第23章旋转小结教学课件九年级数学人教版上册

23.4旋转小结九年级上册RJ初中数学23.4旋转小结九年级上册RJ初中数学定义旋转性质三要素对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角旋转前、后的图形全等把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角知识梳理旋转中心、旋转方向、旋转角定义旋转性质三要素对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心中心对称中心对称图形中心对称定义性质把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分中心对称的两个图形是全等图形定义关于原点对称的点的坐标把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形常见的中心对称图形两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反线段、平行四边形、圆等区别联系中心对称中心对称图形中心对称定义性质把一个图形绕着某一点旋转图案设计轴对称平移旋转轴对称图形中心对称中心对称图形图形变换实际应用图案设计轴对称平移旋转轴对称图形中心对称中心对称图形图形变换1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A

B

C

DD重难剖析1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(2.如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到三角形COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是()A.15° B.60°C.45° D.75°ABODCC解：关键找出旋转角∠BOD=60°

，∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=60°－15°=45°，故选C.利用旋转变换求角度数的常用方法:(1)利用旋转前后的图形全等求解;(2)利用旋转角相等求解.2.如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到三2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时点B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.(2)求证：四边形ODAC是菱形．(1)求△OBD旋转的角度；解：(2)如图所示，点A2的坐标为∴∠ACD＝∠OCA－∠OCD＝60°，则△DBG≌△ABF，在DF上截取DG＝AF，连接BG，解：(1)如图所示.∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，在DF上截取DG＝AF，连接BG，(1)求△OBD旋转的角度；∴∠COD＝60°，∴△OBD旋转的角度为60°.坐标分别是A(3，2)，B(1，3).(-3，-2)，B2的坐标为(-1，-3).把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形(2)求证：四边形ODAC是菱形．(2)猜想线段DF,AF的数量关系，并证明你的猜想．解：(2)DF＝2AF，证明如下：则△DBG≌△ABF，在DF上截取DG＝AF，连接BG，2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时点B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.点AB.3.如图，在4×4的正方形网格中，三角形MNP绕某点旋转一定的角度，得到三角形M1N1P1，其旋转中心是()A.点A

B.点B

C.点C

D.点DB解：作线段NN1与PP1的垂直平分线，交点即是旋转中心.N1M1DABPCNMP12．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时3.如图，△DEF是△ABC经过某种变换后得到的图形，△ABC内任意一点M的坐标为(x,y)，点

M经过这种变换后得到点N，点

N的坐标是()A.(-y,-x) B.(

x,-y) C.(-x,y) D.(-x,-y).

D3.如图，△DEF是△ABC经过D4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A，B的坐标分别是A(3，2)，B(1，3).(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；xyOABA1B1解：(1)如图所示.对于网格中的画图问题，要充分利用网格的特殊性找准对应点.

4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A，B的坐标分别是A(3，2)，B(1，3).(2)画出△AOB关于原点O对称的图形△A2OB2，并写出点A2，B2的坐标.xyOABA2B2解：(2)如图所示，点A2的坐标为(-3，-2)，B2的坐标为(-1，-3).4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称在DF上截取DG＝AF，连接BG，解：(2)DF＝2AF，证明如下：证明：(2)∵△OAC≌△OBD，(1)求△OBD旋转的角度；如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.在DF上截取DG＝AF，连接BG，解：(2)DF＝2AF，证明如下：(-3，-2)，B2的坐标为(-1，-3).(1)求证：DA∥BC.∴∠COD＝60°，∴△OBD旋转的角度为60°.ABCD(1)求证：DA∥BC.∴BG＝BF，∠DBG＝∠ABF，已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A，B的(1)求△OBD旋转的角度；∴∠DAB＝∠ABC，∴DA∥BC.中心对称的两个图形是全等图形所以经过它们中心的直线把图形∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，坐标分别是A(3，2)，B(1，3).把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()5.如图，有一张不规则纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD，请你用无刻度的直尺画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由.ABCFED解：

矩形FABE是中心对称图形，矩形

BCDE也是中心对称图形，所以经过它们中心的直线把图形分成全等的两部分，面积相等.如图直线l既经过矩形FABE的中心，又经过菱形BCDE的中心，所以它把纸片分成面积相等的两部分.l过中心对称图形的对称中心的直线可以将图形分成面积相等的两部分.在DF上截取DG＝AF，连接BG，5.如图，有一张不规则纸片6.从前有一个财主，他有一块平行四边形的土地（如图），地里有一个圆形池塘.财主立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间池塘也平分.财主的两个儿子不知怎么做，你能想个办法吗？解：先找到平行四边形的两条对角线的交点A，过A，B两点作一条直线就可以了.AB“把由中心对称图形构成的图形分割成面积相等的两部分的方法”见《教材帮》数学RJ九上23.2节方法帮点6.从前有一个财主，他有一块平行四边形的土地（如图），地里有7.下列说法不正确的是()A.任何一个具有对称中心的四边形都是平行四边形B.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形D.正三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，且对称轴都不止一条B7.下列说法不正确的是()B1.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形.请说明理由．解：△ABE是等边三角形，理由如下：由旋转，得

△PAE≌

△PDC，∴CD＝AE，PD＝PA，∠PDC

＝∠PAE，∵∠DPA＝60°，∴

△PAD是等边三角形，∴∠PDA＝∠PAD＝60°.能力提升1.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋1.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形.请说明理由．解：又CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠PDC＝∠PAB＝∠PAE＝30°，∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝∠PAB＋∠PAE＝60°，∴

△ABE是等边三角形．1.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时点B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.(1)求△OBD旋转的角度；(2)求证：四边形ODAC是菱形．解：(1)由旋转得△OAC≌

△OBD，∴OC＝OD.又CD＝BD＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴

△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴△OBD旋转的角度为60°.2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时点B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.(1)求△OBD旋转的角度；(2)求证：四边形ODAC是菱形．证明：(2)

∵△OAC≌△OBD，△OCD是等边三角形，∴AC＝BD＝CD，∠OCA＝∠ODB＝180°－60°＝120°，∴∠ACD＝∠OCA－∠OCD＝60°，2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时点B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.(1)求△OBD旋转的角度；(2)求证：四边形ODAC是菱形．证明：(2)

∴△ACD是等边三角形，∴OD＝OC＝AC＝AD，∴四边形ODAC是菱形．2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA,BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF.(1)求证：DA∥BC.(2)猜想线段DF,AF的数量关系，并证明你的猜想．证明：(1)由旋转得∠DBE＝∠ABC＝60°，BD＝AB，∴

△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，

∴∠DAB＝∠ABC，∴DA∥BC.3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA,BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF.(1)求证：DA∥BC.(2)猜想线段DF,AF的数量关系，并证明你的猜想．解：(2)DF＝2AF，证明如下：在DF上截取DG＝AF，连接BG，则△DBG≌△ABF，∴BG＝BF，∠DBG＝∠ABF，G3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA,BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF.(1)求证：DA∥BC.(2)猜想线段DF,AF的数量关系，并证明你的猜想．解：(2)∴∠GBF＝∠DBE＝60°，∴△BGF是等边三角形，∴GF＝BF＝AF，∴DF＝DG＋FG＝2AF．G3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延23.4旋转小结九年级上册RJ初中数学23.4旋转小结九年级上册RJ初中数学定义旋转性质三要素对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角旋转前、后的图形全等把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角知识梳理旋转中心、旋转方向、旋转角定义旋转性质三要素对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心中心对称中心对称图形中心对称定义性质把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分中心对称的两个图形是全等图形定义关于原点对称的点的坐标把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形常见的中心对称图形两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反线段、平行四边形、圆等区别联系中心对称中心对称图形中心对称定义性质把一个图形绕着某一点旋转图案设计轴对称平移旋转轴对称图形中心对称中心对称图形图形变换实际应用图案设计轴对称平移旋转轴对称图形中心对称中心对称图形图形变换1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A

B

C

DD重难剖析1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(2.如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到三角形COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是()A.15° B.60°C.45° D.75°ABODCC解：关键找出旋转角∠BOD=60°

，∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=60°－15°=45°，故选C.利用旋转变换求角度数的常用方法:(1)利用旋转前后的图形全等求解;(2)利用旋转角相等求解.2.如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到三2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时点B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.(2)求证：四边形ODAC是菱形．(1)求△OBD旋转的角度；解：(2)如图所示，点A2的坐标为∴∠ACD＝∠OCA－∠OCD＝60°，则△DBG≌△ABF，在DF上截取DG＝AF，连接BG，解：(1)如图所示.∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，在DF上截取DG＝AF，连接BG，(1)求△OBD旋转的角度；∴∠COD＝60°，∴△OBD旋转的角度为60°.坐标分别是A(3，2)，B(1，3).(-3，-2)，B2的坐标为(-1，-3).把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形(2)求证：四边形ODAC是菱形．(2)猜想线段DF,AF的数量关系，并证明你的猜想．解：(2)DF＝2AF，证明如下：则△DBG≌△ABF，在DF上截取DG＝AF，连接BG，2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时点B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.点AB.3.如图，在4×4的正方形网格中，三角形MNP绕某点旋转一定的角度，得到三角形M1N1P1，其旋转中心是()A.点A

B.点B

C.点C

D.点DB解：作线段NN1与PP1的垂直平分线，交点即是旋转中心.N1M1DABPCNMP12．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时3.如图，△DEF是△ABC经过某种变换后得到的图形，△ABC内任意一点M的坐标为(x,y)，点

M经过这种变换后得到点N，点

N的坐标是()A.(-y,-x) B.(

x,-y) C.(-x,y) D.(-x,-y).

D3.如图，△DEF是△ABC经过D4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A，B的坐标分别是A(3，2)，B(1，3).(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；xyOABA1B1解：(1)如图所示.对于网格中的画图问题，要充分利用网格的特殊性找准对应点.

4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A，B的坐标分别是A(3，2)，B(1，3).(2)画出△AOB关于原点O对称的图形△A2OB2，并写出点A2，B2的坐标.xyOABA2B2解：(2)如图所示，点A2的坐标为(-3，-2)，B2的坐标为(-1，-3).4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称在DF上截取DG＝AF，连接BG，解：(2)DF＝2AF，证明如下：证明：(2)∵△OAC≌△OBD，(1)求△OBD旋转的角度；如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.在DF上截取DG＝AF，连接BG，解：(2)DF＝2AF，证明如下：(-3，-2)，B2的坐标为(-1，-3).(1)求证：DA∥BC.∴∠COD＝60°，∴△OBD旋转的角度为60°.ABCD(1)求证：DA∥BC.∴BG＝BF，∠DBG＝∠ABF，已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A，B的(1)求△OBD旋转的角度；∴∠DAB＝∠ABC，∴DA∥BC.中心对称的两个图形是全等图形所以经过它们中心的直线把图形∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，坐标分别是A(3，2)，B(1，3).把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()5.如图，有一张不规则纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD，请你用无刻度的直尺画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由.ABCFED解：

矩形FABE是中心对称图形，矩形

BCDE也是中心对称图形，所以经过它们中心的直线把图形分成全等的两部分，面积相等.如图直线l既经过矩形FABE的中心，又经过菱形BCDE的中心，所以它把纸片分成面积相等的两部分.l过中心对称图形的对称中心的直线可以将图形分成面积相等的两部分.在DF上截取DG＝AF，连接BG，5.如图，有一张不规则纸片6.从前有一个财主，他有一块平行四边形的土地（如图），地里有一个圆形池塘.财主立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间池塘也平分.财主的两个儿子不知怎么做，你能想个办法吗？解：先找到平行四边形的两条对角线的交点A，过A，B两点作一条直线就可以了.AB“把由中心对称图形构成的图形分割成面积相等的两部分的方法”见《教材帮》数学RJ九上23.2节方法帮点6.从前有一个财主，他有一块平行四边形的土地（如图），地里有7.下列说法不正确的是()A.任何一个具有对称中心的四边形都是平行四边形B.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形D.正三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，且对称轴都不止一条B7.下列说法不正确的是()B1.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形.请说明理由．解：△ABE是等边三角形，理由如下：由旋转，得

△PAE≌

△PDC，∴CD＝AE，PD＝PA，∠PDC

＝∠PAE，∵∠DPA＝60°，∴

△PAD是等边三角形，∴∠PDA＝∠PAD＝60°.能力提升1.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋1.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形.请说明理由．解：又CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠PDC＝∠PAB＝∠PAE＝30°，∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝∠PAB＋∠PAE＝60°，∴

△ABE是等边三角形．1.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时点B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.(1)求△OBD旋转的角度；(2)求证：四边形ODAC是菱形．解：(1)由旋转得△OAC≌

△OBD，∴OC＝OD.又CD＝BD＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴

△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴△OBD旋转的角度为60°.2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时点B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.(1)求△OBD旋转的角度；(2)求证：四边形ODAC是菱形．证明：(2)

∵△OAC≌△OBD，△OCD是