均值方差偏好下的投资组合选择市公开课一等奖省赛课获奖课件

CH12均值-方差偏好下投资组合选择10/10/1均值方差偏好下的投资组合选择第1页本章教学目和要求1.了解和掌握投资组合理论中均值—方差分析假设条件及其与期望效用理论兼容性；2.掌握投资组合收益与风险度量基本方法及其计算；3.掌握均值－方差模型描述构建最优投资组合技术路径规范数理模型；4.掌握两基金分离定理内容及其经济学含义。10/10/2均值方差偏好下的投资组合选择第2页教学重点1.均值—方差分析方法合理性及其含义；2.选择最优投资组合数理方法及其中蕴涵多元化投资、风险、收益间关系；3.掌握两基金分离定理内容及其经济学含义。10/10/3均值方差偏好下的投资组合选择第3页一、均值—方差分析假设条件（一）问题提出

1.前章对最优投资组合分析是建立在普通期望效用理论基础之上。在这种分析中，我们对经济主体效用函数和资产收益分布只做了普通性要求。其结论应用范围难以确定，也限制了期望效用理论在资产定价中应用。2.Markowitz(1952)发展了一个在不确定条件下严格陈说可操作资产组合选择理论：均值-方差方法Mean-Variancemethodology.10/10/4均值方差偏好下的投资组合选择第4页这一理论问世，使金融学开始摆脱了纯粹描述性研究和单凭经验操作状态，标志着数量化方法进入金融领域。

马科维茨工作所开始数量化分析和MM理论中无套利均衡思想相结合，酝酿了一系列金融学理论重大突破。正因为如此，马科维茨取得了1990年诺贝尔经济学奖。

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马科维茨投资组合选择理论基本思想为：投资组合是一个风险与收益trade-off问题，另外投资组合经过分散化投资来对冲掉一部分风险。——“nothingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofrisktomaximizethereturn”——“Don’tputalleggsintoonebasket”10/10/6均值方差偏好下的投资组合选择第6页3.马科维茨均值-方差组合理论基本内容：在禁止融券和没有没有风险借贷假设下，以资产组合中个别资产收益率均值和方差找出投资组合有效前沿(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小投资组合，并导出投资者只在有效组合前沿上选择投资组合。欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不一样资产之外，还应挑选相关系数较低资产。10/10/7均值方差偏好下的投资组合选择第7页4.均值-方差组合选择实现方法：

（1）收益——证券组合期望酬劳（2）风险——证券组合方差（3）风险和收益权衡——求解二次规划首先，投资组合两个相关特征是：（1）它期望回报率（均值）（2）可能回报率围绕其期望偏离程度某种度量，其中方差作为一个度量在分析上是最易于处理。10/10/8均值方差偏好下的投资组合选择第8页其次，理性投资者将选择并持有有效率投资组合，即那些在给定风险水平下期望回报最大化投资组合，或者那些在给定时望回报率水平上使风险最小化投资组合。再次，经过对某种资产期望回报率、回报率方差和某一资产与其它资产之间回报率相互关系（用协方差度量）这三类信息适当分析，辨识出有效投资组合在理论上是可行。10/10/9均值方差偏好下的投资组合选择第9页

最终，经过求解二次规划，能够算出有效投资组合集合，计算结果指明各种资产在投资者投资中所占份额，方便实现投资组合有效性——即对给定风险使期望回报率最大化，或对于给定期望回报使风险最小化。10/10/10均值方差偏好下的投资组合选择第10页5.马科维茨均值-方差组合理论假设条件：（1）单期投资单期投资是指投资者在期初投资，在期末取得回报。单期模型是对现实一个近似描述，如对零息债券、欧式期权等投资。即使许多问题不是单期模型，但作为一个简化，对单期模型分析成为我们对多期模型分析基础。（2）投资者事先知道资产收益率概率分布，而且收益率满足正态分布条件。

10/10/11均值方差偏好下的投资组合选择第11页（3）经济主体效用函数是二次，即。（4）经济主体以期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率总体水平，以收益率方差（或标准差）来衡量收益率不确定性（风险），因而经济主体在决议中只关心资产期望收益率和方差。（5）经济主体都是非饱和和厌恶风险，遵照占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高证券；在同一收益率水平下，选择风险较低证券。

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6.问题：为何在马科维茨均值-方差分析中需要对效用函数和资产收益率分布作出限制？10/10/13均值方差偏好下的投资组合选择第13页（二）均值-方差分析不足

M-V模型以资产回报均值和方差作为选择对象，但是普通而言，资产回报均值和方差不能完全包含个体资产选择时全部个人期望效用函数信息。对于任意效用函数和资产收益分布，期望效用并不能仅仅用预期收益和方差这两个元素来描述。10/10/14均值方差偏好下的投资组合选择第14页

例1:假设有两个博彩L1和L2，其中：L1=[0.75；10，100]，L2=[0.99；22.727，1000]E（R1）=32.5E（R2）=32.5Var（R1）=1518.75Var（R2）=9455.11显然，L2风险比L1大。10/10/15均值方差偏好下的投资组合选择第15页

考虑一个效用函数为，显然，该个体为风险厌恶者，其在两个博彩中期望效用分别为：Eu(R1)=4.872Eu(R2)=5.036即该风险厌恶者在预期收益相等两个博彩中，方差较大博彩取得期望效用较高。10/10/16均值方差偏好下的投资组合选择第16页

普通地，假设经济主体在未来全部收益或财富是一个随机变量，关于这个未来财富变量效用函数能够通过泰勒展开式在经济行为主体对于这个随机变量预期值周围展开。即

10/10/17均值方差偏好下的投资组合选择第17页两边取期望值后得到：

显然，对于含有严格凹递增效用函数经济主体而言，其评价风险资产效用不能仅仅只考虑其期望收益率和方差，因为三阶以上中心矩E（R3）也影响其期望收益。10/10/18均值方差偏好下的投资组合选择第18页不过，假如财富高阶矩为0或者财富高阶矩可用财富期望和方差来表示，则期望效用函数就仅仅是财富期望和方差函数。10/10/19均值方差偏好下的投资组合选择第19页（三）均值—方差分析基本假设

定理一：在经济主体未来收益或财富为任意分布情况下，假如经济主体效用函数为二次效用函数那么，期望效用仅仅是财富期望和方差函数。证实：P18010/10/20均值方差偏好下的投资组合选择第20页

定理二：在经济主体偏好为任意偏好情况下，假如资产收益分布服从正态分布，则期望效用函数仅仅是财富期望和方差函数。在收益分布为正态分布情况下，上述展开式中，三阶以上中心矩中，奇数项为零，偶数阶中心矩可写成均值和方差函数。10/10/21均值方差偏好下的投资组合选择第21页（三）二次效用函数与收益正态分布假设不足1.二次效用函数不足二次效用函数含有递增绝对风险厌恶和满足性两个性质。满足性意味着在满足点以上，财富增加使效用减少，递增绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品。这与那些偏好更多财富和将风险视为正常商品投资者不符。所以在二次效用函数中，我们需要对参数b取值范围加以限制。10/10/22均值方差偏好下的投资组合选择第22页

2.收益正态分布不足（1）资产收益正态分布假设与现实中资产收益往往偏向正值相矛盾。收益正态分布意味着资产收益率可取负值，但这与有限责任经济标准相悖（如股票价格不能为负）。（2）对于密度函数分布而言，均值-方差分析没有考虑其偏斜度。概率论中用三阶矩表示偏斜度，它描述分布对称性和相对于均值而言随机变量落在其左或其右大致趋势。显然，正态分布下均值-方差分析不能做到这一点。10/10/23均值方差偏好下的投资组合选择第23页（3）用均值-方差无法刻画函数分布中峭度。概率论中用四阶矩表示峭度。但这一点在正态分布中不能表示。实际经验统计表明，资产回报往往含有“尖峰”“胖尾”特征。这显然不符合正态分布。10/10/24均值方差偏好下的投资组合选择第24页

尽管均值-方差分析存在缺点，且只有在严格假设条件下才能够与期望效用函数分析兼容，但因为其分析上灵活性，相对便利实证检验以及简练预测功效，使其成为广泛利用金融和财务分析伎俩。10/10/25均值方差偏好下的投资组合选择第25页二、资产组合收益与风险度量及分散化效应（一）先行案例

A企业股票价值对糖价格很敏感。多年以来，当当地糖产量下降时，糖价格便猛涨，而A企业便会遭受巨大损失。该企业股票收益率在不一样情况下情况如下：A企业股票收益10.5%，标准差为18.9%。糖生产正常年份异常年份股市牛市股市熊市糖生产危机概率0.50.30.2收益率%2510-2510/10/26均值方差偏好下的投资组合选择第26页

假定某投资者考虑以下几个可供选择资产，一个是持有A企业股票，一个是购置无风险资产，还有一个是持有糖业企业B股票。现已知投资者持有50%A企业股票，另外50%在无风险资产和持有糖业企业股票之间进行选择。无风险资产收益率为5%。糖业企业B股票收益率改变以下：10/10/27均值方差偏好下的投资组合选择第27页B企业股票收益为6%，标准差为14.43%糖生产正常年份异常年份股市牛市股市熊市糖生产危机概率0.50.30.2收益率%1-53510/10/28均值方差偏好下的投资组合选择第28页E(rArB)25%×1%10%×（－5%）35%×（－25%）0.50.30.210/10/29均值方差偏好下的投资组合选择第29页投资者不一样投资策略下期望收益与标准差：

资产组合预期收益率%标准差(%)全部投资在于A企业股票10.518.90组合一：A企业股票和无风险资产各投资50%7.759.45组合二：A企业和B企业股票各投资50%8.254.5910/10/30均值方差偏好下的投资组合选择第30页（二）资产期望收益（均值）（1）单一资产期望收益在任何情况下，资产均值或期望收益是其收益概率加权平均值。Pr(s)表示s状态下概率，r(s)为该状态下收益率，则期望收益E(r)为

在上例中，我们能够算出投资于A企业股票期望收益率为10.5%。10/10/31均值方差偏好下的投资组合选择第31页2.资产组合期望收益（均值）

资产组合期望收益是组成组合每一资产收益率加权平均，以组成百分比为权重.每一资产对组合预期收益率贡献依赖于它预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其它一切无关。上例中第一个投资组合收益率为7.75%，第二种投资组合收益率为8.25%.10/10/32均值方差偏好下的投资组合选择第32页

假定市场上有资产1，2，，N。资产i期望收益率为，方差为i，资产i与资产j协方差为ij（或相关系数为ij）（i=1，2，，n，j=1，2，，m）投资者投资组合为：投资于资产i百分比为，i=1，2，，N，则资产组合期望收益为10/10/33均值方差偏好下的投资组合选择第33页

（三）资产方差1.单一资产方差

资产收益方差是期望收益偏差平方期望值：在上例中，A企业股票收益方差为357.25/W，标准差为18.9%。B企业股票收益率标准差为14.73%.10/10/34均值方差偏好下的投资组合选择第34页2.资产组合方差（1）两资产组合收益率方差方差分别为与两个资产以W1与W2权重组成一个资产组合方差为，假如一个无风险资产与一个风险资产组成组合，则该组合标准差等于风险资产标准差乘以该组合投资于这部分风险资产百分比。

10/10/35均值方差偏好下的投资组合选择第35页

在上例中投资组合1标准差为9.45%，投资组合2方差为21.1/W，标准差为4.59%。10/10/36均值方差偏好下的投资组合选择第36页（2）多资产组合方差

10/10/37均值方差偏好下的投资组合选择第37页（四）资产协方差

协方差是两个随机变量相互关系一个统计测度，即它测度两个随机变量，如资产A和B收益率之间互动性。10/10/38均值方差偏好下的投资组合选择第38页（五）相关系数

与协方差亲密相关另一个统计测量度是相关系数。实际上，两个随机变量间协方差等于这两个随机变量之间相关系数乘以它们各自标准差积。

资产A和资产B相关系数为10/10/39均值方差偏好下的投资组合选择第39页

测量两种股票收益共同变动趋势: -1.0+1.0完全正相关:+1.0完全负相关:-1.0在-1.0和+1.0之间相关性可降低风险但不是全部10/10/40均值方差偏好下的投资组合选择第40页

在上例中，投资组合2中两企业股票收益协方差为-240.5/w，其相关系数为-0.88。

10/10/41均值方差偏好下的投资组合选择第41页（六）多个资产方差-协方差矩阵10/10/42均值方差偏好下的投资组合选择第42页（七）资产组合风险分散效应资产组合方差不但取决于单个资产方差，而且还取决于各种资产间协方差。

伴随组合中资产数目标增加，在决定组合方差时，协方差作用越来越大，而方差作用越来越小。比如，在一个由30种证券组成组合中，有30个方差和870个协方差。若一个组合深入扩大到包含全部证券，则协方差几乎就成了组合标准差决定性原因。10/10/43均值方差偏好下的投资组合选择第43页风险分散化原理被认为是当代金融学中唯一“白吃午餐”。将多项有风险资产组合到一起，能够对冲掉部分风险而不降低平均预期收益率。10/10/44均值方差偏好下的投资组合选择第44页

假定资产1在组合中比重是w，则资产2比重就是1-w。它们预期收益率和收益率方差分别记为E(r1)和E(r2)，21和22，组合预期收益率和收益率方差则记为E(r)和2。那么，10/10/45均值方差偏好下的投资组合选择第45页因为-1≤≤+1，所以有[w1-(1-w)2]2≤2≤[w1+(1-w)2]2

这表明，组合标准差不会大于标准差组合。事实上，只要<1，就有，∣∣<∣w1+(1-w)2∣,即资产组合标准差就会小于单个资产标准差加权平均数，这意味着只要资产变动不完全一致，单个有高风险资产就能组成单个有中低风险资产组合，这就是投资分散化原理。10/10/46均值方差偏好下的投资组合选择第46页结构一个投资每种资产等权重组合来看分散化力量：其中，10/10/47均值方差偏好下的投资组合选择第47页伴随组合中资产数目标增加，组合收益方差将越来越依赖于协方差。若这个组合中全部资产不相关，即当随证券数目增加，这个组合方差将为零（保险标准）。10/10/48均值方差偏好下的投资组合选择第48页相关结论：1.资产组合方差是以协方差矩阵各元素与投资百分比为权重相乘加权平均总值。它除与各资产方差相关外，还与各资产间协方差和相关系数相关。

10/10/49均值方差偏好下的投资组合选择第49页

2.资产组合预期收益能够经过对各种单项资产加权平均得到，但风险却不能经过各项资产风险标准差加权平均得到(这只是组合中成份资产间相关系数为一且成份资产方差相等，权重相等时特例情况)。10/10/50均值方差偏好下的投资组合选择第50页

3.在资产方差或标准差给定下，组合每对资产相关系数越高，组合方差越高。只要每两种资产收益间相关系数小于一，组合标准差一定小于组合中各种证券标准差加权平均数。假如每对资产相关系数为完全负相关即为－1且成份证券方差和权重相等时，则可得到一个零方差投资组合。但因为系统性风险不能消除，所以这种情况在实际中是不存在。

10/10/51均值方差偏好下的投资组合选择第51页三、两资产模型下有效组合前沿（一）先行案例某投资者持有投资组合由两个风险资产组成，两资产期望收益率和方差以下：

资产期望收（%）标准差（%）A812B132010/10/52均值方差偏好下的投资组合选择第52页

以下为构想投资者在两种资产中投资百分比及资产相关系数不一样时投资组合期望收益和方差：10/10/53均值方差偏好下的投资组合选择第53页α1-αE(r)σ(ρ=-1)σ(ρ=0)σ(ρ=0.3)σ(ρ=1)0.01.013.020.020.020.020.00.30.711.510.414.4615.4717.600.50.510.54.011.6613.1116.000.70.39.52.410.3211.7014.400.90.18.58.810.9811.5612.801.00.08.012.012.012.012.010/10/54均值方差偏好下的投资组合选择第54页标准差期望收益Ρ=1ρ=-110/10/55均值方差偏好下的投资组合选择第55页（二）相关概念1.投资者均值-方差无差异曲线对一个特定投资者而言，任意给定一个证券组合，依据他对期望收益率和风险偏好态度，按照期望收益率对风险赔偿要求，能够得到一系列满意程度相同（无差异）证券组合。全部这些组合在均值方差（或标准差）坐标系中形成一条曲线，这条曲线就称为该投资者均值-方差无差异曲线。

10/10/56均值方差偏好下的投资组合选择第56页风险厌恶者均方无差异曲线方差期望收益10/10/57均值方差偏好下的投资组合选择第57页

同一条无差异曲线上组合满意程度相同；无差异曲线位置越高，该曲线上组合满意程度越高。无差异曲线满足以下特征：(1)无差异曲线向右上方倾斜。

(2)无差异曲线是下凸。

(3)同一投资者有没有数条无差异曲线。

(4)同一投资者在同一时间、同一时点任何两条无差异曲线都不相交。(5)无差异曲线向上弯曲程度大小反应了投资者风险偏好强弱。10/10/58均值方差偏好下的投资组合选择第58页2.可行集

可行集也称资产组合机会集合。它表示在收益和风险平面上，由各种资产所形成全部期望收益率和方差组合集合。

可行集包含了现实生活中全部可能组合，即全部可能证券投资组合将位于可行集内部或边界上。普通说来，N种资产可行集形状像伞形：10/10/59均值方差偏好下的投资组合选择第59页标准差期望收益10/10/60均值方差偏好下的投资组合选择第60页3.有效集或有效前沿（边界）均值－方差前沿（mean-variancefrontierMVF）

可行集中有没有穷多个组合，对于非饱和且风险厌恶理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益。对于一样风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率组合；对于一样预期收益率，他们将会选择风险最小组合。能同时满足这两个条件投资组合集合被称为有效集（EfficientSet）或有效边界（EfficientFrontier)。有效集描绘了投资组合风险与收益最优配置。10/10/61均值方差偏好下的投资组合选择第61页有效集导出：资产组合全部可能点组成了平面上可行区域，对于给定，使组合方差越小越好，即求解以下二次规划：10/10/62均值方差偏好下的投资组合选择第62页10/10/63均值方差偏好下的投资组合选择第63页10/10/64均值方差偏好下的投资组合选择第64页因为投资者是非饱和且厌恶风险，即风险一定时追求收益最大，收益一定时追求风险最小。所以，同时满足在各种风险水平下，提供最大预期收益和在各种预期收益下能提供最小风险这两个条件就称为有效边界。即双曲线上半部。上面各点所代表投资组合一定是经过充分分散化而消除了非系统性风险组合。10/10/65均值方差偏好下的投资组合选择第65页有效集形状：有效边界全局最小方差资产组合最小方差边界个人资产标准差期望收益MVP10/10/66均值方差偏好下的投资组合选择第66页有效集曲线形状含有以下特点：（1）有效集是一条向右上方倾斜曲线，它反应了“高收益、高风险”标准；（2）有效集是一条向左凸曲线。有效集上任意两点所代表两个组合再组合起来得到新点（代表一个新组合）一定落在原来两个点连线左侧，这是因为新组合能深入起到分散风险作用。（3）有效集曲线上不可能有凹陷地方MVF任意组合也是MVF组合。10/10/67均值方差偏好下的投资组合选择第67页四、N种资产普通模型（一）模型基本假定1.市场上存在n>2种风险资产，w代表投资到n种资产上投资百分比，w为一个n维列向量。记为：

同时，允许w<0，即卖空不受限制。2.为i资产期望收益率，为风险资产组合期望收益，同时，令全部n种资产期望收益率组成向量为10/10/68均值方差偏好下的投资组合选择第68页

3.假设n种资产收益率是非共线性，即其中任何一种风险资产随机收益都不能表示为其它资产随即收益线性组合。则组合期望收益为：

4.组合方差、协方差矩阵为：10/10/69均值方差偏好下的投资组合选择第69页

因为我们假定组合中资产随机收益是非共线性，所以，该矩阵是非奇异（nonsingular）。另外，因为组合方差是非负，所以，组合方差必须是一个正定矩阵，即对于任何非0向量，都有，所以，整个组合方差为10/10/70均值方差偏好下的投资组合选择第70页（二）N种风险资产组合组合前沿1.定义给定收益率水平μ，假如一个资产组合收益率方差是全部期望收益率为μ组合中最小，则称它为一个边界组合（frontierportfolio），全部边界组合组成集合为组合边界。

用数学语言描述为：p是一个前沿资产组合当且仅当它资产组合权重是二次规划问题P解。10/10/71均值方差偏好下的投资组合选择第71页10/10/72均值方差偏好下的投资组合选择第72页

经过上述二次规划问题求解，我们能够得到组合边界方程，它是均值-方差平面上一条抛物线，这条抛物线称为最小方差曲线（minimumvariancecurve,MVC）抛物线顶点对应于一个在全部组合中方差最小组合，称为最小方差组合（minimumvarianceportfolio,MVP）。10/10/73均值方差偏好下的投资组合选择第73页组合边界方差均值mvp10/10/74均值方差偏好下的投资组合选择第74页（三）有效组合前沿期望收益率严格高于最小方差组合期望收益率前沿边界称为有效组合前沿。位于资产组合前沿边界，既不是有效资产组合，又不是最小方差资产组合前沿边界合称为非有效组合前沿。对于每一个属于非有效组合前沿上资产组合，存在一个含有相同方差但更高期望收益率有效资产组合。10/10/75均值方差偏好下的投资组合选择第75页（四）组合前沿性质

1.任何一个含有均值-方差偏好经济主体最优组合是一个均值-方差前沿组合。2.任意前沿资产组合都能够由期望收益为0和期望收益为1两个前沿组合组合而成。3.任何前沿边界组合线性组合仍在前沿边界上。有效资产组合任何凸组合仍是有效组合，有效组合集合所以是一个凸集。

10/10/76均值方差偏好下的投资组合选择第76页4.任何含有均值-方差效率资产组合都是由任何两个具有均值-方差效率组合组成；由两个都有均值-方差效率资产组合线性组合组成资产组合也是含有均值-方差效率资产组合。5.最小方差组合mvp，与任何资产组合（不但仅是前沿边界上）收益率协方差总是等于最小方差资产组合收益率方差。

10/10/77均值方差偏好下的投资组合选择第77页6.资产组合边界一个主要性质是，对于前沿边界上任何资产p，除了最小方差资产组合，存在唯一前沿边界资产组合，用zc(p)表示，与p协方差为0。7.不存在与最小方差资产组合含有0协方差前沿边界资产组合。10/10/78均值方差偏好下的投资组合选择第78页（五）考虑无风险资产情形考虑无风险资产情况下投资者二次规划问题为：

10/10/79均值方差偏好下的投资组合选择第79页

该二次规划问题解表明，包含无风险资产在内资产组合均值-方差有效组合前沿为一条直线。MABC10/10/80均值方差偏好下的投资组合选择第80页图中AM线为效率组合前沿，该直线方程可写为：当风险资产组合M固定时，无风险资产与风险资产组合期望值收益和标准差呈线性关系。直线AM也称为对应于切点组合M转换线（transformationline），它刻画了投资者在特定风险组合和无风险收益率之间转换。在转换线上，点M对应着投资者将全部财富投资于风险资产组合。10/10/81均值方差偏好下的投资组合选择第81页

位于点M左侧全部点对应于投资者将其财富一部分投资于风险资产，另一部分则用于贷出生息；位于点M右侧全部点对应于投资者在市场上卖空风险资产。该转换线也称之为资本市场线（CapitalMarketLine，CML）。它表明所由含有均值-方差偏好经济主体都在资本市场线上选择最优资产组合。转换线斜率为：10/10/82均值方差偏好下的投资组合选择第82页

其分子为组合M风险溢价，该斜率刻画了组合单位风险所带来风险溢价，我们称其为夏普比率（SharpRatio）。一样地，我们可知，有没有风险资产和风险资产组成组合夏普比率与风险资产组合M夏普比率相等。在存在无风险资产情况下，假如组合M是一个有效组合前沿上资产组合，那么，对于任意组合p，我们有10/10/83均值方差偏好下的投资组合选择第83页10/10/84均值方差偏好下的投资组合选择第84页分散化证券风险由两部分组成，一是市场（系统）风险，二是个别（或非系统）风险10/10/85均值方差偏好下的投资组合选择第85页组合总风险10/10/86均值方差偏好下的投资组合选择第86页