【高考风向标】年高考数学一轮复习 第五章 第5讲 不等式的应用 理

考纲要求考纲研读1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.近几年的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度．主要有两种方式：(1)线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围．(2)基本不等式的应用：一是侧重“正”、“定”、“等”条件的满足条件；二是用于求函数或数列的最值.第5讲不等式的应用编辑ppt1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_____(当且仅当a＝b时取“＝”号)．2ab2．如果a，b是正数，那么a＋b

2≥____(当且仅当a＝b时取“＝”号)． 3．可以将两个字母的重要不等式推广：____________________________.编辑ppt

以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作H)，几何平均数(记作G)，算术平均数(记作A)，平方平均数(记作Q)，即H≤G≤A≤Q，各不等式中等号成立的条件都是a＝b.4．常用不等式还有：ab＋bc＋ca

(1)a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥_______________(当且仅当a＝b＝c时，取等号)．编辑ppt

1．某债券市场常年发行三种债券，A种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B种贴水债券面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C种面值为1000元，半年到期本息和为1020元．设这三种债券的年收益率分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是()CA．a＝c且a＜bC．a＜c＜bB．a＜b＜cD．c＜a＜b编辑ppt3

3．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为________.2000编辑ppt

5．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地路线长400千米，为了安全两辆货车最小间距不得小于千米，那么物资运到B市的时间关于货车速度的函数关系式应为__________________．4．已知函数f(x)＝x＋

ax－2(x>2)的图象过点A(3,7)，则此函数的最小值是__.6编辑ppt考点1利用不等式进行优化设计

例1：设计一幅宣传画，要求画面面积4840cm2，画面的上，下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白．怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张最小？编辑ppt

利用不等式解实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题．注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最大．编辑ppt【互动探究】

1．某村计划建造一个室内面积为800m2

的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧)D内墙保留3m宽的空地．则最大种植面积是( A．218m2

B．388m2

C．468m2

D．648m2编辑ppt考点2线性规划进行优化设计

例2：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？编辑ppt

解析：设电视台每周应播映宣传片甲x次，宣传片乙y次，

4x＋2y≤16，总收视观众为z万人．则有如下条件：0.5x＋y≥3.5，

x，y∈N.

目标函数z＝60x＋20y，作出满足条件的区域：如图D10.图D10

由图解法可得： 当x＝3，y＝2时，zmax＝220.

答：电视台每周应播映宣传片甲3次，宣传片乙2次才能使得收视观众最多．编辑ppt利用线性规划研究实际问题的基本步骤是：①应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数；②用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解；③还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．

本题完全利用图象，对作图的准确性和精确度要求很高，在现实中很难做到，为了得到准确的答案，建议求出所有边界的交点代入检验．编辑ppt【互动探究】4编辑ppt考点3用基本不等式处理实际问题

例3：(2011年湖北3月模拟)某企业用49万元引进一条年产值25万元的生产线，为维护该生产线正常运转，第一年需要各种费用6万元，从第二年起，每年所需各种费用均比上一年增加2万元．(1)该生产线投产后第几年开始盈利(即投产以来总收入减去成本及各年所需费用之差为正值)?(2)该生产线生产若干年后，处理方案有两种：方案①：年平均盈利达到最大值时，以18万元的价格卖出；方案②：盈利总额达到最大值时，以9万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？请说明理由．编辑ppt

解题思路：根据题意建立函数模型，利用基本不等式求解．编辑ppt

当n＝7时，年平均盈利最大． 若此时卖出，共获利6×7＋18＝60(万元)． 方案②：y＝－n2＋20n－49＝―(n―10)2＋51.

当且仅当n＝10时，即该生产线投产后第10年盈利总额最大，若此时卖出，共获利51＋9＝60(万元)． ∵两种方案获利相等，但方案②所需的时间长， ∴方案①较合算．编辑ppt【互动探究】

3．(2011年北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备

产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件编辑ppt答案：B编辑ppt易错、易混、易漏10．利用基本不等式时忽略等号成立的条件

例题：某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图5－5－1)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．图5－5－1(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；编辑ppt

(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．编辑ppt编辑ppt

【失误与防范】利用均值不等式时要注意符号成立的条件及题目的限制条件．编辑ppt

数学应用问题，就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题．随着新课程标准的改革和素质教育的进一步推进，要求学生应用所学知识解决实际问题的趋势日益明显，近几年的高考试题增强了对密切