第二、三章习题课件1

第二章习题解：（1）以球心为原点，取z轴沿外电场的方向，建立球坐标系。在导体球外空间，电势满足拉普拉斯方程：.由于本问题具有轴对称性，故通解形式为通解中的系数由下列边界条件确定：①时，，（其中为未置入导体球前坐标原点的电势）.由此得2.在均匀外电场中置入半径为的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差；（2）导体球上带总电量Q.

第二章习题解：（1）以球心为原点，取z轴沿外电场1②面上，，由此得所以（）（2）导体球上带总电量时，导体球仍为等势体，设其与地的电势差为.由前一问的结果，球外电势为（）②面上，2再由导体球上带总电量为Q的条件，应有关系：由于故所以（）再由导体球上带总电量为Q的条件，应有关系：由于故所以3解法一：应用分离变量法求解

根据提示，可令其中µ为球面极化电荷产生的电势，满足下列拉普拉斯方程：由于本问题是球对称的，上述拉普拉斯方程的通解形式为3.均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率为，球外为真空，使用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加，后者满足拉普拉斯方程。

解法一：应用分离变量法求解根据提示，可令其中µ为球面极化4由边界条件确定上述通解中的系数：①时，应有限。因此，故②时，。因此，故③面上，即所以由边界条件确定上述通解中的系数：①5解法二：利用高斯定理求解

由，可得，因此进而可通过积分求得电势：可见，两种方法所得结果相同。>解法二：利用高斯定理求解由69.接地的空心导体球的内外半径为R1和R2

，在球内离球心为a(a<R1)处置一点电荷Q，用镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？

解：仿照点电荷置于接地导体球外情况的镜像法，能够导出本题导体球壳空腔内的电势可以看作点电荷及其像电荷的势的叠加，，其位置在球心与的联线上，到球心的距离为处，因此球壳上及球外电势为零。导体球壳接地时球壳外表面上没有感应电荷，而内表面上有感应电荷分布，其面密度为9.接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心7内表面上总感应电荷的电量为注意：这里内表面上总感应电荷的电量为注意：这里810.上题的导体球壳不接地，而是带总电荷Q0，或使其有确定电势φ0，试求这两种情况的电势。又问Q0与φ0是何种关系时，两情况的解是相等的？解：（1）球壳带总电荷此时，球壳内表面上的感应电荷为，这部分电荷可用极轴上距球心为处的、电量为的像电荷来替代。而球壳外表面上有电荷均匀分布，其在空腔内任一点的电势等于它在球壳外表面处产生的势，在球外任一点的电势等于电荷全部集中在球心的点电荷所产生的势.所以，空间的电势分布为10.上题的导体球壳不接地，而是带总电荷Q0，或使其有确定9（2）球壳有确定电势此时，球壳带未知净电荷，设其总电量为，则空间电势分布就是上述情况（1）的结果。利用条件：时，，可得。所以，空间的电势分布为显然，当满足关系时，两情况的解相等。（2）球壳有确定电势此时，球壳带未知净电荷，设其总电1011.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸起（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b(b>a)，试用电像法求空间电势。

解：取直角坐标系，以球心为原点，系统对称轴为轴。由电像法，为使边界条件（导体表面电势为零）得到满足，可用如图所示的三个像电荷来替代导体表面上的感应电荷。各电荷的电量和坐标如下：11.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸起（如图），半11导体表面上方的电势为导体表面下方的电势为原电荷电量坐标像电荷1电量坐标像电荷2电量坐标像电荷3电量坐标导体表面上方的电势为导体表面下方的电势为1212.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间电势。

解：取直角坐标系。设原电荷位于点，由电像法，为使边界条件（导体表面电势为零）得到满足，可用三个像电荷来替代导体表面上的感应电荷，各像电荷的电量和坐标如下：原电荷电量坐标像电荷1电量坐标像电荷2电量坐标12.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直13空间电势分布为空间电势分布为14第三章习题1.试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B0，写出A的两种不同表示式，证明两者之差是无旋场解：沿Z

轴方向的均匀磁场由定义式有解另一解第三章习题1.试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B015说明两者之差是无旋场说明两者之差是无旋场16解1：在分界面（面）上，磁场圆柱坐标分量应满足边界条件：设满足以上边界条件的尝试解的形式为（D为待定系数），则由得解得4.设半空间充满磁导率为的均匀介质，空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度分布和磁化电流分布。

解1：在分界面（面）上，磁场圆柱坐标分量应满足边界条件：设17所以在紧贴线电流的介质一侧有线磁化电流，磁化电流强度为所以在紧贴线电流的介质一侧有线磁化电流，磁化电流强度为18解2：设本题中的磁场分布呈轴对称，则可写作在介质中：而（1）其满足边界条件：（2）所以在的介质中，（3）解2：设本题中的磁场分布呈轴对称，则可写作在介质中：而19则，取积分路线为的半圆所以段积分为零

（4）（5）空间（6）（沿z轴）（7）由，可得则，取积20第二章习题解：（1）以球心为原点，取z轴沿外电场的方向，建立球坐标系。在导体球外空间，电势满足拉普拉斯方程：.由于本问题具有轴对称性，故通解形式为通解中的系数由下列边界条件确定：①时，，（其中为未置入导体球前坐标原点的电势）.由此得2.在均匀外电场中置入半径为的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差；（2）导体球上带总电量Q.

第二章习题解：（1）以球心为原点，取z轴沿外电场21②面上，，由此得所以（）（2）导体球上带总电量时，导体球仍为等势体，设其与地的电势差为.由前一问的结果，球外电势为（）②面上，22再由导体球上带总电量为Q的条件，应有关系：由于故所以（）再由导体球上带总电量为Q的条件，应有关系：由于故所以23解法一：应用分离变量法求解

根据提示，可令其中µ为球面极化电荷产生的电势，满足下列拉普拉斯方程：由于本问题是球对称的，上述拉普拉斯方程的通解形式为3.均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率为，球外为真空，使用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加，后者满足拉普拉斯方程。

解法一：应用分离变量法求解根据提示，可令其中µ为球面极化24由边界条件确定上述通解中的系数：①时，应有限。因此，故②时，。因此，故③面上，即所以由边界条件确定上述通解中的系数：①25解法二：利用高斯定理求解

由，可得，因此进而可通过积分求得电势：可见，两种方法所得结果相同。>解法二：利用高斯定理求解由269.接地的空心导体球的内外半径为R1和R2

，在球内离球心为a(a<R1)处置一点电荷Q，用镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？

解：仿照点电荷置于接地导体球外情况的镜像法，能够导出本题导体球壳空腔内的电势可以看作点电荷及其像电荷的势的叠加，，其位置在球心与的联线上，到球心的距离为处，因此球壳上及球外电势为零。导体球壳接地时球壳外表面上没有感应电荷，而内表面上有感应电荷分布，其面密度为9.接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心27内表面上总感应电荷的电量为注意：这里内表面上总感应电荷的电量为注意：这里2810.上题的导体球壳不接地，而是带总电荷Q0，或使其有确定电势φ0，试求这两种情况的电势。又问Q0与φ0是何种关系时，两情况的解是相等的？解：（1）球壳带总电荷此时，球壳内表面上的感应电荷为，这部分电荷可用极轴上距球心为处的、电量为的像电荷来替代。而球壳外表面上有电荷均匀分布，其在空腔内任一点的电势等于它在球壳外表面处产生的势，在球外任一点的电势等于电荷全部集中在球心的点电荷所产生的势.所以，空间的电势分布为10.上题的导体球壳不接地，而是带总电荷Q0，或使其有确定29（2）球壳有确定电势此时，球壳带未知净电荷，设其总电量为，则空间电势分布就是上述情况（1）的结果。利用条件：时，，可得。所以，空间的电势分布为显然，当满足关系时，两情况的解相等。（2）球壳有确定电势此时，球壳带未知净电荷，设其总电3011.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸起（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b(b>a)，试用电像法求空间电势。

解：取直角坐标系，以球心为原点，系统对称轴为轴。由电像法，为使边界条件（导体表面电势为零）得到满足，可用如图所示的三个像电荷来替代导体表面上的感应电荷。各电荷的电量和坐标如下：11.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸起（如图），半31导体表面上方的电势为导体表面下方的电势为原电荷电量坐标像电荷1电量坐标像电荷2电量坐标像电荷3电量坐标导体表面上方的电势为导体表面下方的电势为3212.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间电势。

解：取直角坐标系。设原电荷位于点，由电像法，为使边界条件（导体表面电势为零）得到满足，可用三个像电荷来替代导体表面上的感应电荷，各像电荷的电量和坐标如下：原电荷电量坐标像电荷1电量坐标像电荷2电量