概率论与数理统计浙大四版节市公开课一等奖省赛课获奖课件

第二章随机变量及其分布

随机变量离散性随机变量及其分布随机变量分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量函数分布概率论与数理统计浙大四版节第1页

一、随机变量概念产生在实际问题中，随机试验结果能够用数量来表示，由此就产生了随机变量概念.随机试验结果数量化概率论与数理统计浙大四版节第2页1、有些试验结果本身与数值相关（本身就是一个数）.比如，掷一颗骰子面上出现点数；七月份北京最高温度；昆虫产卵数；概率论与数理统计浙大四版节第3页2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们能够引进一个变量来表示它各种结果.也就是说，把试验结果数值化.

例1在一个袋子中有编号为1，2，33只球，作放回抽样，抽球两次，观察两只球号码和

X—两只球号码和

;e—样本点

X=X(e)概率论与数理统计浙大四版节第4页例2抛一枚硬币3次，观察出现正面次数X—出现正面次数

;e—样本点

X=X(e)—定义在样本空间S函数样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX值32221110概率论与数理统计浙大四版节第5页定义：随机试验样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上单值实值函数，称X=X(e)为随机变量e.X(e)R注意：有时随机试验结果就是一个数，可令X(e)=e，则X=X(e)为随机变量概率论与数理统计浙大四版节第6页这种对应关系在数学上了解为定义了一个实值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到函数一样吗？概率论与数理统计浙大四版节第7页（1）它随试验结果不一样而取不一样值，因而在试验之前只知道它可能取值范围，而不能预先必定它将取哪个值.（2）因为试验结果出现含有一定概率，于是这种实值函数取每个值也有一定概率.随量机变简记为r.v.概率论与数理统计浙大四版节第8页而表示随机变量所取值时,普通采取小写字母x,y,z等.随机变量通惯用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示概率论与数理统计浙大四版节第9页

比如，从某一学校随机选一学生，测量他身高.我们能够把可能身高看作随机变量X,然后我们能够提出关于X各种问题.

如

P{X>1.7}=？P{X≤1.5}=?P{1.5<X<1.7}=?概率论与数理统计浙大四版节第10页

这时,要么x≥1.7米，要么x<1.7米，再去求P{x≥1.7米}就没有什么意义了.一旦我们实际选定了一个学生并量了他身高之后，我们就得到X一个详细值，记作x.概率论与数理统计浙大四版节第11页有了随机变量,随机试验中各种事件，就能够经过随机变量关系式表示出来.

二、引入随机变量意义如：单位时间内某电话交换台收到呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{没有收到呼叫}{X=0}概率论与数理统计浙大四版节第12页随机变量概念产生是概率论发展史上重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律研究，就由对事件及事件概率研究扩大为对随机变量及其取值规律研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律概率论与数理统计浙大四版节第13页例2抛一枚硬币3次，观察出现正面次数X—出现正面次数

;e—样本点

样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX值32221110A—出现正面2次

;P(A)=3/8

A—{X=2}，P{X=2}=3/8

P{X≤1}=?概率论与数理统计浙大四版节第14页三、随机变量分类

通常分为两类：如“取到次品个数”，“收到呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量全部取值能够逐一一一列举比如，“电视机寿命”，全部可能取值不但无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.概率论与数理统计浙大四版节第15页第二章随机变量及其分布随机变量

离散性随机变量及其分布随机变量分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量函数分布概率论与数理统计浙大四版节第16页

设X是一个离散型随机变量，它可能取值是x1,x2,….为了描述随机变量X，我们不但需要知道随机变量X取值，而且还想知道X取每个值概率.概率论与数理统计浙大四版节第17页

这么就掌握了X这个随机变量取值概率规律.从中任取3个球取到白球数X是一个随机变量X可能取值是0,1,2取每个值概率为概率论与数理统计浙大四版节第18页其中(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）定义：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取一切可能值，X取各个可能值概率，即事件{X=xk}概率为离散型随机变量X概率分布或分布律用这两条性质判断一个函数是否是分布律一、离散型随机变量概率分布定义概率论与数理统计浙大四版节第19页二、表示方法（1）列表法：（2）公式法X~再看例1任取3个球X为取到白球数X可能取值是0,1,2Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…概率论与数理统计浙大四版节第20页其中(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）用这两条性质判断一个函数是否是分布律概率论与数理统计浙大四版节第21页解:依据概率函数性质:P{X=k}≥0,

a≥0从中解得欲使上述函数为概率函数应有这里用到了常见幂级数展开式例1.设随机变量X分布律为：k=0,1,2,…,试确定常数a.概率论与数理统计浙大四版节第22页三、举例解：X可取0、1、2、3、4例2.

一汽车沿一街道行驶，需要经过四组信号灯，每组信号灯以1/2概率允许或禁止汽车经过.以X表示该汽车首次停下时，已经过信号灯组数（各信号灯工作时相互独立），求X分布律.X02143pk0.50.250.1250.06250.0625概率论与数理统计浙大四版节第23页例3.某篮球运动员投篮投中概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X概率分布.解：X可取0、1、2为值

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81

且P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1概率论与数理统计浙大四版节第24页练习：P55Ex2（2）X可取1,…,6或X13254pk11/369/367/365/363/3661/36概率论与数理统计浙大四版节第25页四、三种常见离散型随机变量(一)（0-1）分布，也称为两点分布随机变量X只可能取0与1两个值，分布律为则称X服从（0-1）分布或两点分布，分布律也可写成X10pk1-pp概率论与数理统计浙大四版节第26页E是一个只有两种可能结果随机试验,用S={e1,e2}表示其样本空间.

P({e1})=p,P({e2})=1-p

起源概率论与数理统计浙大四版节第27页

200件产品中,有196件是正品,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若要求例4则P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02

X01pk0.020.98概率论与数理统计浙大四版节第28页(二)伯努利试验、二项分布伯努利试验：试验E只有两个可能结果A及1重伯努利试验就是（0-1）分布试验起源。n重伯努利试验：将E独立重复进行n次，这么 一串重复独立试验注意试验重复性和独立性概率论与数理统计浙大四版节第29页比如：设生男孩概率为p,生女孩概率为q=1-p，随机抽查出生4个婴儿令X——4个婴儿中“男孩”个数.X分布律是：X可取值0,1,2,3,4.概率论与数理统计浙大四版节第30页

用X表示n重伯努利试验中事件A出现次数，则X是离散型随机变量，分布律：称X服从参数为n和p二项分布，记作X~b(n,p)显然n=1时，X服从两点分布。概率论与数理统计浙大四版节第31页例5将一枚均匀骰子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点次数X概率分布是：不难求得，概率论与数理统计浙大四版节第32页注:伯努利试验（伯努利概型）试验结果没有等可能要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述是n重贝努里试验中出现“成功”次数X概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果（3）各次试验相互独立.两个互逆结果能够是成功-失败，合格-不合格等概率论与数理统计浙大四版节第33页例6某类灯泡使用时数在1500小时以上视为正品.已知有一大批这类灯泡,其次品率是0.2.随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品概率.解:设X为20只灯泡中次品个数,则.X~b(20,0.2)，概率论与数理统计浙大四版节第34页对于固定n及p，当k增加时,概率P{X=k}先是随之增加直至到达最大值,随即单调降低.二项分布图形特点：X~b(n,p)n=10,p=0.7nPkn=13,p=0.5Pkn0概率论与数理统计浙大四版节第35页例7某人进行射击，设每次射击命中率为0.2，独立射击400次，试求最少击中两次概率解:设X为击中次数,则.X~b(400,0.2)，概率论与数理统计浙大四版节第36页例880台同类型设备，各台工作独立，发生故障概率都是0.01，且一台设备故障只能由一人处理，考虑两种配置维修工人方法，其一是由4人维修，每人负责20台；其二是由3人共同维修80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修概率大小。解:设X为第一个方法某个人负责机器同一时间故障台数

X~b(20,0.01)，Y为第二种方法全部机器中同一时间故障台数Y~b(80,0.01)，概率论与数理统计浙大四版节第37页(三)泊松分布设随机变量X全部可能取值为0,1,2,…,且分布律为：其中λ>0是常数,则称X服从参数为λ泊松分布,记作X~π(λ).概率论与数理统计浙大四版节第38页例9某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼次数X服从参数=3泊松分布.求:(1)一分钟内恰好收到3次寻呼概率.(2)一分钟内收到2至5次寻呼概率.解:

(1)P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240(2)P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.7169概率论与数理统计浙大四版节第39页泊松定理（泊松分布迫近二项分布）概率论与数理统计浙大四版节第40页求二项分布概率近似计算例：某批产品次品率为0.1%，各产品为次品相互独立，求1000件产品中最少2件次品概率。解：X为次品数，X~b(1000,0.001)概率论与数理统计浙大四版节第41页第二章随机变量及其分布随机变量离散性随机变量及其分布

随机变量分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量函数分布概率论与数理统计浙大四版节第42页对于非离散型随机变量X，往往考虑以下事件发生概率只需研究概率论与数理统计浙大四版节第43页

———|——>x一、定义：设

X

是一个r.v.，x是一任意实数，称为X

分布函数.记作F

(x).

假如将X

看作数轴上随机点坐标，那么分布函数F(x)值就表示X落在区间概率.概率论与数理统计浙大四版节第44页

由定义，对任意实数x1<x2，X落在区间（x1,x2]概率为：P{x1<X≤x2

}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)

所以，只要知道了随机变量X分布函数，它统计特征就能够得到全方面描述.概率论与数理统计浙大四版节第45页分布函数性质（1）x1<x2,总有F(x1)≤F(x2)(单调非减性)（2）F(x)是一个右连续函数（3）xR,总有0≤F(x)≤1(有界性),且概率论与数理统计浙大四版节第46页主要公式概率论与数理统计浙大四版节第47页离散型随机变量分布函数计算举例例1随机变量X分布律为X-132pk1/41/21/4求X分布函数，并求P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}，P{2≤X≤3}概率论与数理统计浙大四版节第48页X-132pk1/41/21/4求X分布函数，并求P{X≤1/2},当x<-1时，F(x)=0F(x)=P(X≤

x)解:当-1≤x<2时，F(x)=P{X=-1}=1/4当2≤x<3时，F(x)=P{X=-1}+P{X=2} =3/4当3≤x