S”，且Sn满足Sn—(n2+n—3)Sn—3(n2+n)=0,nDN*.求a1的值；求数列｛an｝的通项公式；证明：对一切正整数〃，有…+0(］刁)<3.1122nn

答案考点一公式法求和1.(2016•新课标全国I)已知｛an｝是公差为3的等差数列，数列｛bn｝满足片=1,b2=|,abn+]+b”十]=nb”.求｛an｝的通项公式；求｛b｝的前n项和.31【答案】(I)a二3n-1(II)-.n22X3n-1【解析】试题分析：⑴用等差数列通项公式求;(ID求出通项，再利用等比数列求和公式来求。试题解析；(D由已知,3対十尻=広岛得应血十毎=毎A=1=知=总得闻=2』所以.数列｛qj是首■项为L公差宵3的等差数列，通项公式为兔二知一L.(II)由⑴和％]+%严叭,得b林七,因此仮｝杲首项为h公比吋的等比数列•记｛朋的前科项和为必』贝」3考点：等差数列与等比数列(2013・新课标全国口，17)已知等差数列｛a^｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列.求｛an｝的通项公式；求a】+04+。?+.…+。3“2.解(1)设｛an｝的公差为d.由题意、，ah。[。仔,即(。]+10d)2=a](a]+12d).于是d(2a]+25d)=0.又a1=25，所以d=0(舍去)，d=—2.故an=—2n+27.

(2)令Sn=ai+a4+a7+-+a3n_2-由⑴知a3n_2=-6n+31，故｛a3n_2｝是首项为25,公差为一6的等差数列.从而Sn=n(a1+a3n-2)=2(_6n+56)=_3n2+28n.变式训练(2015・四川，16)设数列｛an｝(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足S=2an_ax，且a1，a2+l,a3成等差数列.求数列｛an｝的通项公式；设数列｛計的前n项和为7；,求Tn.解(1)由已知Sn=2an_a1，有an=Sn_Sn_1=2an_2an_1(；^2),即a；=2碣一1(空2),从而°2=2°1，a3=2a2=4a],又因为a1，a2+l,a3成等差数列，即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2,所以，数列｛a；｝是首项为2,公比为2的等比数列，故a；=2；.⑵由⑴得+=±，n111£1-餅]1所以T；=1+22+…+力=厂二1一石1_2(2014・福建，17)在等比数列｛a；｝中，a2=3,a5=81.求a；；设b；=log3a；，求数列｛b；｝的前；项和S；.解(1)设｛a；｝的公比为g,依题意得a、a、q=3,。］04=81,a1=1，q=3.因此，a；=3；_1.⑵因为b；=log3a；=；_b所以数列｛b所以数列｛b；｝的前；项和S；=；(b1+b；)2；2；考点二错位相减法1，(2°15^山东，理，18)已知数列｛a｝的前n项和S=3n2+8n,｛屛是等差数列，且a=b+b1-nnnnnn+1(I)求数列｛b｝的通项公式；n(II)令cn(a+1)n+1(II)令cn(a+1)n+1n—(b+2)nn的前n项和Tn.n【答案】(I)bn=3n+1；(II)T=3n-2n+2.nn

【解析】试题分析：CT）根捉％=£—总心层竽差数列肉逋顶公式求解.：fTT）植捋（T）知数列｛匚｝的迫可公式,冃月错位相润法求具前心贝和，试题解折:<I）由题意知当丹±2时,叭=兀-,注1=弘"，当川=1日寸，u-—iSj—11,所以S=6n-i5.记數列伶」旳总差打沖,日*6日*6—v2+b3所以,瓦=知+1.(II)由(I)知(II)由(I)知c=n(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)-2n+i,=c+c+c++c123n得T=3x[2x22+3x23+4x24+…+(n+1)x2n+1],n2T=3x[2x23+3x24+4x25+•••+(n+1)x2n+2],n两式作差，得—T=3x[2x22+23+24+•••+2n+1—(n+1)x2n+2]n4(2n—1)=3x[4+——(n+1)x2n+2]2—1=—3n•2n+2所以T=3n•2n+2n考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法2.（2015•天津，18）已知数列｛an｝满足an^2=qa\q为实数，且qHl）,n^N*,Q]=l,a^^L且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列.（1）求q的值和｛an｝的通项公式；

⑵设乞=0^,n^N*，求数列｛bn｝的前n项和.a2n－1解⑴由已知，有(a3+a4)—(。2+。3)=(。4+。5)—(a3+a4)，即a4—a2=a5—a3，所以a2(g—i)=a3(g—1)，又因为q工1,故°3=02=2，由。3=a卫，得q=2.n_1当n=2k—l(k^N*)时，an=a2k_i=2k-1=22；n当n=2k(k^N*)时，an=a2k=2k=22.n—1<22，n为奇数，所以，｛an｝的通项公式为an=]nnn(22，n为偶数.⑵由(1)得乞=^^=化，n^N*.na2n—12n—1设｛bn｝的前n项和为Sn，则緒以辭空右+彳退+…+⑺一DX^+nX^,2Sn=1x2r+2X22+3X23+^+(n—1)x2^7+nX2n-上述两式相减得：丄=1+2+^+^+=1+2+^+^+1n2n－12n_2n22n2n，整理得，Sn整理得，Sn=4n+22n—1n^N*・所以，数列{bn}的前n项和为4—芥1，n$N*・变式训练an+1bn1.(2014•江西，17)已知首项都是1的两个数列{a”},{b”}(b”H0,n^N*an+1bn+2bn+1bn=0.

⑴令cn=¥，求数列｛cn｝的通项公式；n⑵若bn=3n-i，求数列｛an｝的前n项和Sn解⑴因为anbn+厂％1bn+2bn+1bn=0,^判⑺司*),所以严—严2，即时1-丁2.n+1n所以数列｛cn｝是以1为首项，2为公差的等差数列，故cn=2n-1.⑵由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3"-1，于是数列｛an｝的前n项和Sn—1X3°+3X31+5X32+・・・+(2n—1)X3n-1?3Sn=1X31+3X32——(2n—3)X3n—1+(2n—1)・3n相减得一2S—1+2•(31+32+3n—1)—(2n—1)•3n——2—(2n—2)3n，所以Sn—(n—1)3n+1.2.(2014•四川，19)设等差数列｛an｝的公差为〃，点(an，b”)在函数fx)=2x的图象上(n^N*).(1)若a1——2，点(a8,4b7)在函数fx)的图象上，求数列｛a”｝的前n项和Sn；⑵若a1—1，函数fx)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2—，求数列＜牛的In前n项和Tn.解(1)由已知得，67—207，b&—2°8=4b?，有2。8=4X207—207+2.解得d—a8—a7—2.所以，S所以，Sn—na1n(n—1)2__——2n——2n+n(n—1)—n2—3n.(2)函数fx)—2x在(a2.b2)处的切线方程为y—2a2—(2a2ln2)(x—a2)，它在x轴上的截距为a它在x轴上的截距为a2__1_ln2'由题意得，a21心1—ln2—2—ln2,解得a2—2•所以d—a2—a1—1.从而an—nbn—2n.所以Tn-2+茁|3+・・・+匚+劣

卜2因此，2Tn—匚=1卜2因此，2Tn—匚=1+2+2^丰1n_12n-12n22"-1n2n+i—n—22"2"所以，2n+1－n－2n2n3.(2015•湖北,18)设等差数列｛an｝的公差为〃，前n项和为S”，等比数列｛bn｝的公比为q,已知b1_a1，b2_2，q_d，(2015•山东，18)设数列｛a(2015•山东，18)设数列｛an｝的前n项和为S”•已知2S”_3n+3.(1)求｛an｝的通项公式；"""(1)求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式；⑵当d>1时，记cn_¥，求数列｛cn｝的前n项和Tn.n[10a+45d_100，解⑴由题意有，\丿-lQ]d_2，12a+9d_20，即仃_2，a_1，解得丄d_9,或］—2da_1，解得丄a_2n－1，nb_2a_2n－1，nb_2n－1n⑵n—1lbn_9炒•(2)由d>1，知a_2(2)由d>1，知a_2n－1，b_2n－1，nn2n－1c_-Cn2n-1于是Tn_1€+22+7232n—12n—111,3,57,9,2n—3,2n—1„2T"_2+22+23+24+25++2n—1+2n•②①－②可得11112n－12n+32Tn_2+2+22++2^2矿_32n~,

若数列｛bn｝满足a^nT^n，求｛—｝的前“项和几解(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1T3＋3，故a1T3，当n〉1时，2S=3n-i+3,n－1/r