信号与线性系统-12

信号与线性系统-12(总分：100.02，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：22，分数：100.00)N(1).即N(1).即W 是一个周期为N的序列。（分数：2.50）N正确答案：()解析：证明N(2).（分数：2.50）说明W 是以N解析：证明N(2).（分数：2.50）解析：证明另一方面，由W 的周期性知，解析：证明另一方面，由W 的周期性知，故有N(4).这里(4).这里N等于N 的倍数。（分数：2.50）正确答案：()解析：证明00解析：证明00

的倍数，不妨设N=N

l，l=1，2，3，…，于是解析：证明(3).解析：证明(3).（分数：2.50）命题得证。试分别用基2时间抽取和基2频率抽取FFT算法计算下列序列的离散傅里叶变换。（分数：10.00）(1).f(k)=ε(k)-ε(k-8)，0≤N＜8（分数：2.50）正确答案：()解析：解f(k)的8个点的值分别为而几个系数分别为f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=f(7)=1而几个系数分别为FFT2FFT

)所示，基2频率抽取FFT计算过程如11图(b )所示。1(2).（分数：2.50）(2).（分数：2.50）正确答案：()f(k8222FFT22

2FFT

)所示。由此可见，F(m)={4，0，0，0，4，0，0，0}(3).f(k)=k(k-1)ε(k)，0≤N＜8（分数：2.50）正确答案：()解析：解f(k)的8个点的值分别为f(0)=0，f(1)=0，f(2)=2，f(3)=6，f(4)=12，f(5)=20，f(6)=30，f(7)=42332FFT33

2FFT

)所示。(4).（分数：2.50）(4).（分数：2.50）正确答案：()解析：解f(k)的8个点的值分别为f(0)=1，f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0，f(4)=1，f(5)=0，f(6)=-1，f(7)=0442FFT44

2FFT

)所示。由此可见，F(m)={0，0，4，0，0，0，4，0}1.假如用FFT32DFT出输出序列的排列顺序。（分数：2.50）正确答案：()解析：解用比特反置方法求输出序列的排列顺序的计算过程见表。即输出序列的排列顺序为0，16，8，24，4，20，12，28，2，18，10，26，6，22，14，30，1，17，9，25，5，21，13，29，3，19，11，27，7，23，15，31位置位置序号序号位置位置位置序号序号位置位置序号序号0 00000 00000 0 16 10000 00001 11000011000016171000110001172000100100081810010010019300011110002419100111100125400100001004201010000101550010110100202110101101012160011001100122210110011011370011111100282310111111012980100000010224110000001139010011001018251100110011191001010010101026110100101111110101111010262711011110112712011000011062811100001117130110110110222911101101112314011100111014301111001111151501111111103031111111111131(十进制)(二进制)(二进制)(十进制)(十进制)(二进制)(二进制)(十进制)28点实信号f(k)的DFTF(4)=2，利用WN的性质求F(5)，F(6)，F(7)，并用帕塞瓦尔定理求f(k)的平均能量。（分数：2.50）正确答案：()解析：解先考虑一般情况，若需求F(l)，l=0，1，2，…，7，由定义有因为f(k)为实信号，故有f(k)=f*(k)，于是有根据此特性，易知F(5)=F*(3)=2-j3，F(6)=F*(2)=1-j，F(7)=F*(1)=-j由帕塞瓦尔定理知，f(k)的平均能量为利用FFTf (k)={1，1，1，1，1，1，1，1}，f1

(k)={1，1，1，1，-1，-1，-1，-1}f (k)={1，1，-1，-1，1，1，-1，-1}，f3

(k)={1，-1，1，-1，1，-1，1，-1}（分数：2.50）正确答案：()解析：解第一步，首先计算f1

(k)～f

(k)的DFT。4FFT

(k)的DFT，这里直接引用。1F (m)={8，0，0，0，0，0，0，0}12342FFT234

(k)、f

(k)及f

(k)的过程分别如图(a)、(b)、(c)所示。由计算可得故第二步，计算各序列两两之间的循环卷积。由DFT的时域循环卷积特性，有故FDFTF(m)·F(m)=0，i i ji，j=1，2，3，4，i≠j，所以任意两序列的循环卷积都为0。第三步，计算各序列两两之间的循环相关函数。故由于有故但由于所以任意两序列的循环相关函数均为0。但由于在计算实数序列f(k)的FFTx(k)y(k)c(k)的实部和虚部。假设已知c(k)的DFTC(m)，求x(k)。进一步降低运算量。试推导此时计算过程，估计计算量(复数加法和乘法的次数)。（分数：2.50）正确答案：()f(k)的奇数项和偶数项分别构成两个长度为f(k)的奇数项和偶数项分别构成两个长度为(k)和f(k)，则且再将二者合成一个复数序列。则且而由基2时间抽取FFT算法的推导过程可知，f(k)的DFTF(m)为(1)利用FFT(1)利用FFTC(m)，在此步需要的计算量为乘法次数：加法次数：co乘法次数：加法次数：加法次数：co乘法次数：加法次数：(3)求出F(m)和，此步需要的计算量为

(m)和

(m)，此步需要的计算量为乘法次数：加法次数：乘法次数：所以总的计算量为乘法次数：加法次数：乘法次数：加法次数：计算下列序列的8点离散沃尔什变换。（分数：7.50）加法次数：(1).f(k)={10，20，30，29，50，100，37，22}（分数：2.50）正确答案：()解析：解直接利用矩阵进行计算如下：故F(m)={298，-120，-120，62，-76，54，26，-44}(2).f(k)={1，3，5，7，9，11，13，15}（分数：2.50）正确答案：()解析：解直接利用矩阵进行计算如下：故F(m)={64，-32，0，-16，0，0，0，-8}(3).f(k)={21，23，25，27，29，31，33，35}（分数：2.50）正确答案：()解析：解直接利用矩阵进行计算如下：故F(m)={224，-32，0，-16，0，0，0，-8}N=3CNN=3CN矩阵等于(1)故(2)(1)f(k)={15，20，32}(2)f(k)={1，3，5}(3)f(k)={11，13，15}（分数：2.50）正确答案：()故(3)故(1).（分数：2.50）故(3)故(1).（分数：2.50）正确答案：()解析：解则相应的差分方程为解析：解r(k)=e(k-2)+e(k-1)+e(k)(2).（分数：2.50）(2).（分数：2.50）正确答案：()解析：解由知相应的差分方程为解析：解由知相应的差分方程为(3).（分数：2.50）(3).（分数：2.50）正确答案：()解析：解由知相应的差分方程为解析：解由知相应的差分方程为IIR解析：解由知相应的差分方程为解析：解由知相应的差分方程为r(k)=e(k)-0.3r(k-1)-0.02r(k-2)可见此离散时间系统是IIR及AR类型的滤波器。下面的说法是否正确?请说明理由。（分数：10.00）(1).FIR滤波器一定是MA滤波器。（分数：2.50）正确答案：()解析：解此说法正确。若滤波器的传输函数H(z)的一般形式为对于FIR滤波器，其系数an

MA

系数也都等于0，即k时刻系统的输出等于时间窗n(4).（分数：2.50）口[k-N，k-N+M]内M+1FIRMA(4).（分数：2.50）(2).AR滤波器一定是IIR滤波器。（分数：2.50）正确答案：()解析：解此说法正确。AR滤波器的传输函数具有如下形式：其分母中，部分的系数其分母中，部分的系数a 不全为零，所以AR滤波器一定也是IIR滤波器。多个FIRFIR（分数：2.50）正确答案：()解析：解此说法正确。FIR滤波器的传输函数形式为那么多个(假设l个)FIR滤波器并联得到的系统，其传输函数为可见这个系统仍是一个FIR滤波器。多个IIRIIR（分数：2.50）正确答案：()解析：解此说法不正确。IIR滤波器的传输函数形式为n式中，a 不会全为零。当多个IIR滤波器串联，所得系统的传输函数为n若出现这种情况，即H(z)的所有非零极点全部被零点抵消掉了，则此系统将不再是IIR类型的，而是FIR类型的。(1).（分数：2.50）T（(1).（分数：2.50）正确答案：()解析：解连续传输函数(2).（分数：2.50）解析：解连续传输函数(2).（分数：2.50）正确答案：()解析：解连续传输函数(3).（分数：2.50）解析：解连续传输函数(3).（分数：2.50）正确答案：()解析：解连续传输函数aa解析：解连续传输函数aa知

(s)有一个二阶极点在s=-2，由H(z)与H

(s)的关系(4).H

(s)=1（分数：2.50）a正确答案：()

(s)=1，意味着连续系统的冲a激响应为δ(t)，将之转换为数字信号，不可能不改变其性质，所以这种情况下无法利用冲激响应不变变换法。2kHz210kHz。（分数：2.50）正确答案：()解析：解模拟巴特沃思滤波器的系统函数为取ω c

3×2π=4π×103

rad/s，N=2，代入上式可得用冲激响应不变变换法，取T=10-4s，可得数字巴特沃思低通滤波器的系统函数为利用双线性变换法求题中各系统的对应的数字滤波器的传输函数。(1).（分数：2.50）(1).（分数：2.50）解析：解将代入上式可得(4).H解析：解将代入上式可得

(s)=1（分数：2.50）a正确答案：()解析：解Ha

(s)=1解析：解将代入上式可得(2).（分数：2.50）解析：解将解析：解将代入上式可得(2).（分数：2.50）解析：解将代入上式可得(3).（分数：2.50）而得到离散系统的系统函数。由H (s)=1知微分方程为r(t)=e(t)，于是相应的差分方程为ar(k)=e(k)所以H(z)=12kHz210kHz。设计一个满足以上要求的数字巴特沃思低通滤波器。（分数：2.50）正确答案：()解析：解模拟巴特沃思滤波器的系统函数为取ω c

3×2π=4π×103

rad/s，N=2，代入上式可得用冲激响应不变变换法，取T=10-4s，可得数字巴特沃思低通滤波器的系统函数为根据双线性变换的公式，将代入根据双线性变换的公式，将代入H (s)，可以得到a已知某系统的单位函数响应如下，试判断系统是否是线性相位FIR(1)h(k)={1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，1}(2)h(k)={1，2，3，4，5，1，2，3，4，5}(3)h(k)={1，2，3，4，5，4，3，2}a(4)h(k)={1，1，1，1，1，1，1}(5)h(k)={1，2，3，4，5，-4，-3，-2，-1}（分数：2.50）正确答案：()解析：解若FIR滤波器的单位函数响应h(k)的长度为N，则只要满足h(k)=±h(N-1-k)该滤波器便为线性相位的。由此可判断出：(1)该系统是线性相位FIR滤波器。(2)该系统不是线性相位FIR滤波器。(3)该系统不是线性相位FIR滤波器。(4)该系统是线性相位FIR滤波器。(5)该系统是线性相位FIR滤波器。已知某长度为NFIR|H(ejωT)|=A(ωT)，其中T

jωT)。（分数：2.50）正确答案：()解析：解若FIR滤波器的单位函数响应是偶对称的，则其相频特性为若FIR滤波器的单位函数响应是奇对称的，则其相频特性为故系统完整的频率特性表示式为或2kHzFIRN＝10。或（分数：2.50）正确答案：()其中解析：解由题意，滤波器的长度N＝10，为偶数，无法通过先求出h(k)再移动使其满足对称特性来进行设计，这时就直接将目标系统的频率特性设置为其中求出目标系统的单位函数响应于是该FIR滤波器的单位函数响应通过数值计算，可得h (k)={-0.0708，-0.0455，0.0637，0.2123，0.3185，0.3185，0.2123，0.0637，-0.0455，-0.0708}d2kHzFIRN＝10。在设计任务中，分别采用三角窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗函数设计出相应的滤波器。（分数：1.00）正确答案：()解析：解求出目标系统的单位函数响应h (k)=h(k)·ωh (k)=h(k)·ω(k)d其中故得h (k)={0，-0.0101，0.0283，0.1415，0.2831，0.2831，0.1415，0.0283，-0.0101，0}d如果采用汉宁窗，则h (k)=h(k)·ω(k)其中d其中故得h (k)={0，-0.0053，0.0263，0.1592，0.3088，0.3088，0.1592，0.0263，-0.0053，0}d如果采用汉明窗，则d其中d其中故得h (k)={-0.0057，-0.0085，0.0293，0.1635，0.3096，0.3096，0.1635，0.0293，-0.0085，-0.0057}d如果采用布莱克曼窗，则h (k)=h(k)·ω(k)其中d其中故得h (k)={0，-0.0023，0.0164，0.1337，0.3028，0.3028，0.1337，0.0164，-0.0023，0}d理想的线性正交变换网络的传输函数为H (jω)=-je-jωt0a其中t

是系统的时延，可以根据需要设定。如果要以该系统为原型设计一个长度为N的线性相位FIR滤0波器，抽样间隔为T，t0数h(k)。（分数：1.00）

应该取多大?试用窗函数法设计出线性正交变换数字滤波器，给出其单位响应函NNFIR，故。线性正交变换网络的传输函数一般为故目标系统的频率特性应为当时，h(k)=0当时，h(k)=0即用窗函数法设计出的线性正交变换数字滤波器的单位函数响应50HzFIR400Hz，FIRN=8。（分数：1.00）正确答案：()解析：解因为是设计线性相位FIR滤波器，其长度N=8，所以其相频特性应满足按设计要求，其幅频特性应与所给|H (jω)|相近，即需要能保证将50Hz的工频干扰滤除掉。a再考虑周期化的问题，其周期应为ω =2πf =800πrad/s，则其主值区间为0～800π。s sd综合以上因素，且为了保证h (k)为实数，将目标系统的传输函(在主值区间内)设计为d根据这个频率特性，可以得到它在0～800π内的均匀分布的8个频率点上的特性值为通过IDFT，可以得到50HzFIR400Hz，FIRN=8。给出用线性相位直接型结构实现得到的离散时间系统的框图。（分数：1.00）正确答案：()解析：解得到系统单位函数响应为由此可知h(0)=0.2061=h(7)，h(1)=0.1792=h(6)，h(2)=-0.28275=h(5)，h(3)=0.39745=h(4)故用直接型结构实现该系统的框图如图所示。N(NFIR

(k)，其DFT为H1

(m)。将h1

(k)NN/2

(k)。（分数：3.52）2(1).求h

(k)的DFTH2

(m)；（分数：0.88）正确答案：()解析：解由题意知，则由DFT的循环移位特性知因为e

±jπm

=(-1)

m，所以h

(k)的DFT为2H 2

mH(m)1证明h

(k)所对应的FIR滤波器依然满足线性相频特性；（分数：0.88）2解析：解由知正确答案：()解析：解由知及1由于h (k)对应的FIR滤波器是线性相位的，即有及1故有即h (k)满足对称特性，所以故有2

(k)所对应的FIR滤波器依然满足线性相频特性。2证明将h(kh(k)对应的系统并联，得到的新系统依然是线性相位FIR；（分数：0.88）1 2正确答案：()解析：解当将h1

(k)和

(k)对应的系统并联，所得新系统的单位函数响应为h2

(k)+h1

(k)。不妨2121L1R2L2R121L1R2L2R即

(k)都分成左、右两部分，记为h

(k)，h

(k)和

(k)，h

(k)，由于于是有1212于是有

(k)

(k)又是偶对称的，即故对于h1

(k)+h2

(k)，其不仅偶对称，而且在N个点里包含了两个周期，在每个周期内分别都是偶对称的