弹性力学：作业4

TheoryofElasticityChapterPage61第五次作业习题六思考题6-1：为什么平面应力和平面应变问题的应力分布是相同的？答：因为平面应力问题和平面应变问题的平衡方程、应变协调方程以及边界条件式都相同，因此，只要几何条件相同，载荷条件相同，不论其为平面应力或平面应变问题，它们在平面内的应力分布规律是相同的。TheoryofElasticityChapterPage62第五次作业6-5：什么样的问题可以简化为平面应力问题或平面应变问题？答：平面应力问题：平面应力问题是受力体一个方向的几何尺寸远小于其它两个方向，而且满足以下条件：列出条件TheoryofElasticityChapterPage63第五次作业平面应变问题：平面应变问题是受力体一个方向的几何尺寸远大于其它两个方向，而且满足以下条件：TheoryofElasticityChapterPage64第五次作业1:设有矩形截面的长竖柱,密度为ρ,在一边侧面上受均布剪力q,如图1,试求应力分量.提示:可假设σx=0,或假设τxy=f(x),或假设σy如材料力学中偏心受压公式所示.上端边界条件如不能精确满足,可应用圣维南原理.xyoqbρg图1TheoryofElasticityChapterPage65第五次作业解题步骤：1、假设应力分量的函数形式。可假设，或假设，这里假设2、推求应力函数的形式。由推求的形式，得xyoqbρg图1（2-24），注意体力TheoryofElasticityChapterPage66第五次作业3、由相容方程求应力函数。将代入，得

[上式已省略了常数项和一次项]4、由由应力函数求应力分量。将代入应力分量表达式，，求得应力分量为TheoryofElasticityChapterPage67第五次作业5、考察边界条件：在主要边界上的条件为（a）

（b）

（c）xyoqbρg图1TheoryofElasticityChapterPage68第五次作业在次要边界上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为(注意此处的边界条件)

(d)

(e)

(f)xyoqbρg图1TheoryofElasticityChapterPage69第五次作业6、通过上述方程求得各系数，并代入应力分量的表达式，得应力解答：xyoqbρg图1TheoryofElasticityChapterPage610第五次作业yxoαρg图22:设图2中的三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为ρ,试用纯三次式的应力函数求解.(纯三次式有写错的)TheoryofElasticityChapterPage611第五次作业解：设由应力函数求应力分量。将代入应力分量表达式，，求得应力分量为

（2-24），注意体力1：检验应力函数表达式满足相容方程。yxoαρg图2TheoryofElasticityChapterPage612第五次作业2：考察边界条件：在上面上在下面上yxoαρg图2TheoryofElasticityChapterPage613第五次作业3：通过上述方程求得各系数，并代入应力分量的表达式，得应力解答：yxoαρg图2TheoryofElasticityChapterPage614第五次作业x图3yoρ1gb/2b/2ρ2g3:挡水墙的密度为ρ1,厚度为b,图3,水的密度为ρ2,试求应力分量.(提示:可假设σy=xf(y)上端的边界条件如不能精确满足,可应用圣维南原理,求出近似的解答)TheoryofElasticityChapterPage615第五次作业解题步骤：1、假设应力分量的函数形式。

因为边界上，；边界上，，所以可假设在区域内为

x图3yoρ1gb/2b/2ρ2gTheoryofElasticityChapterPage616第五次作业2、推求应力函数的形式。由推测的形式，则x图3yoρ1gb/2b/2ρ2gTheoryofElasticityChapterPage617第五次作业3、由相容方程求应力函数。将代入，得

要使上式在任意的处都成立，必须（下式易写错）,得；，得。

，得，得TheoryofElasticityChapterPage618第五次作业代入，即得应力函数的解答，其中已略去了应力无关的一次式。4、由应力函数求应力分量。将代入应力分量表达式，，求得应力分量为（2-24），注意体力TheoryofElasticityChapterPage619第五次作业5、考察边界条件：在主要边界上，有x图3yoρ1gb/2b/2ρ2gTheoryofElasticityChapterPage620第五次作业在次要边界（小边界）上，应用圣维南原理，列出