变式教学与变异理论课件

变式教学与变异理论

陕西教育学院数理工程系主任张雄教授编辑ppt变式教学与变异理论

陕西教育学院数理工程系主任张雄教授1

一、背景：三个相关的研究二、聚焦变式教学

三、变式教学的理论建构（变异理论）

编辑ppt编辑ppt2一、背景：三个相关的研究1、多角度理解知识：中美数学教师对数学知识理解的比较研究

马立平（Ma,1999)发现，中国教师强调对概念进行多角度理解，而美国教师则比较重视操作过程。例如，美国教师往往只知道如何计算，但不清楚相关算法的合理性；中国教师不仅注意对算法的熟练掌握，也非常重视如何才能更为迅速、更为合理地去完成计算。在教学中注意提倡多种不同的算法和多种不同理解被认为是“中国数学教学的一个重要特征。”编辑ppt一、背景：三个相关的研究1、多角度理解知识：中美数学32、有层次推进教学：对中国教学模式和新教师入职教育的研究

彭恩霖（Paine,1990)根据她1986-1987年对中国教学的实地研究，把中国教学法描述为“鉴赏家”模式。这一模式的特征是，课堂在教师言语控制下由浅入深逐层推进，学生则始终作为听众。她认为，中国课堂教学用清晰优美的语言把知识由浅入深地传授给学生，这一过程的展开包含着艺术的成分。近来，基于对上海教师入职教育的定性研究，她认为通过合作探究的在职教师培训实践，在一起讨论教学重点、难点和关键，对中国数学教师“深刻理解数学”有很大作用。编辑ppt2、有层次推进教学：对中国教学模式和新教师入43、寻找不同的问题解决途径：对东西方数学课堂教学的比较研究

上世纪80年代，密歇根大学斯蒂文森（Stevenson)领导的研究小组对中、日、美三国学生的数学成绩进行了一系列比较研究。发现来自日本、中国大陆和台湾的学生数学能力远高于美国学生。这些研究是基于对800节小学数学课的课堂观察，采用系统时间抽样和叙事观察的方法。有以下结论：在东亚课堂中，同一数学概念用不同方法表征的实践普遍比美国课堂多。中日两国教师通常会在一个抽象概念之后提供一些具体操作的巩固练习，美国教师则较少这么做。学生数学思考的质量依赖于学生对问题的反应和教师如何提出问题两个方面。与东亚相比，美国教师不太会采用什么技巧去激发学生的建设性思考和对数学的概念性理解。编辑ppt3、寻找不同的问题解决途径：对东西方数学课堂5二、聚焦变式教学

先以“青浦实验”有关变式教学的实验和研究为基础，介绍“变式教学”的概念和特征。变式教学在中国由来已久。

顾泠沅（1981）系统地分析和综合了变式教学的概念，确认和说明了两种变式：“概念性变式”和“过程性变式”。

变式教学是在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一。即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质属性。目的在于使学生理解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。编辑ppt二、聚焦变式教学先以“青浦实验61、概念性变式：对概念的多角度理解概念性变式主要包括以下两类变式：A.改变概念的外延，称为概念变式；B.改变一些能混淆概念外延的属性，比如举反例，称为非概念变式。目的是让学生获得对概念的多角度理解。下面的例子可以说明这两种变式的作用。编辑ppt1、概念性变式：对概念的多角度理解概念性变式主要包括以下两类7（1）通过直观或具体的变式引入概念

以“异面直线”概念的教学为例。

难点有：概念抽象不易理解；异面直线属于三维图象，用片平面直观图去表示会造成视觉上的失真，对概念的对象即外延就难以鉴别。

有经验的教师通常会借助两类变式：直观材料；图形变式作为直观材料和抽象概念之间的过渡。编辑ppt（1）通过直观或具体的变式引入概念

以“异面直8（2）通过非标准形式突出概念的本质属性标准图形非标准图形垂直菱形三角形的高几何概念的标准和非标准的图形变式

既然数学概念包含清晰的外延，掌握一个概念就意味着能够分辨一个对象是否属于概念的外延集合。因此，一个有效途径就是通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。在概念的外延集合中，尽管从逻辑角度看，每个对象都是等价的，其实有些对象具有特殊的地位。比如，由于受到感性经验的影响，或者在引入概念时先入为主，进而成为相关概念的标准形式。标准形式虽然有利于学生对概念的准确把握，但也很容易限制思维的灵活性，甚至缩小概念的外延。解决这个问题的有效方法是充分利用非标准形式，通过变换概念的非本质属性，突出其本质属性。编辑ppt（2）通过非标准形式突出概念的本质属性标准图形非标准图形垂直9（3）非概念变式

概念的内涵和外延是对立统一的。内涵明确则外延清晰，反之亦然。因此概念教学需明晰概念的内涵，并对概念的外延集合有一个界定。不同概念之间的关系可以用下图表示。

比如，B是A的上位概念，C是A的下位概念，A和D是相交关系，A和E是矛盾关系。要明确概念的外延就必须划清概念与其周边概念之间的界限。编辑ppt（3）非概念变式比如，B是A的上位概念，C是10

使用“非概念变式”可以有效达到这一目的。比如，通过比较非概念图形和概念图形，可以直观地理解概念的本质属性。如下图。编辑ppt使用“非概念变式”可以有效达到这一目的。比如，通过11

非概念图形变式的形式有很多，反例变式是常用的一种，如下图。与半径垂直的直线是圆的切线吗？对角线互相垂直的四边形一定是菱形吗？编辑ppt非概念图形变式的形式有很多，反例变式是常用的一种，122、过程性变式：数学活动的有层次推进

数学教学包括两种类型的活动：一是教陈述性知识（即概念），二是教程序性知识（即过程）。由于程序性知识（问题解决和元认知策略）是动态的，采取静止的概念性变式不能促进其学习过程。数学活动过程的基本特征是层次性，它包含为解决问题而采取的一系列不同步骤和策略。采取过程性变式，学生能够解决问题，并形成不同概念之间的层次关系或获得多种方法。过程性变式的作用：（1）促进概念的形成当概念是静止对象时，概念性变式是卓有成效的教学方法。然而，如果概念是通过一系列过程的发展而形成的，那么对过程的理解也是掌握概念的重要方面。为了掌握概念，允许学生体验概念的形成过程，尤其是引入新概念的必要性，是很有帮助的。编辑ppt2、过程性变式：数学活动的有层次推进数学教学包括13

例如方程概念的教学。如果只是让学生记住定义“含有未知数的等式叫方程”，并给出一些具体的概念性变式让学生鉴别的话，学生通常能够鉴别哪些是方程，哪些不是，但这时学生对方程的理解是形式的、外延的，并没有真正理解概念的本质属性。可采用“过程性变式”来帮助学生逐步建立方程的概念。铺垫一：用具体的事物表示未知量。“小明花了两元钱买了三块橡皮，结果找给他两角钱。问每块橡皮多少钱？”

=2角2元—或2元—3=2角铺垫二：用间记符号表示未知量2元—3x=2角或20––3x=2

以上三种表达形式，反映了代数符号系统发展的三个阶段：象形代数，简写代数和符号代数。过程性变式和概念性变式有本质的区别。前者的目的是提供逐步形成概念的过程，而后者是为了从多种角度来理解某一概念。铺垫三：用符号“”替换x:20–3=2编辑ppt例如方程概念的教学。=2角2元—或2元14（2）问题解决的铺垫数学问题解决的一个基本思路是把没有解决的问题化归为已经解决的问题，复杂的问题化归为简单的问题（Polya,1945).由于在未解决问题（复杂问题）和解决了的问题之间没有清晰的联系，因此有必要为完成这种化归设置一些路径。

已知问题变式1变式2未知问题化归化归化归推出推出推出问题解决的变式

运用变式为化归作铺垫是中国教师引导学生进行问题解决的关键环节。学生的数学活动经验在一定程度上就体现在变式问题的丰富性以及化归策略的多样性上。编辑ppt（2）问题解决的铺垫已知问题变式1变式2未知问题化归化归化归15（3）构建数学经验体系设计过程性变式的目的是增加活动途径的多样性和活动过程的层次性。每个数学活动都包含一个或一系列过程性变式，这些变式包括化归或探索的步骤和策略。所有这些变式构成一个层次策略的经验系统，可内化为认知结构的一个重要部分。

构成特定经验系统的变式来自问题解决的三个维度：改变某一问题；同一问题的不同解决过程作为变式，形成一个问题的多种解决方法；同一方法解决多种问题，将某一方法用于解决一类相似的问题。

编辑ppt（3）构建数学经验体系编辑ppt16概念性变式与本质联系

通过使用“概念性变式”，学生可以多角度地理解概念：从具体到抽象，从特殊到一般，通过排除背景干扰突出概念的本质属性，阐明概念的内涵。这样，通过概念性变式教学，帮助学生理解概念的本质和建立本质的联系。过程性变式与合理联系通过使用“过程性变式”，学生可以理解知识的起源以及用什么方法和在什么地方运用它们。这样可建立良好的知识结构。通过使用这种变式，帮助学生形成概念，解决问题，构建一个活动经验系统，进一步可以帮助学生理解知识的不同组成部分和完善知识结构。编辑ppt概念性变式与本质联系通过使用“概念性变式”17

三、变式教学的理论建构（变异理论）

1、Dienes关于数学教学的理论

Dienes受皮亚杰(Piaget,1952)理论熏陶，并曾与布鲁纳（Bruner)在哈佛大学一起从事数学实验项目，Dienes形成了他的一套数学学习理论。他认为，数学是与数有关的概念（纯数学）和现实世界（应用数学）之间的结构关系。学习数学意味着学会这种联系，其中，既包括它们的符号体系，也包括应用结果来解决现实问题的能力。Dienes（1973）提出四条数学学习的基本原理：（1）动态原理；（2）建构原理；（3）数学可变性原理；（4）感知可变性原理。

编辑ppt三、变式教学的理论建构（变异理论）编辑pp18数学可变性原理是指，在学习含有变量的概念时，应该体会尽可能多的变化，给予学生最大量的经验和结构来促进概念的发展。这里似乎有一个预设，希望在保持概念完整性的情况下，使所有的变量都发生变化。感知可变性原理是指，提供看上去很不一样，但实质是同一概念结构的问题，它们可以帮助学生从千资百态的载体中辨析出概念的结构。也就是说，在不改变概念结构的同时使外部表征多样化。学习者在这些不同的表征中发现共性，这种共性特征就是数学概念。编辑ppt数学可变性原理是指，在学习含有变量的概念时，应该体会尽可19

2、马顿的变异理论（1）学习的意义

马顿（Marton)理论源于30年来对不同领域学习的研究，至今仍在发展。（如，马顿等人2004年的论述）

我们对世界的看法决定我们的行为。因此，如果我们希望学生能够有效地应对世界，我们就应该使他们能有效地认识这个世界。有效的方法就是能分辨事物的关键特征并能同时聚焦于这个特征。“关键特征”与学习者要获得的东西有重要的联系。学习者在某种情境下是否能够分辨关键特征并学习去分辨，依赖于这个情境中变异/不变异的两个方面。（因为我们仅只能分辨变异的部分）编辑ppt2、马顿的变异理论（1）学习的意义编辑20

比如：如果我们生活在一个全是绿色的世界上，我们就不能明白“绿色是什么”，也就不能掌握绿色的概念。如果我们每时每刻都一样幸福，则我们也就无法感到幸福。如果我们才开始喝第一杯酒，我们就无法体会这种酒和其它酒的区别（无变异），也只能体会它和以前喝过的饮料的区别（变异）。（如此说来，才喝第一次酒和一直喝同一种酒是一样的）

重要的不是关注人和事的特征，我们只注意人和事的差异，或人和事特征的不同。例如，我们或许认为某人的特征是黑、高、聪明，但这注意的是这一特殊个体与其他个体之间的差别。如果每个人都一样黑、一样高、一样聪明，那么这些特征都会消失。当我们第一次注意某人的某个特征时，确实会感到他有这样或那样的特征，这实际上是关注到此人与我们以前认识的人之间的差别。编辑ppt比如：如果我们生活在一个全是绿色的世界上，我们21学习源于变异。学习就是鉴别。有比较（差异）才能鉴别。

“以某种方式学习认识事物或现象就是从对象中区分出一些主要的特征并将注意力同时聚焦于这些特征”。比如，小孩在初学认字时，常分不清“金”与“全”、“令”与“今”、“于”与“干”、“力”与“刀”、“内”与“肉”、“我”与“找”、“草”与“革”、“角”与“用”、“夏”与“复”、“西”与“四”、“生”与“牛”等等。鉴别依赖于对差异的认识。编辑ppt学习源于变异。学习就是鉴别。有比较（差异）才能鉴别。22

主体所能同时经验到的关于对象的各个方面的变异的维数直接决定了可能的学习空间。即在各个情景下学生可能经验到什么样的变异应被看成对于学习活动的最大限制。教师应当通过变异维数的扩展引导学生更好地去认识对象的各个方面。只有通过体验变异，才能为未来的变异作准备。所以，与重复练习的数量相比，关注练习中的变异性质应该更为重要。编辑ppt主体所能同时经验到的关于对象的各个方面的变异的维数23

（2）变异/不变异模式常用的变异/不变异模式是所谓的“一般化”。不变的是概念、解法等，变的则是对应于概念的不同例子或者解法应用于不同的个案。例子或个案中，焦点在于什么是不变的，其思想是把问题中概念或解法的关键性质从其他不相关的因素（例子中的其他特征）中析离出来。

编辑ppt（2）变异/不变异模式编辑ppt24谢谢大家！编辑ppt谢谢大家！编辑ppt25变式教学与变异理论

陕西教育学院数理工程系主任张雄教授编辑ppt变式教学与变异理论

陕西教育学院数理工程系主任张雄教授26

一、背景：三个相关的研究二、聚焦变式教学

三、变式教学的理论建构（变异理论）

编辑ppt编辑ppt27一、背景：三个相关的研究1、多角度理解知识：中美数学教师对数学知识理解的比较研究

马立平（Ma,1999)发现，中国教师强调对概念进行多角度理解，而美国教师则比较重视操作过程。例如，美国教师往往只知道如何计算，但不清楚相关算法的合理性；中国教师不仅注意对算法的熟练掌握，也非常重视如何才能更为迅速、更为合理地去完成计算。在教学中注意提倡多种不同的算法和多种不同理解被认为是“中国数学教学的一个重要特征。”编辑ppt一、背景：三个相关的研究1、多角度理解知识：中美数学282、有层次推进教学：对中国教学模式和新教师入职教育的研究

彭恩霖（Paine,1990)根据她1986-1987年对中国教学的实地研究，把中国教学法描述为“鉴赏家”模式。这一模式的特征是，课堂在教师言语控制下由浅入深逐层推进，学生则始终作为听众。她认为，中国课堂教学用清晰优美的语言把知识由浅入深地传授给学生，这一过程的展开包含着艺术的成分。近来，基于对上海教师入职教育的定性研究，她认为通过合作探究的在职教师培训实践，在一起讨论教学重点、难点和关键，对中国数学教师“深刻理解数学”有很大作用。编辑ppt2、有层次推进教学：对中国教学模式和新教师入293、寻找不同的问题解决途径：对东西方数学课堂教学的比较研究

上世纪80年代，密歇根大学斯蒂文森（Stevenson)领导的研究小组对中、日、美三国学生的数学成绩进行了一系列比较研究。发现来自日本、中国大陆和台湾的学生数学能力远高于美国学生。这些研究是基于对800节小学数学课的课堂观察，采用系统时间抽样和叙事观察的方法。有以下结论：在东亚课堂中，同一数学概念用不同方法表征的实践普遍比美国课堂多。中日两国教师通常会在一个抽象概念之后提供一些具体操作的巩固练习，美国教师则较少这么做。学生数学思考的质量依赖于学生对问题的反应和教师如何提出问题两个方面。与东亚相比，美国教师不太会采用什么技巧去激发学生的建设性思考和对数学的概念性理解。编辑ppt3、寻找不同的问题解决途径：对东西方数学课堂30二、聚焦变式教学

先以“青浦实验”有关变式教学的实验和研究为基础，介绍“变式教学”的概念和特征。变式教学在中国由来已久。

顾泠沅（1981）系统地分析和综合了变式教学的概念，确认和说明了两种变式：“概念性变式”和“过程性变式”。

变式教学是在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一。即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质属性。目的在于使学生理解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。编辑ppt二、聚焦变式教学先以“青浦实验311、概念性变式：对概念的多角度理解概念性变式主要包括以下两类变式：A.改变概念的外延，称为概念变式；B.改变一些能混淆概念外延的属性，比如举反例，称为非概念变式。目的是让学生获得对概念的多角度理解。下面的例子可以说明这两种变式的作用。编辑ppt1、概念性变式：对概念的多角度理解概念性变式主要包括以下两类32（1）通过直观或具体的变式引入概念

以“异面直线”概念的教学为例。

难点有：概念抽象不易理解；异面直线属于三维图象，用片平面直观图去表示会造成视觉上的失真，对概念的对象即外延就难以鉴别。

有经验的教师通常会借助两类变式：直观材料；图形变式作为直观材料和抽象概念之间的过渡。编辑ppt（1）通过直观或具体的变式引入概念

以“异面直33（2）通过非标准形式突出概念的本质属性标准图形非标准图形垂直菱形三角形的高几何概念的标准和非标准的图形变式

既然数学概念包含清晰的外延，掌握一个概念就意味着能够分辨一个对象是否属于概念的外延集合。因此，一个有效途径就是通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。在概念的外延集合中，尽管从逻辑角度看，每个对象都是等价的，其实有些对象具有特殊的地位。比如，由于受到感性经验的影响，或者在引入概念时先入为主，进而成为相关概念的标准形式。标准形式虽然有利于学生对概念的准确把握，但也很容易限制思维的灵活性，甚至缩小概念的外延。解决这个问题的有效方法是充分利用非标准形式，通过变换概念的非本质属性，突出其本质属性。编辑ppt（2）通过非标准形式突出概念的本质属性标准图形非标准图形垂直34（3）非概念变式

概念的内涵和外延是对立统一的。内涵明确则外延清晰，反之亦然。因此概念教学需明晰概念的内涵，并对概念的外延集合有一个界定。不同概念之间的关系可以用下图表示。

比如，B是A的上位概念，C是A的下位概念，A和D是相交关系，A和E是矛盾关系。要明确概念的外延就必须划清概念与其周边概念之间的界限。编辑ppt（3）非概念变式比如，B是A的上位概念，C是35

使用“非概念变式”可以有效达到这一目的。比如，通过比较非概念图形和概念图形，可以直观地理解概念的本质属性。如下图。编辑ppt使用“非概念变式”可以有效达到这一目的。比如，通过36

非概念图形变式的形式有很多，反例变式是常用的一种，如下图。与半径垂直的直线是圆的切线吗？对角线互相垂直的四边形一定是菱形吗？编辑ppt非概念图形变式的形式有很多，反例变式是常用的一种，372、过程性变式：数学活动的有层次推进

数学教学包括两种类型的活动：一是教陈述性知识（即概念），二是教程序性知识（即过程）。由于程序性知识（问题解决和元认知策略）是动态的，采取静止的概念性变式不能促进其学习过程。数学活动过程的基本特征是层次性，它包含为解决问题而采取的一系列不同步骤和策略。采取过程性变式，学生能够解决问题，并形成不同概念之间的层次关系或获得多种方法。过程性变式的作用：（1）促进概念的形成当概念是静止对象时，概念性变式是卓有成效的教学方法。然而，如果概念是通过一系列过程的发展而形成的，那么对过程的理解也是掌握概念的重要方面。为了掌握概念，允许学生体验概念的形成过程，尤其是引入新概念的必要性，是很有帮助的。编辑ppt2、过程性变式：数学活动的有层次推进数学教学包括38

例如方程概念的教学。如果只是让学生记住定义“含有未知数的等式叫方程”，并给出一些具体的概念性变式让学生鉴别的话，学生通常能够鉴别哪些是方程，哪些不是，但这时学生对方程的理解是形式的、外延的，并没有真正理解概念的本质属性。可采用“过程性变式”来帮助学生逐步建立方程的概念。铺垫一：用具体的事物表示未知量。“小明花了两元钱买了三块橡皮，结果找给他两角钱。问每块橡皮多少钱？”

=2角2元—或2元—3=2角铺垫二：用间记符号表示未知量2元—3x=2角或20––3x=2

以上三种表达形式，反映了代数符号系统发展的三个阶段：象形代数，简写代数和符号代数。过程性变式和概念性变式有本质的区别。前者的目的是提供逐步形成概念的过程，而后者是为了从多种角度来理解某一概念。铺垫三：用符号“”替换x:20–3=2编辑ppt例如方程概念的教学。=2角2元—或2元39（2）问题解决的铺垫数学问题解决的一个基本思路是把没有解决的问题化归为已经解决的问题，复杂的问题化归为简单的问题（Polya,1945).由于在未解决问题（复杂问题）和解决了的问题之间没有清晰的联系，因此有必要为完成这种化归设置一些路径。

已知问题变式1变式2未知问题化归化归化归推出推出推出问题解决的变式

运用变式为化归作铺垫是中国教师引导学生进行问题解决的关键环节。学生的数学活动经验在一定程度上就体现在变式问题的丰富性以及化归策略的多样性上。编辑ppt（2）问题解决的铺垫已知问题变式1变式2未知问题化归化归化归40（3）构建数学经验体系设计过程性变式的目的是增加活动途径的多样性和活动过程的层次性。每个数学活动都包含一个或一系列过程性变式，这些变式包括化归或探索的步骤和策略。所有这些变式构成一个层次策略的经验系统，可内化为认知结构的一个重要部分。

构成特定经验系统的变式来自问题解决的三个维度：改变某一问题；同一问题的不同解决过程作为变式，形成一个问题的多种解决方法；同一方法解决多种问题，将某一方法用于解决一类相似的问题。

编辑ppt（3）构建数学经验体系编辑ppt41概念性变式与本质联系

通过使用“概念性变式”，学生可以多角度地理解概念：从具体到抽象，从特殊到一般，通过排除背景干扰突出概念的本质属性，阐明概念的内涵。这样，通过概念性变式教学，帮助学生理解概念的本质和建立本质的联系。过程性变式与合理联系通过使用“过程性变式”，学生可以理解知识的起源以及用什么方法和在什么地方运用它们。这样可建立良好的知识结构。通过使用这种变式，帮助学生形成概念，解决问题，构建一个活动经验系统，进一步可以帮助学生理解知识的不同组成部分和完善知识结构。编辑ppt概念性变式与本质联系通过使用“概念性变式”42

三、变式教学的理论建构（变异理论）

1、Dienes关于数学教学的理论

Dienes受皮亚杰(Piaget,1952)理论熏陶，并曾与布鲁纳（Bruner)在哈佛大学一起从事数学实验项目，Dienes形成了他的一套数学学习理论。他认为，数学是与数有关的概念（纯数学）和现实世界（应用数学）之间的结构关系。学习数学意味着学会这种联系，其中，既包括它们的符号体系，也包括应用结果来解决现实问题的能力。Dienes（1973）提出四条数学学习的基本原理：（1）动态原理；（2）建构原理；（3）数学可变性原理；（4）感知可变性原理。

编辑ppt三、变式教学的理论建构（变异理论）编辑pp43数学可变性原理是指，在学习含有变量的概念时，应该体会尽可能多的变化，给予学生最大量的经验和结构来促进概念的发展。这里似乎有一个预设，希望在保持概念完整性的情况下，使所有的变量都发生变化。感知可变性原理是指，提供看上去很不一样，但实质是同一概念结构的问题，它们可以帮助学生从千资百态的载体中辨析出概念的结构。也就是说，在不改变概念结构的同时使外部表征多样化。学习者在这些不同的表征中发现共性，这种共性特征就是数学概念。编辑ppt数学可变性原理是指，在学习含有变量的概念时，应该体会尽可44

2、马顿的变异理论（1）学习的意义

马顿（Marton)理论源于30年来对不同领域学习的研究，至今仍在发展。（如，马顿等人2004年的论述）

我们对世界的看法决定我们的行为。因此，如果我们希望学生能够有效地应对世界，