第六章 平面向量初步614数乘向量 (课件)

数乘向量数乘向量第六章平面向量初步614数乘向量(课件)1.向量的数乘运算定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作λa。规定：（1）当λ≠0且a≠0时，|λa|=|λ||a|，且1.向量的数乘运算①当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；②当λ<0时，λa的方向与a的方向相反。（2）当λ=0或a=0时，λa=0。①当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；【思考】（1）定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向。（2）若把|λa|=|λ||a|写成|λa|=λ|a|可以吗？为什么？提示：不可以，当λ<0时不成立。【思考】2.向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则λ（μa）=（λμ）a；特别地，我们有（-λ）a=-（λa）=λ（-a）。2.向量数乘的运算律【思考】这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立。【思考】3.向量共线的条件如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。3.向量共线的条件【思考】“若向量b∥a，则存在实数λ，使得b=λa。”成立吗？提示：不成立，若a=0，b≠0，则λ不存在。【思考】【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）3a的方向与a的方向相同，且-2a的方向与a的方向相反。（

）（2）4a与-4a的模相等。（

）【素养小测】（3）a与-λa的方向相反。（

）（4）若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb。（

）（3）a与-λa的方向相反。（）提示：（1）√。因为3>0，所以3a与a同向。因为-2<0，所以-2a与a反向。（2）√。因为|4a|=|4||a|，|-4a|=|-4||a|=4|a|，故二者相等。（3）×。当λ<0时，a与-λa的方向相同。（4）×。若b=0时不成立。提示：（1）√。因为3>0，所以3a与a同向。因为-2<0，2.点C在直线AB上，且，则等于（

）【解析】选D。如图，

，所以2.点C在直线AB上，且，则3.已知|a|=1，|b|=3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b=________a。

【解析】由于|a|=1，|b|=3，则|b|=3|a|，又两向量反向，故b=-3a。答案：-33.已知|a|=1，|b|=3，若两向量方向相反，则向量a与类型一数乘向量的定义【典例】设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________。

①|-λa|≥|a|；②a与λ2a方向相同；③|-2λa|=2|λ|·|a|。类型一数乘向量的定义【思维·引】根据数乘向量的概念解决。【解析】当0<λ<1时，|-λa|<|a|，①错误；②③正确。答案：②③【思维·引】根据数乘向量的概念解决。【内化·悟】解决数乘向量问题关键应注意哪几点？提示：应注意两点：方向相同还是相反，模长放大还是缩小。【内化·悟】【类题·通】数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小。【类题·通】【习练·破】若两个非零向量a与（2x-1）a方向相同，则x的取值范围为________。

【习练·破】【解析】由向量数乘定义可知，2x-1>0，即x>。答案：x>【解析】由向量数乘定义可知，2x-1>0，即x>。【加练·固】存在两个非零向量a，b，满足b=-3a，则有（

）A.a与b方向相同 B.a与b方向相反C.|a|=|3b| D.|a|=|b|【加练·固】【解析】选B。因为-3<0，所以a与-3a方向相反。且|-3a|=3|a|，即|b|=3|a|，故选B。【解析】选B。因为-3<0，所以a与-3a方向相反。且|-3类型二数乘向量的运算【典例】下列各式化简正确的是________。

①-3×2a=-5a；②a×3×（-2）=-3a；③-2×=2；④0×b=0。类型二数乘向量的运算【思维·引】根据数乘向量的运算律解决。【解析】因为-3×2a=-6a，

a×3×（-2）=-3a，-2×=-2

=2

，0×b=0。所以，①④错误，②③正确。答案：②③【思维·引】根据数乘向量的运算律解决。【内化·悟】数乘向量的运算可以与以前我们学过的什么运算相类比？提示：可类比数乘单项式运算。【内化·悟】【类题·通】λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数。【类题·通】【习练·破】化简下列各式。（1）4×a。（2）-2×【习练·破】【解析】（1）4×（2）-2×=3a。【解析】（1）4×类型三数乘向量的应用角度1判断向量共线【典例】已知a=2e，b=-4e，判断a，b是否平行，求

的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向。类型三数乘向量的应用【思维·引】利用数乘向量的定义解决。【解析】因为b=-4e=-2（2e）=-2a，所以a∥b，且，即=1∶2。向量a，b反向。【思维·引】利用数乘向量的定义解决。【素养·探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养。本题若把条件改为“a=2e，b=3e，”其他不变，试求解。【素养·探】【解析】因为b=3e=

a，所以a∥b，且即

=2∶3。向量a，b同向。【解析】因为b=3e=a，所角度2判断三点共线【典例】已知

=e，

=-3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点。角度2判断三点共线【思维·引】利用数乘向量的定义解决。【解析】因为

=-3e=-3，所以，

且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC=3AB，且向量

反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点。【思维·引】利用数乘向量的定义解决。【类题·通】数乘向量的应用（1）如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。（2）如果存在实数λ，使得，则，且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线。【类题·通】【习练·破】分别指出下列各题中A，B，C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比。【习练·破】【解析】（1）因为，所以，又有公共的点C，所以A，B，C三点共线，且AB=2BC，即AB∶BC=2∶1。（2）因为，所以，又有公共点A，所以A，B，C三点共线，且AB=BC，即AB∶BC=3∶4。【解析】（1）因为，所以数乘向量数乘向量第六章平面向量初步614数乘向量(课件)1.向量的数乘运算定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作λa。规定：（1）当λ≠0且a≠0时，|λa|=|λ||a|，且1.向量的数乘运算①当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；②当λ<0时，λa的方向与a的方向相反。（2）当λ=0或a=0时，λa=0。①当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；【思考】（1）定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向。（2）若把|λa|=|λ||a|写成|λa|=λ|a|可以吗？为什么？提示：不可以，当λ<0时不成立。【思考】2.向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则λ（μa）=（λμ）a；特别地，我们有（-λ）a=-（λa）=λ（-a）。2.向量数乘的运算律【思考】这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立。【思考】3.向量共线的条件如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。3.向量共线的条件【思考】“若向量b∥a，则存在实数λ，使得b=λa。”成立吗？提示：不成立，若a=0，b≠0，则λ不存在。【思考】【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）3a的方向与a的方向相同，且-2a的方向与a的方向相反。（

）（2）4a与-4a的模相等。（

）【素养小测】（3）a与-λa的方向相反。（

）（4）若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb。（

）（3）a与-λa的方向相反。（）提示：（1）√。因为3>0，所以3a与a同向。因为-2<0，所以-2a与a反向。（2）√。因为|4a|=|4||a|，|-4a|=|-4||a|=4|a|，故二者相等。（3）×。当λ<0时，a与-λa的方向相同。（4）×。若b=0时不成立。提示：（1）√。因为3>0，所以3a与a同向。因为-2<0，2.点C在直线AB上，且，则等于（

）【解析】选D。如图，

，所以2.点C在直线AB上，且，则3.已知|a|=1，|b|=3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b=________a。

【解析】由于|a|=1，|b|=3，则|b|=3|a|，又两向量反向，故b=-3a。答案：-33.已知|a|=1，|b|=3，若两向量方向相反，则向量a与类型一数乘向量的定义【典例】设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________。

①|-λa|≥|a|；②a与λ2a方向相同；③|-2λa|=2|λ|·|a|。类型一数乘向量的定义【思维·引】根据数乘向量的概念解决。【解析】当0<λ<1时，|-λa|<|a|，①错误；②③正确。答案：②③【思维·引】根据数乘向量的概念解决。【内化·悟】解决数乘向量问题关键应注意哪几点？提示：应注意两点：方向相同还是相反，模长放大还是缩小。【内化·悟】【类题·通】数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小。【类题·通】【习练·破】若两个非零向量a与（2x-1）a方向相同，则x的取值范围为________。

【习练·破】【解析】由向量数乘定义可知，2x-1>0，即x>。答案：x>【解析】由向量数乘定义可知，2x-1>0，即x>。【加练·固】存在两个非零向量a，b，满足b=-3a，则有（

）A.a与b方向相同 B.a与b方向相反C.|a|=|3b| D.|a|=|b|【加练·固】【解析】选B。因为-3<0，所以a与-3a方向相反。且|-3a|=3|a|，即|b|=3|a|，故选B。【解析】选B。因为-3<0，所以a与-3a方向相反。且|-3类型二数乘向量的运算【典例】下列各式化简正确的是________。

①-3×2a=-5a；②a×3×（-2）=-3a；③-2×=2；④0×b=0。类型二数乘向量的运算【思维·引】根据数乘向量的运算律解决。【解析】因为-3×2a=-6a，

a×3×（-2）=-3a，-2×=-2

=2

，0×b=0。所以，①④错误，②③正确。答案：②③【思维·引】根据数乘向量的运算律解决。【内化·悟】数乘向量的运算可以与以前我们学过的什么运算相类比？提示：可类比数乘单项式运算。【内化·悟】【类题·通】λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数。【类题·通】【习练·破】化简下列各式。（1）4×a。（2）-2×【习练·破】【解析】（1）4×（2）-2×=3a。【解析】（1）4×类型三数乘向量的应用角度1判断向量共线【典例】已知a=2e，b=-4e，判断a，b是否平行，求

的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向。类型三数乘向量的应用【思维·引】利用数乘向量的定义解决。【解析】因为b=-4e=-2（2e）=-2a，所以a∥b，且，即=1∶2。向量a，b反向。【思维·引】利用数乘向量的定义解决。【素养·探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养。本题若把条件改为“a=2e，b=3e，”其他不变，试求解。【素养·探】【解析】因为b=3e=

a，所以a∥b，且即

=2∶3。向量a，b同向。【解析】因为b=3e=