第一章 解三角形 教学课件 (全) 高中 数学必修五

第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五1第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五2第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五3温故知新温故知新4新课引入新课引入5自主预习自主预习6第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五7第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五8第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五9第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五10第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五11第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五12第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五13第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五14第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五15第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五16第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五17第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五18第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五19第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五20第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五21课堂典例讲练课堂典例讲练22思路方法技巧思路方法技巧23第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五24第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五25第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五26第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五27第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五28第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五29第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五30建模应用引路建模应用引路31第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五32第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五33第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五34第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五35探索延拓创新探索延拓创新36第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五37第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五38第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五39名师辨误做答名师辨误做答40第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五41第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五421.1.2

余弦定理1.1.2余弦定理431.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程.2.了解余弦定理的几种变形公式.3.能熟练应用余弦定理解三角形及处理现实生活中的实际问题.1.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程.44余弦定理平方平方夹角两倍c2+a2-2ac·cosB余弦定理平方平方夹角两倍c2+a2-2ac·cosB451.已知a2+b2-c2=ab，则C=(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°【解析】选A.因为cosC=，0°<C<180°，所以C=30°.1.已知a2+b2-c2=ab，则C=()462.在△ABC中，已知b=2，c=3，A=60°，则a=(

)【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×cos60°=7，所以a=2.在△ABC中，已知b=2，c=3，A=60°，则a=(473.在△ABC中，a=3，b=4，c=，则此三角形的最大角为

.【解析】由c>b>a知C最大，因为cosC=所以C=120°.答案：120°3.在△ABC中，a=3，b=4，c=，则此三角形的484.在△ABC中，已知a2+b2=c2，A=30°，a=1，则S△ABC=

.【解析】因为a2+b2=c2，所以△ABC是以C为直角的直角三角形，又因为A=30°，a=1，所以c=2，b=所以S△ABC=答案：4.在△ABC中，已知a2+b2=c2，A=30°，a=1，49一、余弦定理及其证明探究1：如图，设那么向量c的平方是什么？表示为对应的边可以得到什么式子？提示：c=b-a，|c|2=(b-a)·(b-a)=b·b+a·a-2a·b=a2+b2-2abcosC，所以c2=a2+b2-2abcosC.一、余弦定理及其证明50探究2：利用探究1的结论思考下面的问题：(1)已知三角形的三边a，b，c，如何表示cosC.提示：由探究1知c2=a2+b2-2abcosC，故cosC=(2)若C=90°，探究1的结论还成立吗？如果成立写出该结论，若不成立说明理由.提示：若C=90°，探究1的结论仍成立，即c2=a2+b2.探究2：利用探究1的结论思考下面的问题：51探究3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，请问两定理之间有何联系？提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况.探究3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定52【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和勾股定理证明余弦定理①当△ABC为锐角三角形时，如图，作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA，DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和53②当△ABC为钝角三角形时，如图，作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则CD=bsinA，DB=bcos(π-A)+c=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；③当△ABC为直角三角形时，易证余弦定理仍然成立.②当△ABC为钝角三角形时，如图，54【探究总结】对余弦定理及其推论的两点说明(1)余弦定理适用于任意三角形，反映了三角形中三条边与一个内角的余弦之间严格确定的量化关系.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA还可改写为sin2A=sin2B+sin2C-2sinB·sinCcosA，有时应用它求三角函数值会很方便.【探究总结】对余弦定理及其推论的两点说明55二、余弦定理在解三角形中的应用探究1：根据余弦定理及其推论的形式，可以解哪两类三角形问题？提示：余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题：(1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边.(2)已知三角形的三条边就可以求出其角.二、余弦定理在解三角形中的应用56探究2：根据下面的提示，写出角A的范围①在△ABC中，若a2<b2+c2⇔

.②在△ABC中，若a2=b2+c2⇔

.③在△ABC中，若a2>b2+c2⇔

.探究2：根据下面的提示，写出角A的范围57提示：由余弦定理可知cosA=显然当a2<b2+c2时，cosA>0，即0°<A<90°，当a2=b2+c2时，A=90°，当a2>b2+c2时，90°<A<180°.答案：①0°<A<90°②A=90°③90°<A<180°提示：由余弦定理可知cosA=显然当a258【探究总结】对余弦定理解三角形的两点说明(1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，可“知三求一”.(2)当已知两边和其中一边的对角时，一般采用正弦定理，但根据需要也可用余弦定理，解三角形时，要注意灵活应用.【探究总结】对余弦定理解三角形的两点说明59类型一利用余弦定理解三角形1.(2015·成都高二检测)在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则∠A=(

)A.60°或120°

B.60°

C.120°

D.150°2.(2014·福建高考)在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于

.类型一利用余弦定理解三角形60【解题指南】1.先利用等式变形，再利用余弦定理求出角A的余弦值，再求角A.2.直接应用余弦定理求解.【解题指南】1.先利用等式变形，再利用余弦定理求出角A的余弦61【自主解答】1.选C.因为(a+c)(a-c)=b(b+c)，所以a2-c2=b2+bc，即b2+c2-a2=-bc，所以cosA=故A=120°.2.由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA，得3=AB2+4-2×2AB·cos60°，即AB2-2AB+1=0，解得AB=1.答案：1【自主解答】1.选C.因为(a+c)(a-c)=b(b+c)62【规律总结】利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧(1)已知三角形的两边及夹角解三角形，可以先由余弦定理求出第三条边，再由正弦定理求出一角，最后由A+B+C=180°，求出第三个角.(2)已知三角形的三边，可由余弦定理求三角形的两个内角，再由A+B+C=180°求出第三个角.上述两种情况，运用余弦定理时，因为是已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理可知，三角形是确定的，因而解唯一.【规律总结】利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧63【拓展延伸】解斜三角形的常见类型及解法已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A+B+C=180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解.两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180°求出另一角.在有解时只有一解.【拓展延伸】解斜三角形的常见类型及解法已知条件应用定理一般解64已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A+B+C=180°，求出角C.在有解时只有一解.两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.已知条件应用定理一般解法三边余弦定理由余弦定理求出角A，B；65【变式训练】在△ABC中，a=2，b=-1，C=30°，求c及A，B的值.【解析】由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=22+(-1)2-2×2×(-1)cos30°=2，所以c=所以cosA=因为0°<A<180°，所以A=135°，所以B=180°-A-C=15°.【变式训练】在△ABC中，a=2，b=-1，C=30°66类型二判断三角形形状1.在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC的形状是(

)A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形2.在△ABC中，已知acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC的形状.类型二判断三角形形状67【解题指南】1.将cosC=代入已知条件，转化为边的关系，化简变形即可判断△ABC的形状.2.将余弦定理的变形式代入，转化成边的关系，化简变形后判断三角形的形状.【解题指南】1.将cosC=代入已知条件68【自主解答】1.选B.因为a=2bcosC=2b·

所以a2=a2+b2-c2，即b2=c2，所以b=c，所以△ABC为等腰三角形.2.由余弦定理，得

所以a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)=c2(a2+b2-c2)，a2(b2-a2)+a2c2+b2(a2-b2)+b2c2=c2a2+b2c2-c4，即(a2-b2)2=c4，所以a2-b2=c2或a2-b2=-c2，即b2+c2=a2或a2+c2=b2.所以△ABC是直角三角形.【自主解答】1.选B.因为a=2bcosC=2b·69【延伸探究】本例2中条件“acosA+bcosB=ccosC”若换为“asinA+bsinB=csinC”，其结论又如何呢？【解析】由正弦定理得

所以

所以

即a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形.【延伸探究】本例2中条件“acosA+bcosB=ccosC70【规律总结】利用正、余弦定理判断三角形形状的技巧判断三角形的形状特征，必须从研究三角形边与边的关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断.【规律总结】利用正、余弦定理判断三角形形状的技巧71【变式训练】在△ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断△ABC的形状.【解析】将已知等式变形得b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosB·cosC，由余弦定理得即b2+c2=所以△ABC为直角三角形.【变式训练】在△ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B72类型三正弦定理、余弦定理的综合应用1.(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b+c=2a，且3sinA=5sinB，则角C=

.2.(2014·盐城高二检测)如图，在△ABC中，B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为

.类型三正弦定理、余弦定理的综合应用73【解题指南】1.先由正弦定理找出a与b的关系，然后再结合已知条件b+c=2a，利用余弦定理即可求出角C.2.先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案.【解题指南】1.先由正弦定理找出a与b的关系，然后再结合已知74【自主解答】1.由题设条件可得由余弦定理得所以C=答案：【自主解答】1.由题设条件可得752.在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC=所以∠ADC=120°，∠ADB=60°.在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得所以AB=答案：2.在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，76【规律总结】利用正、余弦定理解决三角形中综合问题的常用思想方法(1)正弦定理和余弦定理从不同的侧面反映了三角形中的边角关系，揭示了三角形中元素间的内在联系，解题时一定要注意正、余弦定理的结合，可相互渗透，相互促进，它们是解决三角形问题的主要依据.(2)解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题.【规律总结】利用正、余弦定理解决三角形中综合问题的常用思想方77【变式训练】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b2=ac，且a2-c2=ac-bc.(1)求角A的值.(2)求的值.【变式训练】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边78【解析】(1)因为b2=ac，a2-c2=ac-bc，所以b2+c2-a2=bc，在△ABC中，由余弦定理，得：cosA=所以A=60°.(2)在△ABC中，由正弦定理，得：sinB=因为b2=ac，A=60°，所以【解析】(1)因为b2=ac，a2-c2=ac-bc，79【拓展类型】利用正、余弦定理证明三角恒等式1.在△ABC中，求证：2.在△ABC中，求证：a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).【解题指南】1.从要证明的等式的左端出发，将切化弦，然后利用正、余弦定理即可证明该等式成立.2.从要证明的等式的右端出发，利用余弦定理即可证明.【拓展类型】利用正、余弦定理证明三角恒等式80【证明】1.左边==右边，等式得证.2.右边==b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2=a2+b2+c2=左边.【证明】1.左边=81【规律总结】利用正、余弦定理证明三角恒等式的关键证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.【规律总结】利用正、余弦定理证明三角恒等式的关键82第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五83第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五84第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五85第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五86ACB51o55m75o测量距离ACB51o55m75o测量距离87解三角形公式、定理正弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：2.大角对大边，小角对小边。解三角形公式、定理正弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：288余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角；

（3）判断三角形的形状。三角形的面积公式。余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们89斜三角形的解法已知条件定理选用一般解法用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180˚，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180˚,求出另一角，再用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180˚得出第三角。用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180˚得出第三角。一边和两角(ASA或AAS)两边和夹角(SAS)三边(SSS)两边和其中一边的对角(SSA)斜三角形的解法已知条件定理选用一般解法用正弦定理求出另一对角90实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）水平线视线视线仰角俯角实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）当912.方向角、方位角。（1）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角。（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。东西北南60°30°45°20°ABCD点A在北偏东60°,方位角60°.点B在北偏西30°,方位角330°.点C在南偏西45°,方位角225°.点D在南偏东20°,方位角160°.2.方向角、方位角。（1）方向角：指北或指南方向线与目标方向923.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离垂直距离坡面距离坡度（坡度比）i:垂直距离/水平距离坡角α:tanα=垂直距离/水平距离α3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离垂直距离坡面距离坡93例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55

m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）.分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在94解：根据正弦定理，得答：A,B两点间的距离为65.7米。解：根据正弦定理，得答：A,B两点间的距离为65.7米。95ABCDABCD96ABCDαβγδa分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。ABCDαβγδa分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的97解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C98变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=求A、B两点间距离.注：阅读教材P12，了解基线的概念变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA99练习1.一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？练习1.一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行100变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多少？变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯101练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．

（1）什么是最大仰角？

最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算（1）102最大角度最大角度最大角度最大角度

已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。

CAB最大角度最大角度最大角度最大角度已知△ABC中AB＝1103第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五104总结实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明总结实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问105练习：

P19

习题1.2A组1，4，5作业：

P19习题1.2A组2，3作业与练习练习：作业与练习106第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题第2课时107【知识提炼】1.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线_____时叫仰角，目标视线在水平线_____时叫俯角，如图所示.上方下方【知识提炼】上方下方1082.方位角和方向角(1)方位角：从_____方向_______转到目标方向线所成的角.如图(1)目标A的方位角为135°.正北顺时针2.方位角和方向角正北顺时针109(2)方向角：从_____方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图(2)，北偏东30°，南偏东45°.指定(2)方向角：从_____方向线到目标方向线所成的小于90°1103.视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的_____，如图所示，视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度.夹角3.视角夹角111【即时小测】1.思考下列问题:(1)仰角和俯角都是与铅垂线所成的角吗？提示：不是.仰角和俯角都是与水平线所成的角.【即时小测】112(2)方位角的范围是(0，π)吗？提示：不是.方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是(0，2π).(2)方位角的范围是(0，π)吗？1132.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(

)A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°2.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β114【解析】选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，因为两直线平行内错角相等，所以α=β.【解析】选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，因为1153.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为(

)A.2h米B.h米C.h米

D.2h米3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看116【解析】选A.如图所示，BC=h，AC=h，所以AB==2h(米).【解析】选A.如图所示，1174.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(

)A.10mB.5mC.5(-1)mD.5(+1)m4.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从118【解析】选D.在△ACD中，由正弦定理得AD==10(+1).在Rt△ABD中，AB=ADsin30°=5(+1)(m).【解析】选D.在△ACD中，由正弦定理得1195.身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测该旗杆的高度，若李明此时的仰视角为30°，则该旗杆的高度约为________米.(精确到0.1米)【解析】h=+1.70≈13.2(米).答案：13.25.身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测该旗杆120【知识探究】知识点高度和角度的测量问题观察图形，回答下列问题：【知识探究】121问题1：如图1，求高度时，底可到达时，如何求解？问题2：如图2，图3，求高度时，底不可到达时，如何求解？问题1：如图1，求高度时，底可到达时，如何求解？122【总结提升】测量高度问题时常见的三种数学模型及其特征(1)三种模型.底部可到达底部不可到达解直角三角形解直角三角形解一般三角形【总结提升】测量高度问题时常见的三种数学模型及其特征底部可到123(2)特征.①底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.②底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.③底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面.此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”.(2)特征.124【题型探究】类型一高度问题【典例】1.(2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=__________m.【题型探究】125第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五1262.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得CD=200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD=30°，求塔高AB.2.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不127【解题探究】1.典例1中，图中西偏北30°及西偏北75°的分别是哪个角？仰角为30°指的是哪个角？提示：图中西偏北30°即∠CAB=30°，西偏北75°即∠ABC的补角.仰角为30°即∠DBC=30°.【解题探究】1.典例1中，图中西偏北30°及西偏北75°的分1282.典例2中，在△BCD中，已知CD，∠CBD，如何建立关于塔高的方程？提示：设AB=h，将BC与BD分别用h表示，在△BCD中，利用余弦定理建立关于塔高h的方程求解.2.典例2中，在△BCD中，已知CD，∠CBD，如何建立关于129【解析】1.在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°-30°=45°，根据正弦定理知，即BC=×sin∠BAC=(m)，所以CD=BC×tan∠DBC=(m).答案：【解析】1.在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°1302.在Rt△ABC中，∠ACB=45°，设AB=h，则BC=h；在Rt△ABD中，∠ADB=30°，则BD=h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD，即2002=h2+(h)2-2·h·h·

，所以h2=2002，解得h=200(h=-200舍去).即塔高AB为200米.2.在Rt△ABC中，∠ACB=45°，设AB=h，则BC=131【方法技巧】测量高度的一般步骤(1)根据已知条件画出示意图.(2)分析与问题有关的三角形.(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.(4)把解出的答案还原到实际问题中.【方法技巧】测量高度的一般步骤132【变式训练】(2015·潍坊高二检测)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，则山高MN=__________m.【变式训练】(2015·潍坊高二133【解析】如图，【解析】如图，134在Rt△ABC中，BC=100，∠CAB=45°，所以AC=100.在△AMC中，∠CAM=75°，∠ACM=60°，所以∠AMC=45°.由正弦定理知所以AM=100.在Rt△ABC中，BC=100，∠CAB=45°，135在Rt△AMN中，∠NAM=60°，所以MN=AM·sin60°=100×=150(m).答案：150在Rt△AMN中，∠NAM=60°，136【补偿训练】某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.【解题指南】解答时可以先依据题意画出图形，着重思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途观测点何处距塔底B距离最小.【补偿训练】某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进137【解析】根据题意画出示意图，且BE⊥CD.在△BDC中，CD=40，∠BCD=30°，∠DBC=135°.由正弦定理，得所以BD=【解析】根据题意画出示意图，且BE⊥CD.在△BDC中，CD138在Rt△BED中，∠BDE=180°-135°-30°=15°，所以BE=DBsin15°在Rt△BED中，∠BDE=180°-135°-30°=15139在Rt△ABE中，∠AEB=30°，所以AB=BEtan30°=(米).故塔高为米.在Rt△ABE中，∠AEB=30°，140类型二角度问题【典例】1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(

)A.北偏东10°

B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°类型二角度问题1412.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值.(结果保留根号，无需求近似值)2.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东142【解题探究】1.典例1中，分析题中角的关系的关键是什么？提示：确定角的关系的关键是画出图形，并结合方向角的有关概念求解.2.典例2中，如何求∠ABC？提示：∠ABC=180°-15°-45°=120°.【解题探究】143【解析】1.选B.如图，由题意，知AC=BC，∠ACB=80°，所以∠CBA=50°，α+∠CBA=60°.所以α=10°，即灯塔A在灯塔B的北偏西10°.【解析】1.选B.如图，由题意，知AC=BC，∠ACB=801442.设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，∠ABC=180°-15°-45°=120°，由余弦定理得：(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×()，128t2-60t-27=0，解得t=或t=-(舍去)，2.设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，145所以AC=21(海里)，BC=15(海里)，根据正弦定理，得sin∠BAC=cos∠BAC=又∠ABC=120°，∠BAC为锐角，所以θ=45°-∠BAC，所以AC=21(海里)，BC=15(海里)，146sinθ=sin(45°-∠BAC)=sin45°cos∠BAC-cos45°sin∠BAC=sinθ=sin(45°-∠BAC)147【延伸探究】典例2中若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度.【延伸探究】典例2中若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿148【解析】设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC=28t，BC=xt，∠CAB=30°，∠ABC=135°.由正弦定理得【解析】设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且149即所以(海里每小时).答：乙船的速度为14海里每小时.即150【方法技巧】测量角度问题的基本思路(1)测量角度问题关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离.(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解.【方法技巧】测量角度问题的基本思路151【拓展延伸】解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题.(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题.(3)把数学问题还原到实际问题中去.【拓展延伸】解决追及问题的步骤152【变式训练】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为_______.【变式训练】如图所示，位于A处的153【解析】在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800，所以BC=由正弦定理得，所以sin∠ACB=【解析】在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=12154由∠BAC=120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB=由θ=∠ACB+30°，cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=故cosθ的值为.答案：由∠BAC=120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB=155【补偿训练】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，并在小岛B处与渔船相靠，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.【补偿训练】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇156【解析】如图所示，设所需时间为t小时，则AB=10t，BC=10t，在△ABC中，由余弦定理得，AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°，即(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°.整理得：2t2-t-1=0，解得t=1或t=-(舍去)，【解析】如图所示，设所需时间为t小时，157所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB=10，BC=10.所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB=10，BC=10.158在△ABC中，由正弦定理得：所以sin∠CAB=所以∠CAB=30°.所以舰艇航行的方位角为75°.在△ABC中，由正弦定理得：159易错案例正、余弦定理的综合应用【典例】某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，则这人能到达A城还要走_______千米易错案例正、余弦定理的综合应用160【失误案例】【失误案例】161【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解.【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？162【自我矫正】如图，令∠ACD=α，∠CDB=β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ=所以sinβ=又sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ【自我矫正】如图，令∠ACD=α，∠CDB=β，在△CBD中163在△ACD中，由正弦定理得所以AD==15(千米).答案：15在△ACD中，由正弦定理得164【防范措施】解决应用举例问题的两个关注点(1)审题作图：认真阅读题目，依据题目中给出的角(注意明确相关角的概念)及给出的相应长度，正确画出对应的图形，在图形中标出相应的角度或长度.(2)根据图形中的数据，合理选择公式及定理.注意在利用余弦定理时，有时会出现两个解，解题时要注意根据实际情况进行取舍，避免出现增解.【防范措施】解决应用举例问题的两个关注点165第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五166第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五167第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五168【思考】【思考】169【点拨】【点拨】170第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五171

三角形的面积计算问题【名师指津】运用三角形面积公式时的注意点：(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式；(2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式；(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.三角形的面积计算问题172【特别提醒】特别要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数求角时出现增根错误.【特别提醒】特别要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数求173【例1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积S.【审题指导】(1)由三角形的内角和定理可知再利用两角差的正弦公式解得；(2)△ABC的面积可由面积公式求得.【例1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已174【规范解答】(1)∵∴A＜B,∴由A+B+C=π，(2)据正弦定理得【规范解答】(1)∵∴A175【变式训练】在△ABC中，BC=5，AC=4，cos∠CAD=且AD=BD，求△ABC的面积.【解题提示】由∠CAD的余弦，我们想到在△CAD中利用余弦定理，求出CD的长，然后再利用正弦定理求出角C的正弦值，根据三角形面积公式求出即可.【变式训练】在△ABC中，BC=5，AC=4，176【解析】设CD=x，则AD=BD=5-x,在△CAD中，由余弦定理可知，解得x=1.∴CD=1，AD=BD=4.在△CAD中，由正弦定理可知【解析】设CD=x，则AD=BD=5-x,177即△ABC的面积为即△ABC的面积为178【误区警示】在计算CD和sinC的值时，很容易出现计算错误.【误区警示】在计算CD和sinC的值时，很容易出现计算错误.179

证明三角恒等式【名师指津】证明三角恒等式需要注意的问题：解决本类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用.三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解.【特别提醒】证明三角恒等式一定要正确利用变形公式，不能随便臆造.证明三角恒等式180【例2】在△ABC中，求证：【审题指导】从左边证右边，化角为边.【规范解答】左边===右边，其中R为△ABC外接圆的半径.【例2】在△ABC中，求证：181【互动探究】上述证明方法是化角为边，若证明方法改为化边为角该怎么证明？【证明】左边=【互动探究】上述证明方法是化角为边，若证明方法改为化边为角该182

三角形中的综合问题【名师指津】解决三角形中的综合问题需要注意：解三角形与三角函数结合的题目是最近几年高考的一个趋势，解决此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此掌握正、余弦定理、三角函数的公式和性质是解题关键.【特别提醒】利用正弦定理求角时，要注意角的取值范围；要正确利用三角函数的公式和性质.三角形中的综合问题183【例3】在△ABC中，AC=3，sinC=2sinA，（1）求AB的长；（2）求sin(2A-)的值.【审题指导】在△ABC中，运用正弦定理可直接求得AB的长；再运用余弦定理求得cosA，进而求得sinA，sin2A，cos2A，最后利用两角差的正弦公式求得【例3】在△ABC中，AC=3，sinC=2184【规范解答】（1）在△ABC中，根据正弦定理，得（2）在△ABC中，根据余弦定理，得于是从而cos2A=cos2A-sin2A=【规范解答】（1）在△ABC中，根据正弦定理，得185【变式训练】（2011·天津高考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知B=C，（1）求cosA的值；（2）求的值.【解题提示】运用余弦定理求得cosA，进而求得sinA，sin2A，cos2A，最后利用两角和的余弦公式求得【变式训练】（2011·天津高考）在△ABC中，内角A，186【解析】（1）由B=C，可得所以，由余弦定理，可得，（2）∵cosA=A∈(0,π)，∴cos2A=2cos2A-1=【解析】（1）由B=C，可得187第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五188【例】在△ABC中，AB=5，AC=4，D为BC的中点，且AD=4，求BC边的长.【审题指导】此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC长为x后，建立关于x的方程.【例】在△ABC中，AB=5，AC=4，D为BC的中点，且A189【规范解答】设BC=x，则由D为BC的中点，可得在△ADB中，在△ADC中，【规范解答】设BC=x，则由D为BC的中点，可得190又∠ADB+∠ADC=180°，所以cos∠ADB=cos(180°-∠ADC)=-cos∠ADC，解得即BC的边长为又∠ADB+∠ADC=180°，所以191【变式备选】在△ABC中，若c=4，b=7,BC边上的中线AD的长为求边长a.【解析】∵AD是BC边上的中线，∴可设CD=DB=x，则CB=a=2x，∵c=4，b=7，AD=∴在△ACD中，【变式备选】在△ABC中，若c=4，b=7,BC边上的中线A192在△ABC中，解得x=∴a=2x=9.

在△ABC中，193【典例】（12分）在△ABC中，若B=30°，AC=2,求△ABC的面积.【审题指导】先由正弦定理求得C的度数，从而得到A的度数，利用三角形面积公式求得三角形面积.【典例】（12分）在△ABC中，若B=30°，194【规范解答】∵AC=2，B=30°，∴根据正弦定理，有……2分又∵AB＞AC，∴C＞B，则C有两解，……3分（1）当C为锐角时，C=60°，A=90°

…………7分（2）当C为钝角时，C=120°，A=30°

……………11分综上可知，△ABC的面积为…12分【规范解答】∵AC=2，B=30°，195【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：196【即时训练】设在△ABC中，b=1，A=60°，求角B，边c及△ABC的面积S△ABC.【解析】在△ABC中，b=1，A=60°，由正弦定理，得∵0°＜B＜180°，且b<a，∴B=30°,∴C=90°.由正弦定理，得△ABC的面积【即时训练】设在△ABC中，b=1，A=60°，1971.在△ABC中，A=45°，则△ABC外接圆的半径R等于（）(A)1(B)2(C)4(D)无法确定【解析】选A.∵∴R=1.1.在△ABC中，A=45°，则△ABC外接圆的1982.在△ABC中，若C=60°，则BC边上的高等于()(A)(B)(C)(D)6【解析】选D.BC边上的高等于bsinC=6.2.在△ABC中，若C=60°，则BC边上的高1993.△ABC的周长为20，面积为A=60°，则BC的边长等于（）(A)5(B)6(C)7(D)8【解析】选C.由题知a+b+c=20，∴bc=40，a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,解得a=7.3.△ABC的周长为20，面积为A=60°，则B2004.在△ABC中，a=4，b=2，C=45°，则S△ABC=_______.【解析】S△ABC==答案：4.在△ABC中，a=4，b=2，C=45°，则S△ABC=2015.若△ABC的面积为c=2，A=60°，求a，b的值.【解析】∵∴b=1，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=12+22-2×1×2×=3，5.若△ABC的面积为c=2，A=60°，求a，b202第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五203第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五204第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五205第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五206第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五207温故知新温故知新208新课引入新课引入209自主预习自主预习210第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五211第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五212第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五213第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五214第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五215第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五216第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五217第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五218第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五219第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五220第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五221第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五222第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五223第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五224第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五225课堂典例讲练课堂典例讲练226思路方法技巧思路方法技巧227第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五228第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五229第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五230第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五231第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五232第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五233第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五234建模应用引路建模应用引路235第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五236第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五237第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五238第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五239探索延拓创新探索延拓创新240第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五241第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五242第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五243名师辨误做答名师辨误做答244第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五245第一章解三角形教学课件(全)高中数学必修五2461.1.2

余弦定理1.1.2余弦定理2471.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程.2.了解余弦定理的几种变形公式.3.能熟练应用余弦定理解三角形及处理现实生活中的实际问题.1.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程.248余弦定理平方平方夹角两倍c2+a2-2ac·cosB余弦定理平方平方夹角两倍c2+a2-2ac·cosB2491.已知a2+b2-c2=ab，则C=(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°【解析】选A.因为cosC=，0°<C<180°，所以C=30°.1.已知a2+b2-c2=ab，则C=()2502.在△ABC中，已知b=2，c=3，A=60°，则a=(

)【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×cos60°=7，所以a=2.在△ABC中，已知b=2，c=3，A=60°，则a=(2513.在△ABC中，a=3，b=4，c=，则此三角形的最大角为

.【解析】由c>b>a知C最大，因为cosC=所以C=120°.答案：120°3.在△ABC中，a=3，b=4，c=，则此三角形的2524.在△ABC中，已知a2+b2=c2，A=30°，a=1，则S△ABC=

.【解析】因为a2+b2=c2，所以△ABC是以C为直角的直角三角形，又因为A=30°，a=1，所以c=2，b=所以S△ABC=答案：4.在△ABC中，已知a2+b2=c2，A=30°，a=1，253一、余弦定理及其证明探究1：如图，设那么向量c的平方是什么？表示为对应的边可以得到什么式子？提示：c=b-a，|c|2=(b-a)·(b-a)=b·b+a·a-2a·b=a2+b2-2abcosC，所以c2=a2+b2-2abcosC.一、余弦定理及其证明254探究2：利用探究1的结论思考下面的问题：(1)已知三角形的三边a，b，c，如何表示cosC.提示：由探究1知c2=a2+b2-2abcosC，故cosC=(2)若C=90°，探究1的结论还成立吗？如果成立写出该结论，若不成立说明理由.提示：若C=90°，探究1的结论仍成立，即c2=a2+b2.探究2：利用探究1的结论思考下面的问题：255探究3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，请问两定理之间有何联系？提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况.探究3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定256【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和勾股定理证明余弦定理①当△ABC为锐角三角形时，如图，作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA，DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和257②当△ABC为钝角三角形时，如图，作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则CD=bsinA，DB=bcos(π-A)+c=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+